FICHE TD1 Réduction des endomorphismes

UPHF - INSA HdF
Licence Mathématiques
2ème année - Semestre 4 année 21/22

Unité d’enseignement : Algèbre 4P
Fiche de TD n˚1 : Polynômes d’endomorphismes, Réduction d’endomorphismes

Exercice 1
Soit A ∈ Mn (R) qui vérifie
A3 − 2A2 − A + 2In = 0n .
1) Montrer que A est inversible et donner son inverse A−1 .
2) Montrer que A est diagonalisable.

Exercice 2
On considère la matrice suivante :  
3 1 −1
A= 0 2 0  .
1 1 1
a) Calculer le polynôme caractéristique de A, noté χA .
b) En déduire que A est inversible et donner A−1 .

Exercice 3
On se place dans le R-espace vectoriel E = R3 usuel et on note C sa base canonique.
On considère l’endomorphisme p de E défini par :

p : (x, y, z) 7−→ (2x + y − z , 3x + 4y − 3z , 5x + 5y − 4z) ,

et on note A la matrice associée à p dans la base C.
1) a) À quoi est égal l’endomorphisme p2 = p ◦ p ?
En déduire les valeurs propres possibles de p et en déduire, sans calcul, que la matrice A est diagona-
lisable.
b) Déterminer le rang de p.
En déduire une matrice diagonale associée à p dans une base que l’on ne cherchera pas à déterminer.
2) a) Déterminer les valeurs propres de A d’une autre façon.
b) Déterminer les sous-espaces propres de A.
c) Déterminer la matrice diagonale semblable à A, qui est donc la matrice associée à p dans une base B
que l’on précisera.

Exercice 4
On appelle suite de Fibonacci la suite réelle (uk ) définie par une récurrence sur deux termes et par la donnée
::::::::::::::::
de ses deux premiers termes, de la manière suivante :

uk+2 = uk+1 + uk , pour tout k ∈ N ,
u0 = 0 , u1 = 1 .

a) Calculer u2 , u3 , u4 et u5 .
 
uk+1
b) Pour tout entier naturel k, on note Vk la matrice colonne Vk = .
uk
Déterminer la matrice A ∈ M2 (R) telle que : ∀k ∈ N , Vk+1 = AVk .
c) Diagonaliser la matrice A.
d) En déduire l’expression de uk en fonction du rang k et des valeurs propres de A.




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