OMPI 2 - Opérateur entre les espaces de Banach

1
OPMI 2 - OPÉRATEUR ENTRE
ESPACES DE BANACH


◦
Exercice 1 : E
,
F de Banach

T : E → F
application linéaire ( they EE ,
tt .
µ
C- 1K ,


operateur
( du dtlnl
µT(y) )
-1µg /
1- = +



l' opérateur berné
Cn dit
que
T et si
sup} ÉE
✗ C- Elle
HUILE
< + es

Cn notre LIE , F) l' erreur ble des
opérateurs linéaires bernés


1) Montrer si T C- ✗ CE, F) alors Terl centime de E das F
que
-



,



2) LCE , F) vectoriel
Mq et un
espace
" T" / ¥
3) Mq UTILE ,= , ,
=
sup ( lutte
definit une norme sur ✗ (E, F )



4) Mg muni de cette norme , ✗ ( E, F ) et un Banach .




5)
Mq si SE ✗ CE / F) et TE ✗ ( EF ) ; alors ST ELLE, 6)



1) Set ( ien ) nen une suite d' éléments de F-
tq an → x dans F-

Ann selle ÉE
ty - O .
Cn
pose
C =
sup
✗ c-F-40}
|/ /IE
y
Gr Il Tlnn ) T (a) Il ,= Il Then x ) 11F
peœ -
= -




Donc HEE Ho }
"I¥¥- C Il CIIYIIE
"
i ≤ Ty F ≤




Donc Uttar ) THH -
-
_
lltlnn a) 11F -
≤ c Han XUE -
O


Done T / nn ) -
Tln ) dans F .




2
2) Scient (S ,
T ) C- ✗ LE , F) ; ( d. µ ) C- 1K

Cn ts put lineaire ( F- F)
pose
→
+



Cn S et T :
a
peur
" Sk "F
sup "Ï< et < es
es
sup
✗ c- EH}
Il xp / E KEEK}
Hull E

UHS-44T) all
IT


(
Illus " "F Hel " " " " Sx " " TKIIF
Gr
F) 1,11 sup F
sup ≤ sup
+
≤ + / µ / sup < °
✗ c- Elle} / / x / IE Nulle UNE "" " E IIXIIE



Donc ✗( E F ) et un eu .

,