Mathématiques - Primitives et intégrales

L1-SDG-Mathématiques 1 P. Loup - L. Bonifas




Module 6:
Primitives et intégrales

Table des matières

Unité 1 - Primitive d’une fonction ............................................................................................ 2
I - Généralités .................................................................................................................................... 2
1 ) Définition et exemples .................................................................................................. 2
2 ) Propriétés ...................................................................................................................... 3
II - Primitive prenant une valeur donnée en un point donné ........................................................ 4
III - Primitives des fonctions usuelles .............................................................................................. 5
IV - Opérations sur les primitives ................................................................................................... 6
1 ) Règles d’intégration ...................................................................................................... 6
2 ) Exemples ....................................................................................................................... 7
Unité 2 - Calcul intégral .......................................................................................................... 11
I - Définition .................................................................................................................................... 11
1 ) Définition d’une intégrale ........................................................................................... 11
2 ) Exemples ..................................................................................................................... 11
II - Propriétés de l’intégrale ........................................................................................................... 13
1 ) Relation de Chasles ..................................................................................................... 13
2 ) Intégrale et parité ........................................................................................................ 13
3 ) Linéarité de l’intégrale ................................................................................................ 15
4 ) Inversion des bornes ................................................................................................... 15
5 ) Signe d’une intégrale .................................................................................................. 16
6 ) Valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle borné............................................. 16
III - Lien entre primitive et intégrale ............................................................................................ 17
IV - Application du calcul intégral au calcul d’aire ..................................................................... 17
1 ) Cas où f ( x ) est positive sur l’intervalle  a ; b ......................................................... 18
2 ) Cas où f ( x ) est négative sur l’intervalle  a ; b ........................................................ 18
3 ) Cas où f ( x ) n’est pas de signe constant sur l’intervalle  a ; b ............................... 18
4 ) Aire comprise entre deux courbes............................................................................... 19
Unité 3 - Intégration par parties (IPP) ................................................................................... 21
I - Principe ....................................................................................................................................... 21
II - Exemple de calcul de primitive ................................................................................................ 22
III - Itération du procédé ............................................................................................................... 22




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Unité 1 - Primitive d’une fonction

Cette unité introduit la notion de primitive d’une fonction continue pour ensuite appréhender le calcul intégral.

La recherche de primitive est en lien étroit avec la dérivation des fonctions dont elle est en quelques sortes
l’opération inverse.

Ainsi, déterminer une primitive, c'est un peu comme chercher l'origine d'une dérivée.



I - Généralités

1 ) Définition et exemples

Définition :

Soit f une fonction définie sur un intervalle I .
Une fonction F est une primitive de f sur I , si et seulement si, elle est dérivable sur I et pour tout x de
I :
F '( x) = f ( x)


Exemples :

Pour illustrer cette définition intéressons-nous à quelques exemples :


• Une primitive de la fonction f ( x) = 2 x + 1 est la fonction F ( x) = x 2 + x .

En effet, si on dérive la fonction F ( x ) , on obtient pour tout réel x :

F '( x) = ( x 2 + x ) = 2 x + 1

Ainsi, on retrouve bien la fonction f ( x ) .
La fonction, F1 ( x ) = x + x + 2 constitue également une autre primitive de la fonction f ( x ) (la
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dérivée de F1 ( x ) étant égale à f ( x ) ).




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• Une primitive de la fonction g ( x) = 10 x + 3 est la fonction G( x) = 5 x 2 + 3x .

En effet, pour tout réel x : G '( x) = ( 5x 2 ) '+ ( 3x ) ' = 10 x + 3 = g ( x)
Ainsi, pour trouver une primitive F ( x ) d’une fonction f ( x ) on doit démontrer que f ( x ) est la
dérivée de F ( x ) .

Remarque :
Certaines fonctions ne possèdent pas de primitives. De plus, il n’est pas toujours possible d’exprimer par
une fonction usuelle une primitive d’une fonction continue.

2 ) Propriétés

La primitive est tellement liée à la dérivation qu'elle en a adopté les qualités et les défauts. Ainsi :

• Elle est parfaitement compatible avec l'addition, la soustraction et la multiplication par un réel.
C'est-à-dire que si u et v sont deux fonctions alors :


Primitive (u + v) = Primitive (u) + Primitive (v)

Primitive (u - v) = Primitive (u) – Primitive (v)

Primitive (λ u) = λ Primitive (u)

• Mais elle ne laisse passer ni produit, ni l'inversion, ni le quotient, ni la composition.
Ainsi si u et v sont deux fonctions alors :


Primitive ( u v ) n'est pas Primitive ( u ) . Primitive ( v )

Primitive ( 1 / u ) n'est pas 1 / Primitive ( u )

Primitive ( u / v ) n'est pas Primitive ( u ) / Primitive ( v )

Primitive ( u o v ) n'est pas Primitive ( u ) o Primitive ( v )


Théorème :

Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I .




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