4 Wahrscheinlichkeitsrechnung
4.1 Definition und Begriff der Wahrscheinlichkeit
Definition ( Zufalls experiment, Ergebnisvaom , Ereignis)
µ
Gegeben sei eine Situation , die vom Zufall beeinflusstes Ergebnis
hervorbringt ! Eine solche Situation nennen wir Zufalls experiment .
Vorstellung
4
Wir wollen die
,
dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
"
dieses oder jenes Ereignis eintritt mathematisch formalisch
Dafür sei R ( Omega) die
Menge aller
möglichen Ergebnisse des
Zufalls experiment .
[ Es sei
angenommen ,
dass das Zufalls experiment immer
genau einem
Ergebnis WER führt]
Die Elemente WER werden als Ergebnisse bezeichnet
Ein Ereignis ist eine Teilmenge von D
Ein einelementige Ereignis { W } heißt Elementarereignis
Elementarer
Beispiel Wörerelfovf :
D= { 1,2, 3,4, 5,6}
E Wort
=3 eine 3
w
ergibt
"
1- =
{ 74,6} ±
Ereignis es wird eine
gerade Zahl gewürfelt,
Ziel wird es sein gewissen Ereignissen A- ER eine Wahrscheinlichkeit
zuzuordnen .
,Definition ( S -
Algebra Messraum ) ,
Sei SL eine nicht leere Menge und AEPLSL) .
( Pkk) bezeichnet
die Potenz menge von R
,
d. h .
die Menge aller Teilmengen von 1)
A- heißt S -
Algebra falls gilt :
,
51) h e- A
S2 ) AEA Ä c-
A
I Komplementmenge ( andere Notation AC ) :
Ä -
{ well we A )
[ Abgeschlossenheit unter Komplement abbildung ]
29.04.1953
) Folge ( An )
Für Ane für gilt eine
n #
mit A NEIN :
U An EA
WEIN
Ein Messraum Tupel ( SLA ) wobei kein
ist ein , Grundvaom
ist A S über S2 ist
und eine -
Algebra
Bemerkung
Für eine Folge ( An ) nee mit An EA für ne
gilt
An EA
¥,
,
denn :
-
( !! ) [ de Morgan ]
-
(1) ) n
=
um
F-
A
w
A-
.
Außerdem gilt für endlich viele
Mengen
An . . .
An EA :
, Ü,
An =
Asv Azur . -
u An u
w
¢ o ¢
= EA
ÜANEA
Definition ( Wahrscheinlichkeits maß
Sei ( SL, A) ein Messraum
Eine Abbildung
P :
1- → IR heißt Wahrscheinlichkeiten aß , falls gilt :
µ :
t AEA :P (A) 70 ( Nicht negativ ität )
µ
2 : P (1) =
1 ( Normierung )
µ
3 :
Für eine Folge ( An ) nur paarweise disjunkter Menge aus A
gilt :
[
meint Vereinigung ist disjunkt
PC
!µ An ) =
E
KEIN
PLAN )
[ paarweise disjunkt bedeutet : Ain AE ¢ für beliebige itj ]
In diesem Fall das h A P) als
bezeichnen wir
Tripel ( , ,
Wahrscheinlichkeitsvaum
Elementare Eigenschaften von Maßen
Für einen Maß raum ( SL, A P) , gilt :
i ) Endliche Additiv ität :
paarweise disjunkte Mengen
Für
An ,
.
. .
,
An EA gilt :
P ( ¥ A.) = E PLA ) .
, 4=1
-
EA
, ii ) Jede Menge AEA zerlegt jede andere Menge BEA additiv :
.
By BUA
PC B) =P ( Bn A) t PCBNÄ )
Beachte B- ( DNA) u ^ Ä)
A
ß , A
iii P ist subtraktiv , d. h .
for A, BEA mit AEB
gilt P ( BIA) =
PCB ) -
PLA )
( bzw .
PCB) =
PA ) t P ( BIA ) )
iv ) P ist isoton ( monoton wachsend)
d. h .
für A, BEA mit AEB
gilt PCA) < PCB)
Es die Modularitätgleichung
v ) gilt :
Für A, BEA gilt A
B②
:
PCAUB) t PC An B) =P (A) TPCB)
bzw .
PCAUB) =
PCA) t PCB) -
PCANB)
Bemerkung
'
Im Allgemeinen gilt nicht :
-
P ( Au B) =
PCAJTPCB)
-
PLAN B) =p (A)
.
PCB)
Bemerkung
In den Abschnitten 4/5 werden im Wesentlichen einen endlichen
Ergebnis raum 1 und 1- =P betrachteten d. h , jedem beliebigen
,
.
Ereignis kann eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet werden .
In diesem Fall ist NI 1- M3 11,12
äquivalent zu und
MT : Für A, B mit An B =
gilt P (Au B) = PCAHPCB)
4.1 Definition und Begriff der Wahrscheinlichkeit
Definition ( Zufalls experiment, Ergebnisvaom , Ereignis)
µ
Gegeben sei eine Situation , die vom Zufall beeinflusstes Ergebnis
hervorbringt ! Eine solche Situation nennen wir Zufalls experiment .
Vorstellung
4
Wir wollen die
,
dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
"
dieses oder jenes Ereignis eintritt mathematisch formalisch
Dafür sei R ( Omega) die
Menge aller
möglichen Ergebnisse des
Zufalls experiment .
[ Es sei
angenommen ,
dass das Zufalls experiment immer
genau einem
Ergebnis WER führt]
Die Elemente WER werden als Ergebnisse bezeichnet
Ein Ereignis ist eine Teilmenge von D
Ein einelementige Ereignis { W } heißt Elementarereignis
Elementarer
Beispiel Wörerelfovf :
D= { 1,2, 3,4, 5,6}
E Wort
=3 eine 3
w
ergibt
"
1- =
{ 74,6} ±
Ereignis es wird eine
gerade Zahl gewürfelt,
Ziel wird es sein gewissen Ereignissen A- ER eine Wahrscheinlichkeit
zuzuordnen .
,Definition ( S -
Algebra Messraum ) ,
Sei SL eine nicht leere Menge und AEPLSL) .
( Pkk) bezeichnet
die Potenz menge von R
,
d. h .
die Menge aller Teilmengen von 1)
A- heißt S -
Algebra falls gilt :
,
51) h e- A
S2 ) AEA Ä c-
A
I Komplementmenge ( andere Notation AC ) :
Ä -
{ well we A )
[ Abgeschlossenheit unter Komplement abbildung ]
29.04.1953
) Folge ( An )
Für Ane für gilt eine
n #
mit A NEIN :
U An EA
WEIN
Ein Messraum Tupel ( SLA ) wobei kein
ist ein , Grundvaom
ist A S über S2 ist
und eine -
Algebra
Bemerkung
Für eine Folge ( An ) nee mit An EA für ne
gilt
An EA
¥,
,
denn :
-
( !! ) [ de Morgan ]
-
(1) ) n
=
um
F-
A
w
A-
.
Außerdem gilt für endlich viele
Mengen
An . . .
An EA :
, Ü,
An =
Asv Azur . -
u An u
w
¢ o ¢
= EA
ÜANEA
Definition ( Wahrscheinlichkeits maß
Sei ( SL, A) ein Messraum
Eine Abbildung
P :
1- → IR heißt Wahrscheinlichkeiten aß , falls gilt :
µ :
t AEA :P (A) 70 ( Nicht negativ ität )
µ
2 : P (1) =
1 ( Normierung )
µ
3 :
Für eine Folge ( An ) nur paarweise disjunkter Menge aus A
gilt :
[
meint Vereinigung ist disjunkt
PC
!µ An ) =
E
KEIN
PLAN )
[ paarweise disjunkt bedeutet : Ain AE ¢ für beliebige itj ]
In diesem Fall das h A P) als
bezeichnen wir
Tripel ( , ,
Wahrscheinlichkeitsvaum
Elementare Eigenschaften von Maßen
Für einen Maß raum ( SL, A P) , gilt :
i ) Endliche Additiv ität :
paarweise disjunkte Mengen
Für
An ,
.
. .
,
An EA gilt :
P ( ¥ A.) = E PLA ) .
, 4=1
-
EA
, ii ) Jede Menge AEA zerlegt jede andere Menge BEA additiv :
.
By BUA
PC B) =P ( Bn A) t PCBNÄ )
Beachte B- ( DNA) u ^ Ä)
A
ß , A
iii P ist subtraktiv , d. h .
for A, BEA mit AEB
gilt P ( BIA) =
PCB ) -
PLA )
( bzw .
PCB) =
PA ) t P ( BIA ) )
iv ) P ist isoton ( monoton wachsend)
d. h .
für A, BEA mit AEB
gilt PCA) < PCB)
Es die Modularitätgleichung
v ) gilt :
Für A, BEA gilt A
B②
:
PCAUB) t PC An B) =P (A) TPCB)
bzw .
PCAUB) =
PCA) t PCB) -
PCANB)
Bemerkung
'
Im Allgemeinen gilt nicht :
-
P ( Au B) =
PCAJTPCB)
-
PLAN B) =p (A)
.
PCB)
Bemerkung
In den Abschnitten 4/5 werden im Wesentlichen einen endlichen
Ergebnis raum 1 und 1- =P betrachteten d. h , jedem beliebigen
,
.
Ereignis kann eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet werden .
In diesem Fall ist NI 1- M3 11,12
äquivalent zu und
MT : Für A, B mit An B =
gilt P (Au B) = PCAHPCB)
