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Exam (elaborations) TEST BANK FOR Introductory Quantum Optics 1st Edit

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2021/2022

Exam (elaborations) TEST BANK FOR Introductory Quantum Optics 1st Edit Eq. (2.5) has the form Ex(z, t) = s 2ω2 V ε0 q(t) sin(kz), (2.1.1) and Eq. (2.2) ∇ × B = µ0ε0 ∂E ∂t . (2.1.2) Both equations lead to −∂zBy = µ0ε0 s 2ω2 V ε0 q˙(t) sin(kz), (2.1.3) which itself leads to Eq. (2.6) By(z, t) = µ0ε0 k s 2ω2 V ε0 q˙(t) cos(kz). (2.1.4) 2.2 problem 2.2 H = 1 2 Z dV · ε0E 2 x (z, t) + 1 µ0 B 2 y (z, t) ¸ . (2.2.1) 9 10 CHAPTER 2. FIELD QUANTIZATION From the previous problem Ex(z, t) = s 2ω2 V ε0 q(t) sin(kz), (2.2.2) so ε0E 2 x (z, t) = 2ω 2 V q 2 (t) sin2 (kz). (2.2.3) Also By(z, t) = µ0ε0 k s 2ω2 V ε0 q˙(t) cos(kz), (2.2.4) and 1 µ0 B 2 y (z, t) = 2 V p 2 (t) cos2 (kz), (2.2.5) where we have used that c 2 = (µ0ε0) −1 , p(t) = ˙q(t), and ck = ω. Eq. 2.2.1 becomes then H = 1 V Z dV £ ω 2 q 2 (t) sin2 (kz) + p 2 (t) cos2 (kz) ¤ . (2.2.6) Using these simple trigonometric identities cos2 x = 1+cos 2x 2 and sin2 x = 1−cos 2x 2 , we can simplify equation 2.2.6 further to: H = 1 2V Z dV £ ω 2 q 2 (t)(1 + cos 2kz) + p 2 (t)(1 − cos 2kz) ¤ . (2.2.7) Because of the periodic boundaries both cosine terms drop out, also 1 V R dV = 1 and we end up by H = 1 2 ¡ p 2 + w 2 q 2 ¢ . (2.2.8) It is easy to see that this Hamiltonian has the form of a simple harmonic oscillator. 2.3 problem 2.3 Let f be a function defined as: f(λ) = e iλAˆ Beˆ −iλAˆ . (2.3.1) 2.4. PROBLEM 2.4 11 If we expand f as f(λ) = c0 + c1(iλ) + c2 (iλ) 2 2! + ..., (2.3.2) where c0 = f(0) c1 = f 0 (0) c2 = f 00(0)· · · Also c0 = f(0) = Bˆ c1 = f 0 (0) = h Aeˆ iλAˆ Beˆ −iλAˆ − e iλAˆ BˆAeˆ −iλAˆ i¯ ¯ ¯ λ=0 = h A, ˆ Bˆ i c2 = h B, ˆ h A, ˆ Bˆ ii . The same way we can determine the other coefficients. 2.4 problem 2.4 Let f(x) = e Axˆ e Bxˆ (2.4.1) df(x) dx = Aeˆ Axˆ e Bxˆ + e Axˆ Beˆ Bxˆ = ³ Aˆ + e Axˆ Beˆ −Axˆ ´ f(x) It is easy to prove that h B, ˆ Aˆn i = nAˆn−1 h B, ˆ Aˆ i (2.4.2) 12 CHAPTER 2. FIELD QUANTIZATION h B, e ˆ −Axˆ i = X  B, ˆ ³ −Axˆ ´n n!   = X(−1)n x n n! h B, ˆ Aˆn i = X(−1)n x n (n − 1)!Aˆn−1 h B, ˆ Aˆ i = −e −Axˆ h B, ˆ Aˆ i x So Beˆ −Axˆ − e −Axˆ Bˆ = −e −Axˆ h B, ˆ Aˆ i x e −Axˆ Beˆ Axˆ = Bˆ − e −Axˆ h B, ˆ Aˆ i x (2.4.3) e Axˆ Beˆ −Axˆ = Bˆ + e Axˆ h A, ˆ Bˆ i x (2.4.4) Equation 4.1.1 becomes df(x) dx = ³ Aˆ + Bˆ + h A, ˆ Bˆ i´ f(x). (2.4.5) Since h A, ˆ Bˆ i commutes with Aˆ and Bˆ, we can solve equation 2.4.5 as an ordinary equation. The solution is simply f(x) = exp h³Aˆ + Bˆ ´ x i exp µ 1 2 h A, ˆ Bˆ i x 2 ¶ (2.4.6) If we take x = 1 we will have e Aˆ+Bˆ = e Aˆ e Bˆ e − 1 2 [A, ˆ Bˆ] (2.4.7) 2.5 problem 2.5 |Ψ(0)i = 1 √ 2 ¡ |ni + e iϕ|n + 1i ¢ . (2.5.1) 2.5. PROBLEM 2.5 13 |Ψ(t)i = e −i Ht ˆ ~ |Ψ(0)i = 1 √ 2 ³ e −i Ht ˆ ~ |ni + e −i Ht ˆ ~ |n + 1i ´ = 1 √ 2 ¡ e −inωt|ni + e iϕe −i(n+1)ωt|n + 1i ¢ , where we have used E ~ = ω nˆ|Ψ(t)i = ˆa † aˆ|Ψ(t)i = 1 √ 2 ¡ e −inωtn|ni + e iϕe −i(n+1)ωt(n + 1)|n + 1i ¢ hnˆi = hΨ(t)|nˆ|Ψ(t)i = 1 2 (n + n + 1) = n + 1 2 the same way nˆ 2 ® = hΨ(t)|nˆnˆ|Ψ(t)i = 1 2 ¡ n 2 + (n + 1)2 ¢ = n 2 + n + 1 2 (∆ˆn) 2 ® = nˆ 2 ® − hnˆi 2 = 1 4 Eˆ|Ψ(t)i = E0 sin(kz) ¡ aˆ † + ˆa ¢ |Ψ(t)i = 1 √ 2 E0 sin(kz) ¡ aˆ † + ˆa ¢ ¡e −inωt|ni + e iϕe −i(n+1)ωt|n + 1i ¢ = 1 √ 2 E0 sin(kz) h e −inωt ³√ n + 1|n + 1i + √ n|n − 1i ´ + e iϕe −i(n+1)ωt ³√ n + 2|n + 2i + √ n + 1|ni ´i 14 CHAPTER 2. FIELD QUANTIZATION hΨ(t)|Eˆ|Ψ(t)i = 1 2 E0 sin(kz) ³ e iωt√ n + 1 + e iϕe −iωt√ n + 1´ = √ n + 1E0 sin(kz) cos(ϕ − ωt) D Eˆ2 E = hΨ(t)|EˆEˆ|Ψ(t)i = 2(n + 1)E 2 0 sin2 (kz) ¿³ ∆Eˆ ´2 À = (n + 1)E 2 0 sin2 (kz) £ 2 − cos2 (ϕ − ωt) ¤ (ˆa † − aˆ)|Ψ(t)i = 1 √ 2 h e −inωt ³√ n + 1|n + 1i − √ n|n − 1i ´ + e iϕe −i(n+1)ωt ³√ n + 2|n + 2i − √ n + 1|ni ´i h(ˆa † − aˆ)i = −i √ n + 1 sin(ϕ − ωt) Finally we have the following quantities ∆n = 1 2 ∆E = E0|sin(kz)| p 2(n + 1) [2 − cos2 (ϕ − ωt)] ¯ ¯h(ˆa † − aˆ)i ¯ ¯ = √ n + 1|sin(ϕ − ωt)|. Certainly the inequality in (2.49) holds true since p 2 (2 − cos2 (ϕ − ωt)) > |sin(ϕ − ωt)|. 2.6 problem 2.6 Xˆ 1 = 1 2 ¡ aˆ + ˆa † ¢ Xˆ 2 = 1 2i ¡ aˆ − aˆ † ¢ Xˆ 2 1 = 1 4 ¡ aˆ †2 + ˆa 2 + 2ˆa † aˆ + 1¢ Xˆ 2 2 = − 1 4 ¡ aˆ †2 + ˆa 2 − 2ˆa † aˆ − 1 ¢ 2.6. PROBLEM 2.6 15 |Ψ01i = α|0i + β|1i where |α| 2 + |β| 2 = 1. So we can rewrite β = p 1 − |α| 2e iφ and α 2 = |α| 2 without any loss of generality. D Xˆ 1 E 01 = 1 2 (α ∗β + αβ∗ ) D Xˆ 2 E 01 = 1 2i (α ∗β − αβ∗ ) aˆ †2 ® 01 = 0 aˆ 2 ® 01 = 0 haˆ † aˆi01 = |β| 2 D Xˆ 2 1 E 01 = 1 4 ¡ 2|β| 2 + 1¢ D Xˆ 2 2 E 01 = 1 4 ¡ 2|β| 2 + 1¢ ¿³ ∆Xˆ 1 ´2 À 01 = 1 4 £ 2|β| 2 + 1 − (α ∗β) 2 − (αβ∗ ) 2 − 2|α| 2 |β| 2 ¤ = 1 4 £ 3 − 4|α| 2 + 2|α| 4 − 2|α| 2 (1 − |α| 2 ) cos(2φ) ¤ ¿³ ∆Xˆ 2 ´2 À 01 = 1 4 £ 2|β| 2 + 1 + (α ∗β) 2 + (αβ∗ ) 2 − 2|α| 2 |β| 2 ¤ = 1 4 £ 3 − 4|α| 2 + 2|α| 4 + 2|α| 2 (1 − |α| 2 ) cos(2φ) ¤ In figures a and b below we plot ¿³ ∆Xˆ 1 ´2 À 01 (solid line) for φ = π/2 and ¿³ ∆Xˆ 2 ´2 À 01 (doted line) for φ = 0, respectively. Clearly the quadratures in hands go below the quadrature variances of the vacuum in more than one occasion. 16 CHAPTER 2. FIELD QUANTIZATION 2 a 2 a f=p/2 f=0 (a) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 ( )2 1,2 01 Xˆ y=0.25 y=0.25 ( )2 1,2 Xˆ (b) |Ψ02i = α|0i + β|2i. (2.6.1) Again, where |α| 2 + |β| 2 = 1. So we can rewrite β = p 1 − |α| 2e iφ and α 2 = |α| 2 without any loss of generality. D Xˆ 1 E 02 = 0 = D Xˆ 2 E ¿ 02 ³ ∆Xˆ 1 ´2 À 02 = D Xˆ 2 1 E 02 = 1 4 ³ |α + √ 2β| 2 + 3|β| 2 ´ = 1 4 h 5 − 4|α| 2 + 2p 2|α| 2 (1 − |α| 2 ) cos φ i ¿³ ∆Xˆ 2 ´2 À 02 = D Xˆ 2 2 E 02 = 1 4 ³ |α − √ 2β| 2 + 3|β| 2 ´ = 1 4 h 5 − 4|α| 2 − 2 p 2|α| 2 (1 − |α| 2 ) cos φ i In figures c and d below we plot ¿³ ∆Xˆ 1 ´2 À 02 for φ = 0 and ¿³ ∆Xˆ 2 ´2 À 02 2.7. PROBLEM 2.7 17 for φ = π/2, respectively. Clearly the quadratures in hands go below the quadrature variances of the vacuum in more than one occasion. ( )2 1 02 DXˆ ( )2 2 02 DXˆ 2 a 2 a (c) (d) 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 f=0 f=p/2 2.7 Problem 2.7 |Ψ 0 i = N aˆ |Ψi |N |2 = hnˆi = ¯n N = 1 √ n¯ |Ψ 0 i = 1 √ n¯ aˆ |Ψi 18 CHAPTER 2. FIELD QUANTIZATION n0 = hΨ 0 |nˆ|Ψ 0 i = 1 n¯ hΨ|aˆ † aˆ † aˆaˆ|Ψi = 1 n¯ ¡ hΨ|nˆ 2 |Ψi − hΨ|nˆ|Ψi ¢ = hΨ|nˆ 2 |Ψi n¯ − 1 = hnˆ 2 i hnˆi − 1. Notice that n0 6= n − 1 in general, but for the number state |ni, and only of this state we have n0 = n − 1. 2.8 Problem 2.8 |Ψi = 1 √ 2 (|0i + |10i) (2.8.1) The average photon number, ¯n, of this state is n¯ = hΨ|aˆ † aˆ|Ψi, (2.8.2) which can be easily calculated to be n¯ = 1 2 (0 + 10) =

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Institución: Maastricht University (UM)
Estudio: Business and sciences
Grado: TEST BANK FOR Introductory Quantum Optics 1st Edit

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Subido en: 11 de febrero de 2022
Número de páginas: 161
Escrito en: 2021/2022
Tipo: Examen
Contiene: Preguntas y respuestas

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exam

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2

, Adil Benmoussa

Solutions Manual

To

INTRODUCTORY QUANTUM OPTICS
By C. C. Gerry and P. L. Knight

May 15, 2005

,Table of Contents

Table of Contents 3

1 Introduction 7

2 Field Quantization 9
2.1 problem 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 problem 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 problem 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 problem 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5 problem 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.6 problem 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.7 Problem 2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.8 Problem 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.9 Problem 2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.10 Problem 2.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.11 Problem 2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.12 Problem 2.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.13 Problem 2.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Coherent States 25
3.1 Problem 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Problem 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Problem 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4 Problem 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.5 Problem 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.6 Problem 3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.7 Problem 3.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3

, 4 CONTENTS

3.8 Problem 3.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.9 Problem 3.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.10 Problem 3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.11 Problem 3.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.12 Problem 3.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.13 Problem 3.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.14 Problem 3.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4 Emission and Absorption of Radiation by Atoms 45
4.1 Problem 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Problem 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3 Problem 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4 Problem 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.5 Problem 4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.6 Problem 4.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.7 Problem 4.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.8 Problem 4.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.9 Problem 4.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.10 Problem 4.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.11 Problem 4.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.12 Problem 4.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.13 Problem 4.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5 Quantum Coherence Functions 71
5.1 Problem 5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2 Problem 5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.3 Problem 5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.4 Problem 5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.5 Problem 5.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6 Interferometry 79
6.1 Problem 6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2 Problem 6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.3 Problem 6.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.4 Problem 6.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.5 Problem 6.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

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