Samenvatting Dynamische
modellen
,Inhoud
Hoofdstuk 1: Rijen..................................................................................................................................3
1. Een rekenkundige rij.......................................................................................................................3
2. Een meetkundig rij..........................................................................................................................4
3. Convergente en divergente rijen en reeksen..................................................................................4
4. De insluitstelling.............................................................................................................................4
5. De verschilrij...................................................................................................................................5
Hoofdstuk 2: Inductieve modellen: Het exponentiële model.................................................................6
1. Soorten modellen...........................................................................................................................6
2. Beperkingen....................................................................................................................................6
3. Inductieve modellen.......................................................................................................................6
4. Discrete exponentiële groei............................................................................................................6
Hoofdstuk 3: Inductieve modellen: Het asymptotische model...............................................................7
1. Discrete inductieve modellen en evenwicht...................................................................................7
2. Hypotheken....................................................................................................................................7
3. Evenredigheid.................................................................................................................................7
4. Asymptotische toe/ afname............................................................................................................8
5. Een discrete formule bij het afkoelingsmodel.................................................................................8
Hoofdstuk 4: Discrete logistische groei en webgrafieken........................................................................9
2. Logistische groei en concurrentieparameter..................................................................................9
3. Logistische groei en carrying capacity.............................................................................................9
4. Webgrafieken................................................................................................................................10
Hoofdstuk 5: Aantrekkende en afstotende dekpunten.........................................................................10
1. De evenwichtsvoorwaarde...........................................................................................................10
2. Het dekpunt..................................................................................................................................11
3. Aantrekking of afstoting................................................................................................................11
4. De aantrekkingsstelling.................................................................................................................11
5. De aantrekkingstelling bij de logist...............................................................................................11
Hoofdstuk 6: Prooi-rover model...........................................................................................................12
1. Model...........................................................................................................................................12
2. Verloop van het model.................................................................................................................13
3. Verloop weergeven in prooi rover vlak.........................................................................................13
4. Evenwichtslijnen voor prooien in een prooi-rover vlak.................................................................13
5. Het toenamegebied voor de prooi................................................................................................14
6. Verkleining van de stapgrootte.....................................................................................................14
,Hoofstuk 7:...........................................................................................................................................17
2. Van Discreet naar Continu............................................................................................................17
3 en 4: Differentie en Differentiaal vergelijking en de oplossing.......................................................17
5. Substitueren van mogelijke oplossingen in differentiaalvergelijkingen.........................................18
Hoofdstuk 8: Differentiaalvergelijkingen...............................................................................................20
2. Benaderen van oplossingen m.b.v. een differentievergelijking.....................................................20
3. Het richtingsveld...........................................................................................................................20
Hoofdstuk 9: Oplossen van differentiaalvergelijkingen.........................................................................22
2. Scheiden van variabelen...............................................................................................................22
3. Singuliere punten..........................................................................................................................22
4. De oplossing van het continue exponentiële model.....................................................................22
5. Het continue asymptotische model..............................................................................................24
Hoofdstuk 10: Toepassingen van Differentiaalvergelijkingen (voorbeeldvragen).................................25
1. Verval van radioactieve stoffen.....................................................................................................25
2. Waterhoogte.................................................................................................................................26
3. Vrije val.........................................................................................................................................26
Hoofdstuk 11: Het continue logistische model.....................................................................................26
1. Inleiding........................................................................................................................................26
2. De logistische S-curve...................................................................................................................27
3. Eigenschappen van de logistische S-curve....................................................................................27
Hoofdstuk 12: Het continue prooi-rovermodel.....................................................................................28
1. Inleiding........................................................................................................................................28
2. Evenwichtspunten en gedrag op de assen in het prooi-rovervlak.................................................29
3. De oplossing van het stelsel..........................................................................................................30
4. Eigenschappen van het continu prooi-rovermodel.......................................................................31
5. De oplossing van “haaien in de Adriatische zee” volgens het Lotka-Volterramode......................33
Hoofdstuk 1: Rijen
1. Een rekenkundige rij
Een rekenkundige rij is een rij waarbij het verschil tussen elk tweetal opeenvolgende termen constant
is.
Voorbeeld 2, 4, 6, 8, 10, …
Hierbij hoort de directe formule:
tn = a + (n-1)v
waarbij a het begingetal is (t1) en v het constante verschil.
De som van een rekenkundige rij =
, 1
sn= n (t1+tn)
2
Het limiet van een rekenkundige rij bestaat niet, want de termen gaan altijd naar +∞ of naar -∞ toe.
2. Een meetkundig rij
Een meetkundige rij is een rij waarbij het quotiënt van elke twee opvolgende termen constant is.
Voorbeeld 2, 6, 18, 54, 162, ….
Hierbij hoort de direct formule:
tn = ban-1
Waarbij b het begingetal is en a het constante quotiënt.
Meetkundige rijen kunnen zowel monotoon (of alleen positief of alleen negatief) of alternerend
(afwisselend positief – negatief) zijn.
Voorbeeld monotoon 2, 4, 8, 16, … of -2, -4, -8, -16, ….
Voorbeeld alternerend 2, -4, 8, -16, 32, -64, …..
De som van een meetkundige rij =
b(1−an )
Sn =
1−a
Bij een meetkundige rij waarbij |a| kleiner is dan 1 wordt de som =
b
Sn =
1−a
Dit omdat als |a| kleiner is dan 1 dan gaat (1−an ) naar 0.
Het limiet van een meetkundige rij bestaat alleen wanneer |a| kleiner is dan 1.
3. Convergente en divergente rijen en reeksen
Convergent: het limiet bestaat wel.
Divergent: het limiet bestaat niet (gaat dan naar +∞ of naar -∞ ).
4. De insluitstelling
Bij het bepalen van een limietwaarde is het soms handig om te maken van de insluitstelling:
Gegeven de rijen an, bn en cn, waarvoor vanaf bepaalde n geld an < cn < bn.
modellen
,Inhoud
Hoofdstuk 1: Rijen..................................................................................................................................3
1. Een rekenkundige rij.......................................................................................................................3
2. Een meetkundig rij..........................................................................................................................4
3. Convergente en divergente rijen en reeksen..................................................................................4
4. De insluitstelling.............................................................................................................................4
5. De verschilrij...................................................................................................................................5
Hoofdstuk 2: Inductieve modellen: Het exponentiële model.................................................................6
1. Soorten modellen...........................................................................................................................6
2. Beperkingen....................................................................................................................................6
3. Inductieve modellen.......................................................................................................................6
4. Discrete exponentiële groei............................................................................................................6
Hoofdstuk 3: Inductieve modellen: Het asymptotische model...............................................................7
1. Discrete inductieve modellen en evenwicht...................................................................................7
2. Hypotheken....................................................................................................................................7
3. Evenredigheid.................................................................................................................................7
4. Asymptotische toe/ afname............................................................................................................8
5. Een discrete formule bij het afkoelingsmodel.................................................................................8
Hoofdstuk 4: Discrete logistische groei en webgrafieken........................................................................9
2. Logistische groei en concurrentieparameter..................................................................................9
3. Logistische groei en carrying capacity.............................................................................................9
4. Webgrafieken................................................................................................................................10
Hoofdstuk 5: Aantrekkende en afstotende dekpunten.........................................................................10
1. De evenwichtsvoorwaarde...........................................................................................................10
2. Het dekpunt..................................................................................................................................11
3. Aantrekking of afstoting................................................................................................................11
4. De aantrekkingsstelling.................................................................................................................11
5. De aantrekkingstelling bij de logist...............................................................................................11
Hoofdstuk 6: Prooi-rover model...........................................................................................................12
1. Model...........................................................................................................................................12
2. Verloop van het model.................................................................................................................13
3. Verloop weergeven in prooi rover vlak.........................................................................................13
4. Evenwichtslijnen voor prooien in een prooi-rover vlak.................................................................13
5. Het toenamegebied voor de prooi................................................................................................14
6. Verkleining van de stapgrootte.....................................................................................................14
,Hoofstuk 7:...........................................................................................................................................17
2. Van Discreet naar Continu............................................................................................................17
3 en 4: Differentie en Differentiaal vergelijking en de oplossing.......................................................17
5. Substitueren van mogelijke oplossingen in differentiaalvergelijkingen.........................................18
Hoofdstuk 8: Differentiaalvergelijkingen...............................................................................................20
2. Benaderen van oplossingen m.b.v. een differentievergelijking.....................................................20
3. Het richtingsveld...........................................................................................................................20
Hoofdstuk 9: Oplossen van differentiaalvergelijkingen.........................................................................22
2. Scheiden van variabelen...............................................................................................................22
3. Singuliere punten..........................................................................................................................22
4. De oplossing van het continue exponentiële model.....................................................................22
5. Het continue asymptotische model..............................................................................................24
Hoofdstuk 10: Toepassingen van Differentiaalvergelijkingen (voorbeeldvragen).................................25
1. Verval van radioactieve stoffen.....................................................................................................25
2. Waterhoogte.................................................................................................................................26
3. Vrije val.........................................................................................................................................26
Hoofdstuk 11: Het continue logistische model.....................................................................................26
1. Inleiding........................................................................................................................................26
2. De logistische S-curve...................................................................................................................27
3. Eigenschappen van de logistische S-curve....................................................................................27
Hoofdstuk 12: Het continue prooi-rovermodel.....................................................................................28
1. Inleiding........................................................................................................................................28
2. Evenwichtspunten en gedrag op de assen in het prooi-rovervlak.................................................29
3. De oplossing van het stelsel..........................................................................................................30
4. Eigenschappen van het continu prooi-rovermodel.......................................................................31
5. De oplossing van “haaien in de Adriatische zee” volgens het Lotka-Volterramode......................33
Hoofdstuk 1: Rijen
1. Een rekenkundige rij
Een rekenkundige rij is een rij waarbij het verschil tussen elk tweetal opeenvolgende termen constant
is.
Voorbeeld 2, 4, 6, 8, 10, …
Hierbij hoort de directe formule:
tn = a + (n-1)v
waarbij a het begingetal is (t1) en v het constante verschil.
De som van een rekenkundige rij =
, 1
sn= n (t1+tn)
2
Het limiet van een rekenkundige rij bestaat niet, want de termen gaan altijd naar +∞ of naar -∞ toe.
2. Een meetkundig rij
Een meetkundige rij is een rij waarbij het quotiënt van elke twee opvolgende termen constant is.
Voorbeeld 2, 6, 18, 54, 162, ….
Hierbij hoort de direct formule:
tn = ban-1
Waarbij b het begingetal is en a het constante quotiënt.
Meetkundige rijen kunnen zowel monotoon (of alleen positief of alleen negatief) of alternerend
(afwisselend positief – negatief) zijn.
Voorbeeld monotoon 2, 4, 8, 16, … of -2, -4, -8, -16, ….
Voorbeeld alternerend 2, -4, 8, -16, 32, -64, …..
De som van een meetkundige rij =
b(1−an )
Sn =
1−a
Bij een meetkundige rij waarbij |a| kleiner is dan 1 wordt de som =
b
Sn =
1−a
Dit omdat als |a| kleiner is dan 1 dan gaat (1−an ) naar 0.
Het limiet van een meetkundige rij bestaat alleen wanneer |a| kleiner is dan 1.
3. Convergente en divergente rijen en reeksen
Convergent: het limiet bestaat wel.
Divergent: het limiet bestaat niet (gaat dan naar +∞ of naar -∞ ).
4. De insluitstelling
Bij het bepalen van een limietwaarde is het soms handig om te maken van de insluitstelling:
Gegeven de rijen an, bn en cn, waarvoor vanaf bepaalde n geld an < cn < bn.
