Zusammenfassung Bernoulli, Binominalverteilung

RH2) Binomialkoeffizienten




Wie viele Möglichkeiten gibtes, h 5Schüler =

auf 8 Stühle zu verteilen?


3.2.1
Erweitere mit
&
⑤2.4 =:=un-n! -




Definition:Das Produktn . (n-1). (n-2)..... 2.1



wird mit n! In Fakultät") abgekürzt.




Bsp 4.3.2.1 4!
:
=




9! 9.8.7.6.5.4.3.2.1
=




1) 1
=




0! = 1 (Definition)



n!
Satz:Es gibtk !. (n-k!) Möglichkeiten, aus n Elementen u Stück auszuwählen.


Beim Baumdiagramm zu einer Bernoullikette der längen gibte s u?" (n-k)! Pfade mitgenau k treffern


Bsp:x 2
=
n5 =




-


II... 1,,
(T,, T, I)
-
5!
10
=




2!(5 2)!-




Definition:Der Ausdruck u?"n-k! wird mit (n) (n über hi) abgekürztund heit


Binominalkoeffizient( n,htN.n = k)


Bsp: 0 (2) 45!=126
=




② wie viele Möglichkeiten gibt es, aus zu sus z für den Tafeldienstauszuwählen?


(4) =



2 != 276 sol Wahrscheinlichkeit Anzahl
-
Anzahl günstiger Ereignisse
aller Ereignisse



beg:5 0 Lampen, davon 2 defekt


Ges:Wahrscheinlichkeitf ür 2 funktionierende Lampen


Schätzung: - 90%




Wie viele Möglichkeiten gibte s unter 50 Lampen zdefekte anzuordnen?

n 50,4
=

2(%)
=
1225
= -
Anzahl aller Ereignisse

Wie viele Möglichkeiten gibt es aus 48 funktionierendenz Lampen zu ziehen? Anzahl
günstiger Ereignisse

n
48,h
=
2
=
(23) 128
=




Also a 0.92:92%
=




inangegenwieeine
Alternative:

pirug

, 3) Die Formel von Bernoulli
Matz ist ein großer Fan der deutschen Fußballnationalmannschaft. Auf Grund einer bevorste-
henden internationalen Meisterschaft legt ein Hersteller von Schokoriegeln jedem fünften Riegel
p I
=




einen Sammelaufkleber mit einem Foto einer der Spielerinnen bei. Matz kauft fünf Riegel.
n 5
=




Die Abbildung zeigt ein unvollständiges Baumdiagramm, in dem die Sammelaufkleber als Tre↵er
bezeichnet werden.
15
(T,T,T,T,T)
I
ST,5, T, T,N)
ST, T, T, N, N
.
000
.
e+,5, N,N,T)
.
ST, T, N, N,N)
. 000

. N,
ST, T, N,N)
. N, T, N, TS
ST,
cT, N, N, T, T)
.
N)
. N, N, T,
15,
15, N, N, N, TS
. N)
ST, N, N, N,
H .
000
5
I .
I (N, N,T, T,T)
I I . N, T, T, N)
(N,
I
. N, T, N,t)
(N,
E
(N,. N,T, N, N)
E
E (N,. N, N,T, T)
I
I
(N, .W, N, T, N
Y
I (N,. W, N, N,TS
I IN, N, N, N, N)
I

/
a) Gib die Tre↵erwahrscheinlichkeit p und die Länge der Bernoullikette n an.
5
I
n =




p=




v
b) Ergänze die Wahrscheinlichkeiten an den Pfaden und die Ergebnisse in der Form (T,T,T,T,N)
an den sichtbaren Pfaden.
w
c) Markiere alle sichtbaren Pfade mit genau zwei Tre↵ern mit grüner Farbe.

d) Notiere die Rechnungen für die Wahrscheinlichkeiten P(T,N,T,N,N) und P(N,N,T,T,N).
P(T, N, T, N, N E., E.E. 0,2 2% P(N, N, T, T, W) 0,2
=



= = =
2%
=




2 3
e) Begründe, dass p · (1 p) ↳ die Wahrscheinlichkeit für genau einen Pfad mit genau zwei
Nichttreffer
für mind
für mind 2 Treffe
3




Tre↵ern beschreibt. P(N,N, TIN) I. F5 (5)2.()
=
=
p2.41 b
=


-




f ) Gib den Binomialkoeffizienten an, mit dem man die Anzahl der möglichen Pfade mit genau
zwei Tre↵ern berechnen kann.
(2) 10
=




g) Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Tre↵er.

P(genau 2T) =



(I) ) (F) =
20,5% PDgena OT (8
=

(E))" 0,33 33%
=
=




R
AB˙Bernoulliformel.TEX n
(= = 0,0064 0,64%
P(genau nT)
(E)".
=

=