34. Vl Ana1LinA Diagonalisierbarkeit

Eigenschaften von Diagonalmatrizen



fj.io
Dragonalmatrizen
b


Die Einträge auf Diagonalen sind die Eigenwerte
Die Standardbasisrektoren sind die Eigenvektoren


b E
f tier



Ü
D ü 7 Az Ez usw




kann man 51s FETTE
S E in neue Basis



SAS D

AS SD
A SDS S 1S I SE LTE SH S

En
SEE Stüz Ez STE En

Es AE SDS SDE Stier 7 Sei
gilt dann
für
allgemein
Aj Ajo

, Definition Diagonalisierbarkeit

Eine Matrix A heißt diagonalisierbar wenn es invertierbare Matrix S und
eine Dragonalmatrix D
gibt mit A SDS
b HEI E
Es giltdann die Dragonaleinträge von D sind die Eigenwerte von A
die Spalten von S sind die zugehörigen Eigenvektoren


1 Für Aek sind äquivalent

1 A ist diagonalisierbar
2 Es gibt eine Basis aus Eigenvektoren
3 Das charakteristische Polynom hat n Nullstellen und
fürjeden Eigenwertgilt alt g A
Spezialfall wenn alle Eigenwerte von A verschieden sinddann ist
Adiagonalisierbar
Suche nachlinearer Basis aus Eigenvektoren

Eigenwertebestimmen 7 7 Anicht diagonalisierbar
jedem Eigenraum Basis bestimmen

GA EA BELT
desEigenraumes
Basis



alle Basen aus allenEigenräumen zusammen bilden eine Basis aus
Eigenvektoren falls
gltfalt für alle Eigenwerte gilt
D e
STE E A SDS Gefunden



BSP
A pendelt II def 11711471 2

4 47 7 742

Ä 57 6


KEEFFE