Theoretische biologie hoofdstuk 3
Lotka Voltera model, is heel breed en kan bijvoorbeeld voor predator-prooirelaties gebruikt worden,
maar ook voor het bekijken van kankercellen. Dit is misschien wel het breedste model in de biologie.
Predator-prooi systeem, van de prooi zijn de gegevens bekend die
rechts in de grafieken zijn weergegeven. Verder gaat het hier om
een bos waarin muizen en uilen leven. De uilen hebben als enige
voedselbron de muizen. In de grafiek zie je dat het geboortecijfer
(van de prooien) per capita afhankelijk is van de dichtheid en dat
die bij dichtheid k gelijk aan 0 wordt. Verder is het sterftecijfer
niet afhankelijk van de dichtheid en als de levensverwachting 𝑑𝑅 𝑅
bijvoorbeeld 2 jaar is, is dat zowel in een kleine populatie als een grote 𝑑𝑡
= (𝑏 (1 − 𝑘 ) − 𝑑 − 𝑎𝑁) 𝑅
populatie. Daarnaast zie je nog dat het aantal muizen wat door een uil gegeten
wordt afhankelijk is van de dichtheid van de muizenpopulatie. Bij een lage dichtheid eet elke uil heel
weinig muizen en bij een grote dichtheid eet elke uil veel muizen. Dit levert een
𝑑𝑅
differentiaalvergelijking van 𝑑𝑡 = (𝑏𝑓(𝑅) − 𝑑 − 𝑎𝑁)𝑅 waarin b de birth rate is, d de death rate is, a
de attack rate is, N het aantal uilen is, R het aantal muizen is en de functie gelijk is aan: 𝑓(𝑅) = 1 −
𝑅
𝑘
. Je ziet in de vergelijking dat het aantal muizen dat opgegeten wordt dus afhankelijk is van het
aantal muizen en het aantal uilen, vandaar dat in de grafiek is aangegeven dat elke
uil 𝑎𝑅 muizen eet. Dit is een mass action interaction term, want de snelheid
waarmee dit proces gebeurt is proportioneel aan de dichtheden van beide
populaties. Je ziet hier namelijk dat er 2 keer zoveel muizen gegeten worden als er 2
keer zoveel muizen zijn, maar ook als er twee keer zoveel uilen zijn. Nu moet er ook
nog een differentiaalvergelijking voor de uilen opgesteld worden. We weten al dat 1
𝑑𝑁
uil 𝑎𝑅 muizen opeet en dat is in de eerste grafiek op de x-as weergegeven. Dit heeft = (𝑐𝑎𝑅 − 𝛿)𝑁
𝑑𝑡
invloed op het geboortecijfer en je ziet dan ook dat het geboortecijfer 0 is als de uilen niks
eten. Verder zie je dat het geboortecijfer dus lineair gekoppeld is aan het aantal muizen
wat een uil eet. Daarnaast hebben de uilen een vast sterftecijfer. Dit levert uiteindelijk een
𝑑𝑁 1
differentiaalvergelijking van 𝑑𝑡 = (𝑐𝑎𝑅 − 𝛿)𝑁. Hier is 𝛿 de levensverwachting van een uil. Je hebt nu
dus de differentiaalvergelijking van de prooi en predator opgesteld door naar je metingen te kijken
die je uitgezet hebt in een grafiekje. Het 2D systeem wat nu gevormd is, is het Lotka Volterra model.
Tumor, het voorbeeld wat hierboven is aangegeven kan je ook
toepassen op een (groeiende) tumor die aangevallen wordt door
killer cellen. Je ziet dat de grafieken er hetzelfde uitzien en dat
hier dus dezelfde vorm van differentiaalvergelijking van pas komt.
De birth rate neemt hier namelijk ook af naarmate er meer
tumorcellen zijn doordat er dan bijvoorbeeld een minder goede
bloedtoevoer is. Verder hebbend de tumorcellen een vaste levensverwachting 𝑑𝑅 𝑅
= (𝑏 (1 − 𝑘 ) − 𝑑 − 𝑎𝑁) 𝑅
en worden ze door killer cellen aangevallen en gedood. Deze killer cellen 𝑑𝑡
doden tumorcellen proportioneel aan het aantal tumorcellen. Ook voor de
killercellen hebben we grafieken die hetzelfde zijn als die van de uilen uit
bovenstaand voorbeeld. Je ziet hier namelijk ook dat de killer cellen een vast
sterftecijfer hebben en dat ze meer delen, wanneer ze veel
tumorcellen gedood hebben. Ook hier heb je dus dezelfde 𝑑𝑁
𝑑𝑡
= (𝑐𝑎𝑅 − 𝛿)𝑁
vergelijking. Het systeem wat nu gevormd is, is het Lotka
Volterra model.
Evenwicht Lotka Volterra, om het evenwicht te vinden moeten beide 𝑑𝑅 𝑅
vergelijkingen gelijk zijn aan 0. Als je dan met de simpelste vergelijking wil 𝑑𝑡
= (𝑏 (1 − 𝑘 ) − 𝑑 − 𝑎𝑁) 𝑅
𝑑𝑁 𝑑𝑁
beginnen is dat de vergelijking van de uilen. = 0 levert 𝑁̅ = 0 en 𝑅̅ = 𝛿 . 𝑑𝑡
= (𝑐𝑎𝑅 − 𝛿)𝑁
𝑑𝑡 𝑐𝑎
Hieruit blijkt dat er een evenwicht zal zijn wanneer er geen uilen zijn
, 𝛿
(hoogstwaarschijnlijk bij de draagcapaciteit van de muizen) en een evenwicht bij 𝑐𝑎 muizen. Dit
𝛿 𝑑𝑁
evenwicht met 𝑐𝑎 muizen is dus afhankelijk van het aantal uilen, omdat we dit aan de hand van 𝑑𝑡
berekend hebben en omdat 𝛿, 𝑐 en 𝑎 allemaal uilenparameters zijn . Om te achterhalen welke
waardes hier nog bij horen, zal je de gevonden waardes in de differentiaalvergelijking van muizen in
moeten vullen, terwijl je die gelijk stelt aan 0:
̅ = 0 in (𝑏 (1 − 𝑅) − 𝑑 − 𝑎𝑁) 𝑅 = 0 levert de vergelijking (𝑏 (1 − 𝑅) − 𝑑) 𝑅 = 0 en
1. 𝑁 𝑘 𝑘
𝑅 𝑏
hierbij kan 𝑅̅ = 0 een evenwicht zijn of 𝑏 (1 − 𝑘 ) − 𝑑 = 0 𝑏 − 𝑘 𝑅 − 𝑑 = 0 𝑏 − 𝑑 =
𝑏 𝑘 𝑏 𝑑 𝑑
𝑘
𝑅 𝑅 = (𝑏 − 𝑑) ∗ 𝑏 𝑅 = (𝑏 − 𝑏 ) 𝑘 𝑅̅ = (1 − 𝑏 ) 𝑘 = 𝐾. Je hebt nu dus het
evenwicht (0,0) en het evenwicht (K,0). Bij dit laatste hebben de muizen de draagcapaciteit
bereikt en zijn er geen uilen.
𝛿 𝑅
2. 𝑅̅ = 𝑐𝑎 in (𝑏 (1 − 𝑘 ) − 𝑑 − 𝑎𝑁) 𝑅 = 0 geeft ten eerste al 𝑅̅ = 0 en ten tweede
1 𝛿 1 𝛿
𝑏 (1 − 𝑘 ∗ 𝑐𝑎) − 𝑑 − 𝑎𝑁 = 0 𝑎𝑁 = 𝑏 (1 − 𝑘 ∗ 𝑐𝑎) − 𝑑 𝑁 ̅ = 1 (𝑏 (1 − 𝛿 ) − 𝑑). Het
𝑎 𝑐𝑎𝑘
derde (niet-triviale) evenwicht wat we nu gevonden hebben (𝑅̅ , 𝑁
̅ ) geeft een evenwicht
waarin zowel muizen als uilen aanwezig zijn. Dit derde evenwicht van het Lotka Volterra
𝛿
model hoeft niet altijd aanwezig te zijn, want als de 𝑏 (1 − 𝑐𝑎𝑘) term kleiner is dan de 𝑑 zou
̅ een negatieve uitkomst hebben en dat is biologisch niet correct. Het is dus afhankelijk van
𝑁
de parameters of dit derde evenwicht aanwezig is.
Isoclines Lotka Volterra, hiervoor stellen we beide vergelijkingen onafhankelijk 𝑑𝑅 𝑅
𝛿 = (𝑏 (1 − ) − 𝑑 − 𝑎𝑁) 𝑅
̅ ̅
van elkaar gelijk aan 0 en dat levert dan N-isocline van 𝑁 = 0 en 𝑅 = 𝑐𝑎 en R- 𝑑𝑡 𝑘
𝑑𝑁
= (𝑐𝑎𝑅 − 𝛿)𝑁
isoclines van 𝑅̅ = 0 en 𝑁̅ = 1 (𝑏 (1 − 𝑅) − 𝑑). De uilen isoclines zijn dus 𝑑𝑡
𝑎 𝑘
twee rechte lijnen, waarbij de een afhankelijk is van de parameters en in
de afbeelding zie je dat deze rond een bepaalde hoeveelheid muizen zit.
Vervolgens kan je de muizen isoclines tekenen. Hier heb je een rechte lijn
en 𝑁̅ = 1 (𝑏 (1 − 𝑅) − 𝑑) = 𝑏 (1 − 𝑅) − 𝑑 als je hier invult 𝑅 = 0 levert
𝑎 𝑘 𝑎 𝑘 𝑎
𝑏−𝑑
dat 𝑁 = 𝑎 . Je weet nu het snijpunt met de N-as en je ziet aan de vorm
van de vergelijking dat het hier om een afnemende
grafiek gaat. Dit levert dus twee mogelijke faseplaatjes,
omdat we de waardes van de parameters niet weten.
Verder zie je dat de isocline van de muizen de x-as
snijdt op de draagcapaciteit. Als we gaan kijken hoe ze
de vectorvelden hebben bepaald, kijken we naar de
situatie waarbij we zowel veel muizen als veel uilen
𝑑𝑁 𝑑𝑁
hebben. Voor = (𝑐𝑎𝑅 − 𝛿)𝑁 kan je ook =
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑐𝑎𝑅𝑁 − 𝛿𝑁 schrijven en de eerste (positieve) term is
hier dus groter dan de tweede (negatieve) term,
waardoor het aantal uilen in dit veld toe zal nemen. Dit zie je ook weergegeven doordat het gebied
wat het rechter gedeelte van beide faseplaatjes beslaat een pijl omhoog heeft. In dit gebied zijn er
𝑑𝑅 𝑅
dus genoeg muizen om het aantal uilen te laten groeien. Als we nu naar 𝑑𝑡 = (𝑏 (1 − 𝑘 ) − 𝑑 −
𝑑𝑅 𝑅
𝑎𝑁) 𝑅 gaan kijken, kan je dat ook als = 𝑏𝑅 (1 − ) − 𝑑𝑅 − 𝑎𝑁𝑅 schrijven en hieruit volgt een
𝑑𝑡 𝑘
negatieve uitkomst en dus een ← pijl. De andere velden kan je dan aan de hand van de isoclines
bepalen door de pijlen om te klappen als je over een isocline heengaat. Let hierbij op dat je de pijl in
de R richting alleen omklapt als je over een R-isocline gaat en niet als je over een N-isocline gaat en
vice versa. Als we nu bij het eerste faseplaatje gaan bepalen met wat voor evenwicht we te maken
hebben, zien we dat (0,0) instabiel is, omdat de horizontale pijl er vanaf wijst; dat (K,0) instabiel is
omdat de verticale pijl er vandaan wijst en dat het derde evenwicht een spiraal is. Om te testen wat
Lotka Voltera model, is heel breed en kan bijvoorbeeld voor predator-prooirelaties gebruikt worden,
maar ook voor het bekijken van kankercellen. Dit is misschien wel het breedste model in de biologie.
Predator-prooi systeem, van de prooi zijn de gegevens bekend die
rechts in de grafieken zijn weergegeven. Verder gaat het hier om
een bos waarin muizen en uilen leven. De uilen hebben als enige
voedselbron de muizen. In de grafiek zie je dat het geboortecijfer
(van de prooien) per capita afhankelijk is van de dichtheid en dat
die bij dichtheid k gelijk aan 0 wordt. Verder is het sterftecijfer
niet afhankelijk van de dichtheid en als de levensverwachting 𝑑𝑅 𝑅
bijvoorbeeld 2 jaar is, is dat zowel in een kleine populatie als een grote 𝑑𝑡
= (𝑏 (1 − 𝑘 ) − 𝑑 − 𝑎𝑁) 𝑅
populatie. Daarnaast zie je nog dat het aantal muizen wat door een uil gegeten
wordt afhankelijk is van de dichtheid van de muizenpopulatie. Bij een lage dichtheid eet elke uil heel
weinig muizen en bij een grote dichtheid eet elke uil veel muizen. Dit levert een
𝑑𝑅
differentiaalvergelijking van 𝑑𝑡 = (𝑏𝑓(𝑅) − 𝑑 − 𝑎𝑁)𝑅 waarin b de birth rate is, d de death rate is, a
de attack rate is, N het aantal uilen is, R het aantal muizen is en de functie gelijk is aan: 𝑓(𝑅) = 1 −
𝑅
𝑘
. Je ziet in de vergelijking dat het aantal muizen dat opgegeten wordt dus afhankelijk is van het
aantal muizen en het aantal uilen, vandaar dat in de grafiek is aangegeven dat elke
uil 𝑎𝑅 muizen eet. Dit is een mass action interaction term, want de snelheid
waarmee dit proces gebeurt is proportioneel aan de dichtheden van beide
populaties. Je ziet hier namelijk dat er 2 keer zoveel muizen gegeten worden als er 2
keer zoveel muizen zijn, maar ook als er twee keer zoveel uilen zijn. Nu moet er ook
nog een differentiaalvergelijking voor de uilen opgesteld worden. We weten al dat 1
𝑑𝑁
uil 𝑎𝑅 muizen opeet en dat is in de eerste grafiek op de x-as weergegeven. Dit heeft = (𝑐𝑎𝑅 − 𝛿)𝑁
𝑑𝑡
invloed op het geboortecijfer en je ziet dan ook dat het geboortecijfer 0 is als de uilen niks
eten. Verder zie je dat het geboortecijfer dus lineair gekoppeld is aan het aantal muizen
wat een uil eet. Daarnaast hebben de uilen een vast sterftecijfer. Dit levert uiteindelijk een
𝑑𝑁 1
differentiaalvergelijking van 𝑑𝑡 = (𝑐𝑎𝑅 − 𝛿)𝑁. Hier is 𝛿 de levensverwachting van een uil. Je hebt nu
dus de differentiaalvergelijking van de prooi en predator opgesteld door naar je metingen te kijken
die je uitgezet hebt in een grafiekje. Het 2D systeem wat nu gevormd is, is het Lotka Volterra model.
Tumor, het voorbeeld wat hierboven is aangegeven kan je ook
toepassen op een (groeiende) tumor die aangevallen wordt door
killer cellen. Je ziet dat de grafieken er hetzelfde uitzien en dat
hier dus dezelfde vorm van differentiaalvergelijking van pas komt.
De birth rate neemt hier namelijk ook af naarmate er meer
tumorcellen zijn doordat er dan bijvoorbeeld een minder goede
bloedtoevoer is. Verder hebbend de tumorcellen een vaste levensverwachting 𝑑𝑅 𝑅
= (𝑏 (1 − 𝑘 ) − 𝑑 − 𝑎𝑁) 𝑅
en worden ze door killer cellen aangevallen en gedood. Deze killer cellen 𝑑𝑡
doden tumorcellen proportioneel aan het aantal tumorcellen. Ook voor de
killercellen hebben we grafieken die hetzelfde zijn als die van de uilen uit
bovenstaand voorbeeld. Je ziet hier namelijk ook dat de killer cellen een vast
sterftecijfer hebben en dat ze meer delen, wanneer ze veel
tumorcellen gedood hebben. Ook hier heb je dus dezelfde 𝑑𝑁
𝑑𝑡
= (𝑐𝑎𝑅 − 𝛿)𝑁
vergelijking. Het systeem wat nu gevormd is, is het Lotka
Volterra model.
Evenwicht Lotka Volterra, om het evenwicht te vinden moeten beide 𝑑𝑅 𝑅
vergelijkingen gelijk zijn aan 0. Als je dan met de simpelste vergelijking wil 𝑑𝑡
= (𝑏 (1 − 𝑘 ) − 𝑑 − 𝑎𝑁) 𝑅
𝑑𝑁 𝑑𝑁
beginnen is dat de vergelijking van de uilen. = 0 levert 𝑁̅ = 0 en 𝑅̅ = 𝛿 . 𝑑𝑡
= (𝑐𝑎𝑅 − 𝛿)𝑁
𝑑𝑡 𝑐𝑎
Hieruit blijkt dat er een evenwicht zal zijn wanneer er geen uilen zijn
, 𝛿
(hoogstwaarschijnlijk bij de draagcapaciteit van de muizen) en een evenwicht bij 𝑐𝑎 muizen. Dit
𝛿 𝑑𝑁
evenwicht met 𝑐𝑎 muizen is dus afhankelijk van het aantal uilen, omdat we dit aan de hand van 𝑑𝑡
berekend hebben en omdat 𝛿, 𝑐 en 𝑎 allemaal uilenparameters zijn . Om te achterhalen welke
waardes hier nog bij horen, zal je de gevonden waardes in de differentiaalvergelijking van muizen in
moeten vullen, terwijl je die gelijk stelt aan 0:
̅ = 0 in (𝑏 (1 − 𝑅) − 𝑑 − 𝑎𝑁) 𝑅 = 0 levert de vergelijking (𝑏 (1 − 𝑅) − 𝑑) 𝑅 = 0 en
1. 𝑁 𝑘 𝑘
𝑅 𝑏
hierbij kan 𝑅̅ = 0 een evenwicht zijn of 𝑏 (1 − 𝑘 ) − 𝑑 = 0 𝑏 − 𝑘 𝑅 − 𝑑 = 0 𝑏 − 𝑑 =
𝑏 𝑘 𝑏 𝑑 𝑑
𝑘
𝑅 𝑅 = (𝑏 − 𝑑) ∗ 𝑏 𝑅 = (𝑏 − 𝑏 ) 𝑘 𝑅̅ = (1 − 𝑏 ) 𝑘 = 𝐾. Je hebt nu dus het
evenwicht (0,0) en het evenwicht (K,0). Bij dit laatste hebben de muizen de draagcapaciteit
bereikt en zijn er geen uilen.
𝛿 𝑅
2. 𝑅̅ = 𝑐𝑎 in (𝑏 (1 − 𝑘 ) − 𝑑 − 𝑎𝑁) 𝑅 = 0 geeft ten eerste al 𝑅̅ = 0 en ten tweede
1 𝛿 1 𝛿
𝑏 (1 − 𝑘 ∗ 𝑐𝑎) − 𝑑 − 𝑎𝑁 = 0 𝑎𝑁 = 𝑏 (1 − 𝑘 ∗ 𝑐𝑎) − 𝑑 𝑁 ̅ = 1 (𝑏 (1 − 𝛿 ) − 𝑑). Het
𝑎 𝑐𝑎𝑘
derde (niet-triviale) evenwicht wat we nu gevonden hebben (𝑅̅ , 𝑁
̅ ) geeft een evenwicht
waarin zowel muizen als uilen aanwezig zijn. Dit derde evenwicht van het Lotka Volterra
𝛿
model hoeft niet altijd aanwezig te zijn, want als de 𝑏 (1 − 𝑐𝑎𝑘) term kleiner is dan de 𝑑 zou
̅ een negatieve uitkomst hebben en dat is biologisch niet correct. Het is dus afhankelijk van
𝑁
de parameters of dit derde evenwicht aanwezig is.
Isoclines Lotka Volterra, hiervoor stellen we beide vergelijkingen onafhankelijk 𝑑𝑅 𝑅
𝛿 = (𝑏 (1 − ) − 𝑑 − 𝑎𝑁) 𝑅
̅ ̅
van elkaar gelijk aan 0 en dat levert dan N-isocline van 𝑁 = 0 en 𝑅 = 𝑐𝑎 en R- 𝑑𝑡 𝑘
𝑑𝑁
= (𝑐𝑎𝑅 − 𝛿)𝑁
isoclines van 𝑅̅ = 0 en 𝑁̅ = 1 (𝑏 (1 − 𝑅) − 𝑑). De uilen isoclines zijn dus 𝑑𝑡
𝑎 𝑘
twee rechte lijnen, waarbij de een afhankelijk is van de parameters en in
de afbeelding zie je dat deze rond een bepaalde hoeveelheid muizen zit.
Vervolgens kan je de muizen isoclines tekenen. Hier heb je een rechte lijn
en 𝑁̅ = 1 (𝑏 (1 − 𝑅) − 𝑑) = 𝑏 (1 − 𝑅) − 𝑑 als je hier invult 𝑅 = 0 levert
𝑎 𝑘 𝑎 𝑘 𝑎
𝑏−𝑑
dat 𝑁 = 𝑎 . Je weet nu het snijpunt met de N-as en je ziet aan de vorm
van de vergelijking dat het hier om een afnemende
grafiek gaat. Dit levert dus twee mogelijke faseplaatjes,
omdat we de waardes van de parameters niet weten.
Verder zie je dat de isocline van de muizen de x-as
snijdt op de draagcapaciteit. Als we gaan kijken hoe ze
de vectorvelden hebben bepaald, kijken we naar de
situatie waarbij we zowel veel muizen als veel uilen
𝑑𝑁 𝑑𝑁
hebben. Voor = (𝑐𝑎𝑅 − 𝛿)𝑁 kan je ook =
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑐𝑎𝑅𝑁 − 𝛿𝑁 schrijven en de eerste (positieve) term is
hier dus groter dan de tweede (negatieve) term,
waardoor het aantal uilen in dit veld toe zal nemen. Dit zie je ook weergegeven doordat het gebied
wat het rechter gedeelte van beide faseplaatjes beslaat een pijl omhoog heeft. In dit gebied zijn er
𝑑𝑅 𝑅
dus genoeg muizen om het aantal uilen te laten groeien. Als we nu naar 𝑑𝑡 = (𝑏 (1 − 𝑘 ) − 𝑑 −
𝑑𝑅 𝑅
𝑎𝑁) 𝑅 gaan kijken, kan je dat ook als = 𝑏𝑅 (1 − ) − 𝑑𝑅 − 𝑎𝑁𝑅 schrijven en hieruit volgt een
𝑑𝑡 𝑘
negatieve uitkomst en dus een ← pijl. De andere velden kan je dan aan de hand van de isoclines
bepalen door de pijlen om te klappen als je over een isocline heengaat. Let hierbij op dat je de pijl in
de R richting alleen omklapt als je over een R-isocline gaat en niet als je over een N-isocline gaat en
vice versa. Als we nu bij het eerste faseplaatje gaan bepalen met wat voor evenwicht we te maken
hebben, zien we dat (0,0) instabiel is, omdat de horizontale pijl er vanaf wijst; dat (K,0) instabiel is
omdat de verticale pijl er vandaan wijst en dat het derde evenwicht een spiraal is. Om te testen wat
