dimension des espaces vectoriels

Soit E un espace vectoriel de dimension n et
F une famille de n vecteurs.
Il y a équivalence entre :
Théorème des quatre dimensions F est une base de E
Soit F et G deux sous-espaces vectoriel. F est une famille libre de E (famille libre
dim(F+G)=dim(F)+dim(G)-dim( F G) maximale)
F est une génératrice de E (famille
génératrice minimale)

Dimension :
Nombre d'éléments d'une
base Vect :
Le Vect (v1,...,vp) est l'ensemble
Une base fournit un système de des combinaisons linéaires
coordonnées. engendrées par (v1,...,vp)


Tout espace vectoriel admettant une
famille finie génératrice admet une base. Dimension finie Rang :
Le rang d'une famille v1,...,vp est le
rang de la matrice (v1|...|vp).
Théorème de la base incomplète : C'est aussi la dimension de Vect
Toute famille libre peut être complétée en une base. Base (v1|...|vp).
De toute famille génératrice on peut extraire une base.
(On peut ajouter ou enlever des vecteurs d'une familles
libres pour faire une base.) Une famille est liée si et seulement si
au moins un des vecteurs est
combinaison linéaire des autres.
famille
famille libre famille liée
génératrice
n
Soit F une famille de R , si elle
contient plus de n éléments alors elle
est liée.
Toute sous-famille d'une famille libre
est liée.
Toute famille qui contient le vecteur
nul est liée.