Hele getallen
Reken-wiskundedidactiek
Bladzijde 93 t/m 122
3.1 Verder bouwen aan gecijferdheid
De drie aspecten van gecijferdheid – getallen, bewerkingen en toepassingen – krijgen in de loop van
de basisschool steeds meer ‘vulling’ voor de leerlingen. Er zijn verschillende verschijningsvormen van
getallen. De uiteindelijke betekenis van een getal hangt af van de verschijningsvorm of in context.
Betekenissen van getallen kunnen onderscheiden is essentieel voor begripsvorming.
(hoeveelheidgetal, telgetal etc.)
Horizontaal mathematiseren: omzetten van een contextopgave in een formele som (en omgekeerd).
3.1.1 Basale inzichten en vaardigheden
De telrij en de getallenlijn
Voordat kinderen kunnen optellen en aftrekken moeten ze weten hoe een telrij in elkaar zit.
Kinderen leren de tientallige structuur kennen en de systematiek van de telrij doorzien. Verder leren
ze getallen ordenen, vergelijken en positioneren op de (lege) getallenlijn. De kralenketting kan
worden gebruikt als voorloper op het werken met de lege getallenlijn het is concreet-tastbaar
materiaal. Een andere voorloper is het meetlint. Door het tellen met sprongen van tien en van één
krijgen kinderen zicht op de plaats van de getallen in het getallengebied tot 100.
Het positioneren van getallen op de getallenlijn kan op verschillende manieren plaatsvinden: door
aanwijzen, kaartjes op hangen, letterlijk springen naar getallen op een denkbeeldige getallenlijn.
Opbouw en structuur van getallen
Naast inzicht in (de structuur van) de getallenrij, is inzicht in de decimale structuur en opbouw van
getallen nodig. Zo bestaat 23 uit twee tientallen en drie eenheden.
M.A.B. – materiaal(Multiple Arithmeic Blocks): tientallige opbouw van getallen is goed zichtbaar.
De kracht van dit materiaal is dat je kunt zien dat een tiental evenveel waard is als tien eenheden. Dit
materiaal is, evenals de kralenketting, een additief, dat wil zeggen telbaar materiaal. Het is minder
geschikt om daadwerkelijk handelend erbij-eraf-opgaven mee te oefenen, omdat kinderen dan lang
blijven tellen. Bovendien is het onoverzichtelijk met allemaal blokjes en staafjes.
Met geld is de structuur van het ons tientallig getalstelsel eveneens te verduidelijken. Kinderen leren
zodoende dat de waarde van een cijfer in het getal afhangt van de plaats in het getal; de
positiewaarde van het cijfer.
3.2 Optellen en aftrekken
Goed hoofdrekenend optellen en aftrekken tot 100 is een onmisbare basis voor het werken en
rekenen met hele getallen. De rekenkennis die kinderen opdoen in het rekengebied tot 20, vormen
hier de basis voor. Zo helpen geautomatiseerde opgaven tot twintig om opgaven met grotere
getallen te kunnen oplossen.
1
, Bij het hoofdrekenend optellen en aftrekken zijn twee basisstrategieën te onderscheiden:
- rijgstrategie
- splitsstrategie
Andere strategieën
- Variastrategieën
3.2.1 Rijgstrategie
Bij rijgen wordt een erbij- of erafopgaven opgelost door het eerste getal heel te laten en het tweede
getal er in stukjes bij te doen of af te halen. Het eerste getal is het uitgangspunt van de opgave en
wordt heel gelaten. Het tweede getal wordt, opgesplitst in tienvouden en eenheden, rijgend aan het
eerste getal toegevoegd of ervan afgehaald. De strategie sluit goed aan bij de informele
telstrategieën die kinderen gebruiken. Deze kunnen eveneens bij het werken met de kralenketting en
getallenlijn gebruikt worden. Deze lokken dankzij hun structuur verkorting uit.
Uitstekend op lege getallenlijn:
- leerlingen tekenen hun tussenstappen en tussenantwoorden, het werkgeheugen wordt ontlast.
- de sprongen kunnen op allerlei manieren worden uitgevoerd. (snel of langer) Leerlingen met
verschillende niveaus kunnen toch deze opgaven oplossen
3.2.2 Splitsstrategie
Bij splitsen worden beide getallen van opgave opgesplitst in tientallen en eenheden. Daarna wordt
afzonderlijk met de tientallen en de eenheden gerekend. Vervolgens worden de uitkomsten hiervan
bij elkaar genomen.
De kinderen hebben meer inzicht nodig in decimale getalstructuur, dan bij de rijgstrategie.
Standaardfouten treden makkelijk op als kinderen te snel of te veel op formeel niveau moeten
redeneren. Het werkt dan ondersteunend als je op abstractieniveau een stapje terug doet. Er kan
dan gebruik gemaakt worden van geld of MAB materiaal.
Verschillende abstractie niveaus.
- contexten (concreet-betekenisverlenend)
- concreet materiaal
- modellen
- formeel (meest abstracte niveau)
Niet alle modellen passen bij elke context en niet alle modellen passen bij elke oplossingsstrategie. In
het ideale geval is een model daarom zowel een model van kinderen als een model voor de
wiskunde. Dat houdt in dat:
- Vanuit een concrete situatie (goede context) kinderen zelf een modelmatige tekening zouden
moeten maken.
- Deze modelmatige weergave het latere formele redeneren en rekenen ondersteunt.
3.2.3 Variastrategieën
Deze andere aanpakken hebben met elkaar gemeen dat ze op en of andere wijze handig gebruik
maken van eigenschappen van getallen of bewerkingen. Je komt ook wel de termen: handig rekenen
en flexibel rekenen tegen.
2
Reken-wiskundedidactiek
Bladzijde 93 t/m 122
3.1 Verder bouwen aan gecijferdheid
De drie aspecten van gecijferdheid – getallen, bewerkingen en toepassingen – krijgen in de loop van
de basisschool steeds meer ‘vulling’ voor de leerlingen. Er zijn verschillende verschijningsvormen van
getallen. De uiteindelijke betekenis van een getal hangt af van de verschijningsvorm of in context.
Betekenissen van getallen kunnen onderscheiden is essentieel voor begripsvorming.
(hoeveelheidgetal, telgetal etc.)
Horizontaal mathematiseren: omzetten van een contextopgave in een formele som (en omgekeerd).
3.1.1 Basale inzichten en vaardigheden
De telrij en de getallenlijn
Voordat kinderen kunnen optellen en aftrekken moeten ze weten hoe een telrij in elkaar zit.
Kinderen leren de tientallige structuur kennen en de systematiek van de telrij doorzien. Verder leren
ze getallen ordenen, vergelijken en positioneren op de (lege) getallenlijn. De kralenketting kan
worden gebruikt als voorloper op het werken met de lege getallenlijn het is concreet-tastbaar
materiaal. Een andere voorloper is het meetlint. Door het tellen met sprongen van tien en van één
krijgen kinderen zicht op de plaats van de getallen in het getallengebied tot 100.
Het positioneren van getallen op de getallenlijn kan op verschillende manieren plaatsvinden: door
aanwijzen, kaartjes op hangen, letterlijk springen naar getallen op een denkbeeldige getallenlijn.
Opbouw en structuur van getallen
Naast inzicht in (de structuur van) de getallenrij, is inzicht in de decimale structuur en opbouw van
getallen nodig. Zo bestaat 23 uit twee tientallen en drie eenheden.
M.A.B. – materiaal(Multiple Arithmeic Blocks): tientallige opbouw van getallen is goed zichtbaar.
De kracht van dit materiaal is dat je kunt zien dat een tiental evenveel waard is als tien eenheden. Dit
materiaal is, evenals de kralenketting, een additief, dat wil zeggen telbaar materiaal. Het is minder
geschikt om daadwerkelijk handelend erbij-eraf-opgaven mee te oefenen, omdat kinderen dan lang
blijven tellen. Bovendien is het onoverzichtelijk met allemaal blokjes en staafjes.
Met geld is de structuur van het ons tientallig getalstelsel eveneens te verduidelijken. Kinderen leren
zodoende dat de waarde van een cijfer in het getal afhangt van de plaats in het getal; de
positiewaarde van het cijfer.
3.2 Optellen en aftrekken
Goed hoofdrekenend optellen en aftrekken tot 100 is een onmisbare basis voor het werken en
rekenen met hele getallen. De rekenkennis die kinderen opdoen in het rekengebied tot 20, vormen
hier de basis voor. Zo helpen geautomatiseerde opgaven tot twintig om opgaven met grotere
getallen te kunnen oplossen.
1
, Bij het hoofdrekenend optellen en aftrekken zijn twee basisstrategieën te onderscheiden:
- rijgstrategie
- splitsstrategie
Andere strategieën
- Variastrategieën
3.2.1 Rijgstrategie
Bij rijgen wordt een erbij- of erafopgaven opgelost door het eerste getal heel te laten en het tweede
getal er in stukjes bij te doen of af te halen. Het eerste getal is het uitgangspunt van de opgave en
wordt heel gelaten. Het tweede getal wordt, opgesplitst in tienvouden en eenheden, rijgend aan het
eerste getal toegevoegd of ervan afgehaald. De strategie sluit goed aan bij de informele
telstrategieën die kinderen gebruiken. Deze kunnen eveneens bij het werken met de kralenketting en
getallenlijn gebruikt worden. Deze lokken dankzij hun structuur verkorting uit.
Uitstekend op lege getallenlijn:
- leerlingen tekenen hun tussenstappen en tussenantwoorden, het werkgeheugen wordt ontlast.
- de sprongen kunnen op allerlei manieren worden uitgevoerd. (snel of langer) Leerlingen met
verschillende niveaus kunnen toch deze opgaven oplossen
3.2.2 Splitsstrategie
Bij splitsen worden beide getallen van opgave opgesplitst in tientallen en eenheden. Daarna wordt
afzonderlijk met de tientallen en de eenheden gerekend. Vervolgens worden de uitkomsten hiervan
bij elkaar genomen.
De kinderen hebben meer inzicht nodig in decimale getalstructuur, dan bij de rijgstrategie.
Standaardfouten treden makkelijk op als kinderen te snel of te veel op formeel niveau moeten
redeneren. Het werkt dan ondersteunend als je op abstractieniveau een stapje terug doet. Er kan
dan gebruik gemaakt worden van geld of MAB materiaal.
Verschillende abstractie niveaus.
- contexten (concreet-betekenisverlenend)
- concreet materiaal
- modellen
- formeel (meest abstracte niveau)
Niet alle modellen passen bij elke context en niet alle modellen passen bij elke oplossingsstrategie. In
het ideale geval is een model daarom zowel een model van kinderen als een model voor de
wiskunde. Dat houdt in dat:
- Vanuit een concrete situatie (goede context) kinderen zelf een modelmatige tekening zouden
moeten maken.
- Deze modelmatige weergave het latere formele redeneren en rekenen ondersteunt.
3.2.3 Variastrategieën
Deze andere aanpakken hebben met elkaar gemeen dat ze op en of andere wijze handig gebruik
maken van eigenschappen van getallen of bewerkingen. Je komt ook wel de termen: handig rekenen
en flexibel rekenen tegen.
2
