Samenvatting Wiskunde B – MathPlus – 4 VWO – H3 Asymptoten en limieten

Wiskunde (B) – Hoofdstuk 3 Asymptoten en limieten
§3.1 Karakteristieken
Als grafiek van functie goed in beeld is, zijn alle karakteristieken zichtbaar, bv:
 Snijpunten met assen  x-as en y-as
 Toppen = Extremen
Top berekenen
F(x) = -x3+27x+44
1) Op GR minimum/maximum berekenen
2) Coördinaten zijn (3,98) en (-3,-10)
3) Noteren als: f(3) = 98 en f(-3) = -10
Functie goed in beeld krijgen
1) Nulpunten berekenen door f(x) = 0 op te lossen
2) Bekijk tabel voor x-waarden die minstens lopen
vanaf kleinste nulpunt tot grootste nulpunt  Als
er minder dan 2 snijpunten zijn, pas je tabel net zo
lang aan totdat je idee krijgt waar grafiek stijgt en
daalt
3) Bepaal snijpunten met y-as door x = 0 op te lossen
4) Toppen bepalen door in tabel te kijken
5) Soms gebruikmaken van transformaties van
bijbehorende standaardfunctie
 Bruikbare schets van grafiek maken  Alle
karakteristieken zichtbaar Karakteristieken
Coördinaten berekenen
F(x) = √(400-x2)
Rechthoek ABCD  A en B op x-as, C en D op grafiek  Xb = p  p>0
Bereken C als ABCD vierkant is
1) Nulpunten berekenen
f(x) = √(400-x2)  √(400-x2) = 0  400-x2 = 0  x2 = 400
 x = ±√400  x = 20 v x = -20
2) Grafiek schetsen
3) Vierkant, dus alle zijden zijn gelijk
4) X-coördinaat van C = p  Xb = p  f(x) = √(400-x2) 
f(p) = √(400-p2)
5) Van (0,0) tot B = p  AB = 2p  AB = BC dus BC = 2p
6) F(p) = 2p  √(400-p2) = 2p  400-p2 = (2p)2  400-p2 =
4p2  5p2 = 400  p2 = 80  p = ±√80
7) P>0 dus p = √80
8) Van (0,0) tot B = p = √80  x-coördinaat C
9) AB = BC = 2p = 2√80  y-coördinaat C
10) C: (√80, 2√80)

, Bereken C als ABCD zo groot mogelijke oppervlakte heeft,
ABCD is symmetrisch
1) Schets maken
2) Opp = lengte*breedte  Opp = AB*BC
 AB = 2p
 X-coördinaat van C is p  y-coördinaat van C is
f(p) = √(400-p2)
 Dus opp = 2p*√(400-p2)
3) Plotten in GR en maximum berekenen  ≈14,14 = p
4) X-coördinaat van C = p ≈ 14,14  Invullen in f(x) om y-
coördinaat te berekenen  f(14,14) = √(400-14,142)
 f(14,14) ≈ 14,14  y-coördinaat
5) C: (14,14;14,14)


§3.2 Asymptoten
Asymptoten = Lijnen waar grafiek steeds dichter in de buurt komt als je verder van de
oorsprong af gaat  Grafiek snijdt deze lijn nooit!
 Verticale asymptoot = v.a.  Noemer van breuk gelijkstellen aan 0  x berekenen
 Horizontale asymptoot = h.a.  Waar grafiek steeds dichter in de buurt komt als x
steeds groter wordt  “Als x steeds groter (steeds verder afwijkt van 0), wordt
teller/noemer steeds groter/kleiner (evt. teller/noemer blijft gelijk) en dus komt de
grafiek steeds dichter in de buurt van y = …
Standaardfunctie  f(x) = 1/x
 Verticale asymptoot  Noemer = 0  x = 0
 Horizontale asymptoot  Als x steeds groter wordt,
wordt noemer steeds groter, teller blijft gelijk en dus
komt y steeds dichter bij 0  y = 0
 Domein  Df = < , 0 > U < 0,  >
 Bereik  Bf = < , 0 > U < 0,  >
Als grafiek goed in beeld is, zijn alle karakteristieken
zichtbaar:
 Snijpunten met assen
 Toppen
 Asymptoten
Gebroken functie van vorm y = a/x  Omgekeerd
evenredig verband tussen y en x  xy = a  Product
van x en y is altijd gelijk aan a
Breuken
 6/2 = 3  Want 2*3 = 6
 0/5 = 0  Want 5*0 = 0
 6/0  Kan niet, want er bestaat geen getal waarmee je 0 kunt vermenigvuldigen,
zodat 6 de uitkomst is