Theoretische Biologie
Deeltoets 2 van Kwanti tati eve Biologie
Jaar 1, periode 3
Bevat alle uitgewerkte leerdoelen
In ODE modellen (Ordinary Differential Equations) gaan ze ervan uit dat:
- Alle individuen gelijk zijn en beschreven kunnen worden door een enkele variabele.
- De populatie gemixt is, dus ruimtelijke locatie is irrelevant
- De populatie is groot, je hoeft je niet bezig te houden met 0.1 individuen
- De parameters zijn constant, geen seizoensgebonden veranderingen in b of d
b = per capita birth rate Het model dat hier bij hoort:
bN = aantal geboortes stijgt lineair met populatie
d = per capita death rate dN
=( b−d ) N
dN = aantal sterfgevallen stijgt lineair met populatie dt
kleine populatie heeft de neiging om te groeien, een grote heeft de neiging om af te nemen. Als er een evenwicht is
blijft het aantal individuen in de populatie gelijk omdat geboorte en sterfte elkaar in evenwicht houden, dit heet de
steady state.
Als je ‘density dependent death’ gaat toevoegen ziet je model er iets anders uit. Je vervangt de constante d dan
door: f ( N )=d +cN
Je kan dit ook schrijven als: g ( N )=1+ N /k met k =d /c
(k is een maat voor hoe erg je sterfte toeneemt met de populatiegrootte)
Het model dat bij ‘density dependent death’ hoort:
dN
=(b−d ( 1+ N /k )) N met g ( N )=1+ N /k
dt
d is hier je minimale per capita ‘sterfte’ en g hoe je ‘sterfte’ stijgt in relatie tot N
Je noemt het niet-triviale evenwicht ‘K’ ook wel de carrying capacity van het
ecosysteem. Deze kan opgelost worden uit de bovenstaande formule door
dN b−d
=0 in te vullen. Je krijgt dan K=k
dt d
,Een triviaal evenwicht (bijv. N=0) betekent dat een van de populaties is uitgestorven.
Een niet-triviaal evenwicht houdt in dat er co-existentie is.
R0 = b/d Dit is de fitness
Bij een 1-dimensionaal systeem teken je een faseplaatje door een horizontale lijn te tekenen. Vervolgens ga op de
lijn aannames over de afgeleide van de groei tekenen:
a. Als de grafiek > 0 is (boven de x-as), teken je een om te laten zien dat N toeneemt.
b. Als de grafiek < 0 is (onder de x-as), teken je een om te laten zien dat N afneemt.
c. Als de grafiek = 0 is, teken je een cirkel om een evenwicht (steady state) aan te duiden.
0 is wel een evenwicht, maar een instabiel evenwicht
Attractor Repellor
Als je meerdere attractoren hebt bepalen de begincondities naar welke attractor het evenwicht beweegt. De grens
tussen twee attractoren is altijd een instabiel evenwicht.
Het interval van de begincondities waarvoor een evenwicht naar een bepaalde attractor beweegt noem je de Basins
of attraction.
dN
Als je ‘density dependent birth’ toevoegt ziet je model ( =( b−d ) N ) er weer iets anders uit.
dt
we vervangen b nu met f ( N )=b−cN , met k =b /c
dit kan je ook weer schrijven als g( N )=1−N /k
(k is nu de populatiegrootte waarbij je geboortecijfer 0 is geworden)
Het model dat hier bij hoort:
dN
=(b ( 1−N /k )−d ) N met g ( N )=1−N /k
dt
b is hier je maximale per capita ‘geboorte’ en g hoe je ‘geboorte’ daalt in relatie tot N
Je noemt het niet-triviale evenwicht ‘K’ ook wel de carrying capacity van het ecosysteem.
dN
Deze kan opgelost worden uit de bovenstaande formule door =0 in te vullen.
dt
Je kan ook een model maken voor logistieke groei, dit doe je met een vergelijking van de vorm:
Logistieke groei:
dN
=rN (1−N / K ) met r =b−d
dt
r is ‘natural rate of increase’ en K is de carrying capacity
, De drie typen functies die we nu behandeld hebben zijn:
dN
Density dependent death: =(b ( 1−N /k )−d ) N Hebben allemaal de vorm:
dt
dN dN 2
Density dependent birth: =(b−d ( 1+ N /k )) N =aN −b N
dt dt
dN
Functie voor logistieke groei: =rN (1−N / K )
dt
Het is natuurlijk zeer onwaarschijnlijk dat ‘geboorte’ en ‘sterfte’ lineair afhangen van N.
Dat zou betekenen dat ‘geboorte’ negatief zou kunnen zijn en ‘sterfte’ oneindig. We gaan nu kijken naar
verzadigingsfuncties, ook wel Hill-functies
xn
Hill-functie: f ( x )=
x n +hn
n n
x h
Reverse Hill-functie: g ( x )=1− n n
= n n
x + h x +h
Nu gaan we kijken naar 2-dimensionale systemen!
Het klassieke predator-prooi model van de ecologie; Lotka-Volterra model
Lotka-Volterra model
dR dN
=( bf ( R ) −d−aN ) R en =( caR−δ ) N Met f ( R )=1−R /k
dt dt
dR dN
=( b (1−R /k)−d−aN ) R en =( caR−δ ) N
dt dt
(a is de killing rate van prooidieren door predatoren, c is hoeveel ‘roofdiermassa’ elk
opgegeten prooidier levert, δ is de sterfte van de roofdieren)
Als je een Lotka-Volterra evenwicht wilt vinden moeten beiden vergelijkingen gelijk zijn aan 0.
Stap 1. Vul 0 in voor de makkelijkste vergelijking en los deze op.
Als je het bovenstaande model gebruikt:
dN
=0 , als je dit oplost krijg je N=0 of R=δ /ca
dt
(dit betekent dus: er zijn 0 predatoren of δ /ca prooidieren)
Stap 2. Substitueer deze oplossingen een voor een in de 2e formule, terwijl je deze gelijkstelt aan 0.
dR
Eerst substitueer je N=0 in =0 ( b ( 1−R /k )−d ) R=0 .
dt
Hier komen weer 2 oplossingen uit: R=0 of (b ( 1−R /k )−d)=0
(dit betekent dus: er zijn 0 prooidieren -beide populaties uitgestorven- of prooidieren op carrying capacity,
geen predatoren, er staat namelijk R=k ( 1−d /b )=K )
Deeltoets 2 van Kwanti tati eve Biologie
Jaar 1, periode 3
Bevat alle uitgewerkte leerdoelen
In ODE modellen (Ordinary Differential Equations) gaan ze ervan uit dat:
- Alle individuen gelijk zijn en beschreven kunnen worden door een enkele variabele.
- De populatie gemixt is, dus ruimtelijke locatie is irrelevant
- De populatie is groot, je hoeft je niet bezig te houden met 0.1 individuen
- De parameters zijn constant, geen seizoensgebonden veranderingen in b of d
b = per capita birth rate Het model dat hier bij hoort:
bN = aantal geboortes stijgt lineair met populatie
d = per capita death rate dN
=( b−d ) N
dN = aantal sterfgevallen stijgt lineair met populatie dt
kleine populatie heeft de neiging om te groeien, een grote heeft de neiging om af te nemen. Als er een evenwicht is
blijft het aantal individuen in de populatie gelijk omdat geboorte en sterfte elkaar in evenwicht houden, dit heet de
steady state.
Als je ‘density dependent death’ gaat toevoegen ziet je model er iets anders uit. Je vervangt de constante d dan
door: f ( N )=d +cN
Je kan dit ook schrijven als: g ( N )=1+ N /k met k =d /c
(k is een maat voor hoe erg je sterfte toeneemt met de populatiegrootte)
Het model dat bij ‘density dependent death’ hoort:
dN
=(b−d ( 1+ N /k )) N met g ( N )=1+ N /k
dt
d is hier je minimale per capita ‘sterfte’ en g hoe je ‘sterfte’ stijgt in relatie tot N
Je noemt het niet-triviale evenwicht ‘K’ ook wel de carrying capacity van het
ecosysteem. Deze kan opgelost worden uit de bovenstaande formule door
dN b−d
=0 in te vullen. Je krijgt dan K=k
dt d
,Een triviaal evenwicht (bijv. N=0) betekent dat een van de populaties is uitgestorven.
Een niet-triviaal evenwicht houdt in dat er co-existentie is.
R0 = b/d Dit is de fitness
Bij een 1-dimensionaal systeem teken je een faseplaatje door een horizontale lijn te tekenen. Vervolgens ga op de
lijn aannames over de afgeleide van de groei tekenen:
a. Als de grafiek > 0 is (boven de x-as), teken je een om te laten zien dat N toeneemt.
b. Als de grafiek < 0 is (onder de x-as), teken je een om te laten zien dat N afneemt.
c. Als de grafiek = 0 is, teken je een cirkel om een evenwicht (steady state) aan te duiden.
0 is wel een evenwicht, maar een instabiel evenwicht
Attractor Repellor
Als je meerdere attractoren hebt bepalen de begincondities naar welke attractor het evenwicht beweegt. De grens
tussen twee attractoren is altijd een instabiel evenwicht.
Het interval van de begincondities waarvoor een evenwicht naar een bepaalde attractor beweegt noem je de Basins
of attraction.
dN
Als je ‘density dependent birth’ toevoegt ziet je model ( =( b−d ) N ) er weer iets anders uit.
dt
we vervangen b nu met f ( N )=b−cN , met k =b /c
dit kan je ook weer schrijven als g( N )=1−N /k
(k is nu de populatiegrootte waarbij je geboortecijfer 0 is geworden)
Het model dat hier bij hoort:
dN
=(b ( 1−N /k )−d ) N met g ( N )=1−N /k
dt
b is hier je maximale per capita ‘geboorte’ en g hoe je ‘geboorte’ daalt in relatie tot N
Je noemt het niet-triviale evenwicht ‘K’ ook wel de carrying capacity van het ecosysteem.
dN
Deze kan opgelost worden uit de bovenstaande formule door =0 in te vullen.
dt
Je kan ook een model maken voor logistieke groei, dit doe je met een vergelijking van de vorm:
Logistieke groei:
dN
=rN (1−N / K ) met r =b−d
dt
r is ‘natural rate of increase’ en K is de carrying capacity
, De drie typen functies die we nu behandeld hebben zijn:
dN
Density dependent death: =(b ( 1−N /k )−d ) N Hebben allemaal de vorm:
dt
dN dN 2
Density dependent birth: =(b−d ( 1+ N /k )) N =aN −b N
dt dt
dN
Functie voor logistieke groei: =rN (1−N / K )
dt
Het is natuurlijk zeer onwaarschijnlijk dat ‘geboorte’ en ‘sterfte’ lineair afhangen van N.
Dat zou betekenen dat ‘geboorte’ negatief zou kunnen zijn en ‘sterfte’ oneindig. We gaan nu kijken naar
verzadigingsfuncties, ook wel Hill-functies
xn
Hill-functie: f ( x )=
x n +hn
n n
x h
Reverse Hill-functie: g ( x )=1− n n
= n n
x + h x +h
Nu gaan we kijken naar 2-dimensionale systemen!
Het klassieke predator-prooi model van de ecologie; Lotka-Volterra model
Lotka-Volterra model
dR dN
=( bf ( R ) −d−aN ) R en =( caR−δ ) N Met f ( R )=1−R /k
dt dt
dR dN
=( b (1−R /k)−d−aN ) R en =( caR−δ ) N
dt dt
(a is de killing rate van prooidieren door predatoren, c is hoeveel ‘roofdiermassa’ elk
opgegeten prooidier levert, δ is de sterfte van de roofdieren)
Als je een Lotka-Volterra evenwicht wilt vinden moeten beiden vergelijkingen gelijk zijn aan 0.
Stap 1. Vul 0 in voor de makkelijkste vergelijking en los deze op.
Als je het bovenstaande model gebruikt:
dN
=0 , als je dit oplost krijg je N=0 of R=δ /ca
dt
(dit betekent dus: er zijn 0 predatoren of δ /ca prooidieren)
Stap 2. Substitueer deze oplossingen een voor een in de 2e formule, terwijl je deze gelijkstelt aan 0.
dR
Eerst substitueer je N=0 in =0 ( b ( 1−R /k )−d ) R=0 .
dt
Hier komen weer 2 oplossingen uit: R=0 of (b ( 1−R /k )−d)=0
(dit betekent dus: er zijn 0 prooidieren -beide populaties uitgestorven- of prooidieren op carrying capacity,
geen predatoren, er staat namelijk R=k ( 1−d /b )=K )
