Exam (elaborations) Mathématique

Mathématiques en MP* d’après un cours au lycée Louis-le-Grand


Chapitre 32
Exponentielle d’une matrice


Dans tout le chapitre K = R ou C, (E, ∥.∥) est un K espace vectoriel normé de dimension finie n, et L(E)
désigne l’espace vectoriel (de dimension finie n2 ) des endomorphismes linéaires de E, implicitement muni
de la norme d’opérateur ~.~ induite par ∥.∥.


Notations
→ On note pour tout h ∈ L(E) et R ≥ 0,

B~.~ (h, R) = {u ∈ L(E), ~u − h~ < R}

et lorsqu’il n’y a pas ambiguïté, on note tout simplement B(h, R).
X
→ Pour toute suite (ak ) ∈ KN , on dit que ak z k est une série entière de rayon au moins R ∈]0, +∞[
n
!
X X
k
lorsque pour tout z ∈ C tel que |z| < R, la série ak z est convergente, i.e. la suite ak z
k≥0 k=0 n∈N
est convergente.
→ Pour toute base β de E et tous u ∈ L(E) et x ∈ E, on note [u]β la matrice de u dans la base β et
[x]β le vecteur colonne des coordonnées de x dans la base β.
→ Pour tout u ∈ L(E), on note K[u] = Vect{uk , k ∈ N}.
→ Pour toute matrice M ∈ Mn (C), on note K[M ] = Vect{M k , k ∈ N}.
→ Pour toute matrice M ∈ Mn (C), on note ⟨M ⟩K = {P M P −1 , P ∈ GLn (K)}.
→ Soit X, Y deux ensembles munis de lois de compositions internes, on note Hom(X, Y ) l’ensemble
des homomorphismes de X dans Y .


I Généralités, propriété fonctionnelle
1. Calcul opérationnel
X
Soit ak z k une série entière de rayon R ∈]0, +∞]

Proposition I.1.
X
1. Pour tout u ∈ L(E) tel que ~u~ < R, ak uk est une série absolument convergente.

2. La fonction 
B~.~ (0, R)

 −→ L(E)
∞
f : X
u
 7−→ f (u) = ak u k
k=0

est continue


1. On rappelle qu’une norme d’opérateur est une norme d’algèbre (sous-multiplicative) et que donc

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‌u ‌ ≤ ~u~k . Par conséquent, on a
‌ k‌


∀k ∈ N, ‌ak uk ‌ ≤ |ak | · ~u~k
‌ ‌


|ak | ~u~k est convergente car ~u~ < R. Ainsi, la série est absolument convergente. De
X
et la série
plus, L(E) étant complet (E est de dimension finie sur K = R ou C et donc L(E) aussi), la série
converge bien dans L(E) aussi (d’après le corolaire III.4 du chapitre 11.2).

Remarque : On rappelle que, par équivalence des normes en dimension finie sur K = R ou C, la
convergence normale ne dépend pas de la norme choisie (qu’elle soit triple ou pas), donc ce résultat
est toujours valable si on avait choisi une autre norme N sur E et sa norme d’opérateur associée
~.~N (ici par contre on oblige qu’elle soit triple pour assurer sa sous-multiplicativé). En particulier,
X
pour montrer que la série ak uk converge, il suffit de trouver une norme ∥.∥ sur E dont la norme
X
triple vérifie ~u~∥.∥ < R où R est le rayon de convergence de ak z k .


X
2. Soit ρ tel que 0 < ρ < R. La série ak z k est normalement convergente sur B(0, ρ), ceci étant car


∀u ∈ B(0, ρ), ∀k ∈ N, ‌ak uk ‌ ≤ |ak | · ~u~k ≤ |ak | ρk
‌ ‌

∞
X
et |ak |·ρk est convergente. En particulier, B(0, ρ) étant ouvert, f est donc continue sur ce dernier.
k=0

S
On déduit donc que f est continue sur B(0, ρ) = B(0, R)
0<ρ<R




X
Notation : Par abus de notation, parfois on confondra série entière ak z k et son application associée
∞
X X
sur L(E), u 7→ ak uk . Par exemple, on dira que la série entière ak uk est convergente sur B~.~ (h, R)
k=0
n
!
X
+ k
(avec (h, R) ∈ L(E) × R ) si la suite ak u est convergente pour tout u ∈ B~.~ (h, R).
k=0 n∈N



Exercice I.2.
∞
X
1. On suppose que K = C, u ∈ L(E) et ak z k une série entière de rayon R > 0. Montrer
k=0
que si
ρ(u) := sup{|λ|, λ ∈ VP(u)} < R,
X
alors ak uk est convergente.
∞
X ∞
X
2. Soit u ∈ L(E), f = ak z k et g = bk z k tel que ~u~ < min(ρ(f ), ρ(g)). Montrer que
k=0 k=0
f (u) ◦ g(u) = (f g)(u).



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