23. Vl Ana1LinA Mittelwertsatz, Monotoniekriterium und Anwendungen

Extremwerte
A



ü
Definition globale undlokale Extrema
f D IR DEIR ED

1 f hat in das globale Maximum wenn
gilt f x ft füralle ED

2 f hat in Xo ein lokales Maximum wenn es ein E o sodass
gibt für alle ED
mit x x E
gilt ff fho
3 f hat in das
globale Minimum wenn
gilt f x ft füralle ED

4 hat in Xo
f
mit x x
ein lokales Minimum wenn es ein E o
gibt
sodass
für alle ED
E
gilt ff ft
Falls
für alle Xo X ED H xd E gilt flx flx strikteslokalesMinima

Maximumanalog
V
Bsp Habe


Ü
Maximum




rät

Minh s
e

I notw B für lokale Extrema im Inneren
Sei
fRandpunkt
D IR diffbar und x Dein innerer Punkt
En ein LokalesExtremumhat
Wenn
f in x
dann
gilt fix o

Beweisidee
fürMinimum
exemplarisch



t.EE 4 E I4
I
EI4E

, 4.4in
E FIETE so fix o



Bsp 1 flx X3 streng monoton wachsend X x x D IR

fx 3J f lol 0 Aber
f hatkein lokalesExtremum in o_0




Kandidaten
fürlokaleExtrema f D R
alle Punkte im inneren von D mit flx.to
Randpunkte von D
nichtdifferenzierbar ist
Punkte in denen
f
Bsp flxklxt f hat in x o dasglobale Minimum


f ist in x 0 nichtdiffbar

my
Der Mittelwertsatz
1
I Mittelwertsatz
b a
b er
Sei Ie IR ein Intervall a.be g
a b Sei f I IR diffbar
Dann
gibt es ein Eg zwischen a und b sodass
gilt



Beweis Sekante SG Hüft a
fla

gk fk SG gla o gibt 0



g ist diffbar ist stetig