MATEMÁTICAS II
BLOQUE IV
GEOMETRÍA
Autor del trabajo
Luis Fajardo López-Cuervo
Profesor del IES Poeta Tomás Morales Castellano
Elaboración de los gráficos
Inmaculada Hernández Padrón
Profesora del IES Vega de San Mateo
Curso 2017-18
, Para que w⃗ dependa linealmente de u⃗ y v⃗ ha de cumplirse que
w⃗ = au⃗ + bv⃗ por ejemplo, w⃗ = 2u⃗ − v⃗ =(−3, −3, 4)
Tema II. La Recta. El Plano.
Al final de este tema el alumno debe ser capaz de
- Expresar la ecuación de la recta en sus distintas formas, pasando de una a otra
correctamente, identificando en cada caso sus elementos característicos y
resolviendo problemas afines entre rectas.
- Obtener la ecuación del plano en sus distintas formas asando de una a otra
correctamente.
- Obtener las ecuaciones de rectas y planos en diferentes situaciones.
II.1. Ecuación de una recta en el espacio.
El concepto de recta y las distintas formas en la que puede venir dada una recta en el
plano, ya han sido discutidas y trabajadas en cursos anteriores. Ampliamos ahora este
concepto, del plano al espacio. Es decir pasamos de ℝ𝟐 a ℝ𝟑 .
Una recta puede venir determinada por:
Dos puntos. Se ha trabajado desde 2º Eso, a través de un sistema de dos
ecuaciones con dos incógnitas.
Un punto y la pendiente de la recta. En 3º Eso con la ecuación de la recta punto
– pendientes.
Un punto y un vector director de la recta. Esta última forma de determinar una
recta, se ha trabajado en 4º Eso, pero en el plano y también en 1º de Bachillerato.
Nos centraremos en esta forma de determinar una recta, por medio de un punto de ella,
y un vector director de la misma.
,Ecuaciones de una recta en el espacio
Ecuación vectorial de una recta r que viene determinada por un punto A(a , a , a ) y
un vector director de la recta u⃗ (u , u , u )
x⃗ = OA⃗ + tu⃗ = (a − 0, a − 0, a − 0) + t(u , u , u ) = (a , a , a ) + t(u , u , u )
Ejemplo: Hallar la ecuación vectorial de una recta r que pasa por el punto
A(−1, 2, 3) y que tiene como vector director u⃗ = (5, −4, −2)
r: x⃗ = OA⃗ + tu⃗ = (−1 − 0, 2 − 0, 3 − 0) + t(5, −4, −2)
Ecuación paramétrica de una recta en el espacio
Ecuación paramétrica de una recta r que viene determinada por un punto
A(a , a , a ) y un vector director de la recta u⃗ (u , u , u )
Si partimos de la ecuación vectorial anterior y operamos, igualando el vector inicial al
final el resultado igualando componente a componente tendríamos:
, x = a + tu
y = a + tu
z = a + tu
Esa sería la ecuación paramétrica de la recta r
Ejemplo: Hallar la ecuación paramétrica de una recta r que pasa por el punto
A(−1, 2, 3) y que tiene como vector director u⃗ = (5, −4, −2)
x = −1 + 5t
r: y = 2 − 4t
z = 3 − 2t
Ecuación continua de una recta r que viene determinada por un punto A(a , a , a ) y
un vector director de la recta u⃗ (u , u , u )
Si en la ecuación paramétrica anterior, despejáramos t en cada una de las tres
ecuaciones e igualáramos tendríamos:
t= t= t=
Por lo que igualándolas tendríamos
x−a y−a z−a
= =
u u u
Esa sería la ecuación continua de la recta r
Ejemplo: Hallar la ecuación continua de una recta r que pasa por el punto
A(−1, 2, 3) y que tiene como vector director u⃗ = (5, −4, −2)
x+1 y−2 z−3
= =
5 −4 −2
Ecuación implícita de una recta r que viene determinada por un punto A(a , a , a ) y
un vector director de la recta u⃗ (u , u , u )
Si en la ecuación continua anterior separamos en dos igualdades, por ejemplo primera
igualdad con segunda y por otro lado primera con tercera, obtendríamos
BLOQUE IV
GEOMETRÍA
Autor del trabajo
Luis Fajardo López-Cuervo
Profesor del IES Poeta Tomás Morales Castellano
Elaboración de los gráficos
Inmaculada Hernández Padrón
Profesora del IES Vega de San Mateo
Curso 2017-18
, Para que w⃗ dependa linealmente de u⃗ y v⃗ ha de cumplirse que
w⃗ = au⃗ + bv⃗ por ejemplo, w⃗ = 2u⃗ − v⃗ =(−3, −3, 4)
Tema II. La Recta. El Plano.
Al final de este tema el alumno debe ser capaz de
- Expresar la ecuación de la recta en sus distintas formas, pasando de una a otra
correctamente, identificando en cada caso sus elementos característicos y
resolviendo problemas afines entre rectas.
- Obtener la ecuación del plano en sus distintas formas asando de una a otra
correctamente.
- Obtener las ecuaciones de rectas y planos en diferentes situaciones.
II.1. Ecuación de una recta en el espacio.
El concepto de recta y las distintas formas en la que puede venir dada una recta en el
plano, ya han sido discutidas y trabajadas en cursos anteriores. Ampliamos ahora este
concepto, del plano al espacio. Es decir pasamos de ℝ𝟐 a ℝ𝟑 .
Una recta puede venir determinada por:
Dos puntos. Se ha trabajado desde 2º Eso, a través de un sistema de dos
ecuaciones con dos incógnitas.
Un punto y la pendiente de la recta. En 3º Eso con la ecuación de la recta punto
– pendientes.
Un punto y un vector director de la recta. Esta última forma de determinar una
recta, se ha trabajado en 4º Eso, pero en el plano y también en 1º de Bachillerato.
Nos centraremos en esta forma de determinar una recta, por medio de un punto de ella,
y un vector director de la misma.
,Ecuaciones de una recta en el espacio
Ecuación vectorial de una recta r que viene determinada por un punto A(a , a , a ) y
un vector director de la recta u⃗ (u , u , u )
x⃗ = OA⃗ + tu⃗ = (a − 0, a − 0, a − 0) + t(u , u , u ) = (a , a , a ) + t(u , u , u )
Ejemplo: Hallar la ecuación vectorial de una recta r que pasa por el punto
A(−1, 2, 3) y que tiene como vector director u⃗ = (5, −4, −2)
r: x⃗ = OA⃗ + tu⃗ = (−1 − 0, 2 − 0, 3 − 0) + t(5, −4, −2)
Ecuación paramétrica de una recta en el espacio
Ecuación paramétrica de una recta r que viene determinada por un punto
A(a , a , a ) y un vector director de la recta u⃗ (u , u , u )
Si partimos de la ecuación vectorial anterior y operamos, igualando el vector inicial al
final el resultado igualando componente a componente tendríamos:
, x = a + tu
y = a + tu
z = a + tu
Esa sería la ecuación paramétrica de la recta r
Ejemplo: Hallar la ecuación paramétrica de una recta r que pasa por el punto
A(−1, 2, 3) y que tiene como vector director u⃗ = (5, −4, −2)
x = −1 + 5t
r: y = 2 − 4t
z = 3 − 2t
Ecuación continua de una recta r que viene determinada por un punto A(a , a , a ) y
un vector director de la recta u⃗ (u , u , u )
Si en la ecuación paramétrica anterior, despejáramos t en cada una de las tres
ecuaciones e igualáramos tendríamos:
t= t= t=
Por lo que igualándolas tendríamos
x−a y−a z−a
= =
u u u
Esa sería la ecuación continua de la recta r
Ejemplo: Hallar la ecuación continua de una recta r que pasa por el punto
A(−1, 2, 3) y que tiene como vector director u⃗ = (5, −4, −2)
x+1 y−2 z−3
= =
5 −4 −2
Ecuación implícita de una recta r que viene determinada por un punto A(a , a , a ) y
un vector director de la recta u⃗ (u , u , u )
Si en la ecuación continua anterior separamos en dos igualdades, por ejemplo primera
igualdad con segunda y por otro lado primera con tercera, obtendríamos
