Zusammenfassung Stochastik 2/2

Gegeben sind zwei Schaubilder Kf von f und Kg von g. Gesucht ist der Inhalt der Fläche zwischen Kf unf Kg über dem
Intervall a;b




b b b

Im Intervall a;b liegt Kf oberhalb von Kg. Für den Flächeninhalt A gilt: A= ∫f(x)dx
EIN — ∫g(x)dx
91×1 = ∫(f(x) — g(x))dx




a.tl#HDifterenzfunktionbaobereKurveuntereKurve
•




Merke
In te rv a ll a ;b nicht, dann ist
die Kurven im
Schneiden sich
ere Ku rv e — u ntere Kurve)dx
A = ∫(ob der x-Achse lie
gt)
nte r o d e r a uf
äche über, u
(Egal, ob die Fl
Beachte halts
g a ti ven Wert des Flächemim
rt den n e
re Ku rve — ob ere Kurve) liefe
∫:(unte




Beispiel:
Gegeben sind die beiden Schaubilder K von f mit f(x) = e0,25/1 + 1 und G von g mit g(x) = e 2x +1.
Bestimmen Sie u>0 so, dass die Fläche, die zwischen K, G und der Geraden mit der Gleichung x = u eingeschlossen ist, den
Inhalt 3,5 hat. u




{
"


Eezx Ge :X
"




{(94
"

f)dx
✗ =
-




Skizze A- ) e e
-




FG) -94 )
=
-




◦
Schnittpunkte




|
GG )
:


?"
f" , Ee
? "
Ge
"
( E 4) =
Ee" Ge +3,5
ER
=



:&
- -


" - -




+1 +1
t
A-
eo.25x.se " -3,5

f-G) =L Ee ?"
"
✗
+1 Ge +3,5=3.5
Sy (0/2)
-




0,25/1=2 × 1-4 ?"
GE
"
Ie -
"
= 0 >e
-

8=0

91×1=22×+1 Sy (0/2)
-
×

7/1=0
=8✗
✗ su
du .ge?u=o Eu = 8 Ihn

✗ = ◦ einziger Schnittpunkt ZEUGE 81=0 " -


Eu =/ nls)
¥ -
u Info) -1^9

, Allgemeiner Fall: Die Kurven schneiden sich im Intervall a;b




Berechnung der Gesamtfläche

1. Alle Schnittstellen zwischen A und B berechnen (Nullstellen der Differenzfunktion)

2. Berechnung der Teilflächen
A = ∫(f(x) — g(x))dx
✗1




1
÷
A = ∫(f(x) — g(x))dx
2

ab
A = ∫f(x) — g(x))dx
3 ✗
z




3. Gesamtfläche
A=A +A +A 1 2 3




Beispiel

Gegeben: K: f(x)= Ei

Berechne den Inhalt der Fläche, die von K, der Tangente an K im Punkt B(4/…) und der x—Achse begrenzt wird

Tangente
-




%%
4


Skizze
" """
BIG /fan) B (4/4) At A > f. f- EH =
# }
.

64 -




(
Tangentengleichung
=
in =
,
✗ ×



=3
-
Ableitung : FH ) {× =


-




2


TangentenSteigung mt
= flut =L Dreieck A E -


24=4
A-
; PSF :
y
-
m (✗ -


✗ 1) + y ✗ = 2 (x -




41+4=2×-4
1- =
Große Fläche -


Aa

=
% -



4 = §

Flächen die sich ins Unendliche erstrecken
Bsp: f(x)= e ✗
-




-




Wir berechnen den Flächeninhalt
,
von 0 bis U ( u > °) Jetzt lassen wir u
gegen
N Streben
Hat die Fläche die zwischen „



[ e- % )
°




#
"
der Kurve und den Koordinatenachsen " ×
e ( e-
"
Alu) dx
- -




Skizze = =
Für u o
Au , +1 → 1
im 1. Feld liegt, einen unendlichen
- -

: =




" → ◦
Flächeninhalt ? = -

ei + 1

Die Fläche hat den endlichen Flächeninhalt -1=1

u