Samenvatting wiskunde theorie
Voorbeelden & stappenplannen zie boek
1. Getallenkennis
1. Functies van getallen
• Getal als hoeveelheid
o Getal heeft aantal weer
o Aanduiden van hoeveelheid = kardinatie
o Gebruikte getallen → kardinale getallen
• Getal als rangorde
o Getal duidt bepaalde volgorde aan in tijd of ruimte
o ! duidelijk: waar nummering begint + welke richting => =ordinatie
o Orderingsaspect aanduiden met ordinale getallen = rangtelwoorden
• Getal als code
o Getal drukt unieke combinatie uit waarbij cijfers los te begrijpen zijn & als
kenteken/label enkel betekenis wie weet wat code inhoudt
o Cijfers, letters, combinatie
• Getal als verhouding
o Getal verhouden uitdrukken: ene deel verhoudt zich tot geheel
o Uitdrukken als breuk of procent
o Getal GEEN absolute hoeveelheid uitdrukken
o Waarde getal afh gebruikte eenheid
o Speciaal geval: maatgetal (=verhouding tss te meten hoeveelheid & gebruikte
eenheid)
2. Talstelsels
• = wiskundig systeem om getallen voor te stellen
• Synoniem: getallenstelsel/ getallensysteem
• (Zuiver) additief systeem
o Getal bepalen door waarden symbolen optellen
o Plaats & onderlinge symbolen geen rol
o Egyptisch talstelsel (hiërogliefen) & romeinse cijfers
• Positie systeem/stelsel
o Bepaalt plaats van symbool de waarde
o Baseert zich op een hoeveelheid die zegt per hoeveel er gegroepeerd wordt =>
=grondtal of basis talstelsel
o Bv. Babylonische symbolen, maya’s
1. Tiendelig talstelsel
• Grondtal 10 (=per 10 groeperen)
• 10 Arabisch-Indische cijfers (0-9) → oneindig combinaties
• P20-21 lezen
2. Andere talstelsels
Verschillend van 10 (p21-22)
• Binair/ tweetallig talstelsel: grondtal 2 (0&1)
1
, Romeins talstelsel
• Additief systeem met subtractief element (aftrekken)
• Symbolen
o I=1
o X = 10
o C = 100
o M = 1000
o V=5
o L = 50
o D = 500
• Regels
o I, X, C, M hoogstens 3 keer na elkaar | V, L, D nooit meerdere keren na elkaar
o Symbool hogere waarde voor symbool lagere waarde → opstellen
o Symbool kleinere waarde voor symbool grotere waarde → aftrekken
• Bijkomende voorwaarden
o Aftrekken (enkel deze combinaties): IV, IX, XL, XC, CD, CM
o Van symbool slechts 1 symbool aftrekken (bv. IIX MAG NIET)
o In 1 getal waarden eenzelfde positionele rang niet tegelijk worden afgetrokken/
opgeteld (bv. IXV MAG NIET)
• Omzetten Arabisch-Indisch → Romeinse cijfers
o Splitsen + elke rang afzonderlijk omzetten
3. Getalverzamelingen
• Natuurlijke getallen
o = Getallen die hoeveelheid aanduidt die er effectief zijn, zijn natuurlijk
o 0 = negatief & positief getal
o Positief getal: getal gelijk of groter dan nul
o Strikt positief: getal groter dan nul
• Gehele getallen
o = uitgebreide verzameling van natuurlijke getallen met negatieve gehele getallen
o Voor elke positief getal, een bijhorend negatief getal (som altijd 0)
• Rationale getallen
o =uitgebreide verzameling van gehele getallen met breuken
o Rationaal getal = quotiënt van de deling van 2 gehele getallen waarbij de deler
verschillend is van 0
o Rationaal getal 3 verschillende representaties
▪ Breuk, kommagetal & percentage
• Kommagetal
o Afbrekend (begrensd): eindig aantal cijfers (synoniem: decimaal getal)
o Repeterend: oneindig aantal decimalen met repeterend deel (periode)
▪ Zuiver: periode onmiddellijk na komma
▪ Gemengd: voor periode niet repeterend deel
• Reële getallen
o = uitgebreide verzameling van rationale getallen met irrationale getallen
o Kommagetallen met oneindig veel en niet-repeterende decimalen
4. Breuken
• Teller: bovenaan, zegt hoeveel gelijke delen je neemt
2
, • Noemer: onderaan, zegt in hoeveel gelijke delen je geheel verdeelt
• Breukstreep: vertelt dat je het in gelijke delen verdeelt
1. Soorten breuken
• Stambreuk: met teller 1
• Tiendelige/ decimale breuk: noemer macht van 10
• Echte breuk: teller kleiner dan noemer
• Onechte breuk: teller gelijk of groter dan noemer
• Oneigenlijke breuk: na vereenvoudiging → geheel getal, deling zonder rest
• Gemengd getal: bestaat uit geheel gedeelte (≠0) & een echte breuk
• Indeling via soortnaam
o Gelijknamige breuken: breuken met dezelfde naam/noemer
o Gelijkwaardige breuken: breuken met dezelfde waarde, dezelfde verhouding van
delen tov geheel geven
▪ Deze herleiden tot meest eenvoudigste/ onvereenvoudigbare breuk
2. Verschijningsvormen
• Als resultaat van verdeelsituatie
• Als operator
• Als getal
• Als verhouding
• Als kans
• Lezen voor oef p31-38 !
5. Kommagetallen
• Lezen voor oef p38-40
6. Procenten
• Percentage drukt verhouding tov 100 uit
• Pro-cent of per-cent: op 100 of per 100
• Lezen voor oef p40-43
7. Veelvouden en delers
• Veelvoud van natuurlijk getal: product van dat getal met natuurlijk getal
• Delers: natuurlijk getal is deelbaar door ander natuurlijk getal als bij deling het quotiënt een
natuurlijk getal is & rest = 0
• P43-44: kenmerken !
1. Kenmerken van deelbaarheid
• Deelbaar door 2: laatste cijfer even is
• Deelbaar door 5: laatste cijfer 0 of 5 is
• Deelbaar door 10: laatste cijfer 0
• Deelbaar door 9: som cijfers deelbaar door 9
• Deelbaar door 3: som cijfers deelbaar door 3
• Deelbaar door 4: laatste twee cijfers deelbaar 4 (altijd even)
• Deelbaar door 25: laatste twee cijferls 00, 25, 50, 75
• Deelbaar door 100: laatste twee cijfers 00
• Deelbaar door 8: laatste drie cijfers deelbaar door 8
3
Voorbeelden & stappenplannen zie boek
1. Getallenkennis
1. Functies van getallen
• Getal als hoeveelheid
o Getal heeft aantal weer
o Aanduiden van hoeveelheid = kardinatie
o Gebruikte getallen → kardinale getallen
• Getal als rangorde
o Getal duidt bepaalde volgorde aan in tijd of ruimte
o ! duidelijk: waar nummering begint + welke richting => =ordinatie
o Orderingsaspect aanduiden met ordinale getallen = rangtelwoorden
• Getal als code
o Getal drukt unieke combinatie uit waarbij cijfers los te begrijpen zijn & als
kenteken/label enkel betekenis wie weet wat code inhoudt
o Cijfers, letters, combinatie
• Getal als verhouding
o Getal verhouden uitdrukken: ene deel verhoudt zich tot geheel
o Uitdrukken als breuk of procent
o Getal GEEN absolute hoeveelheid uitdrukken
o Waarde getal afh gebruikte eenheid
o Speciaal geval: maatgetal (=verhouding tss te meten hoeveelheid & gebruikte
eenheid)
2. Talstelsels
• = wiskundig systeem om getallen voor te stellen
• Synoniem: getallenstelsel/ getallensysteem
• (Zuiver) additief systeem
o Getal bepalen door waarden symbolen optellen
o Plaats & onderlinge symbolen geen rol
o Egyptisch talstelsel (hiërogliefen) & romeinse cijfers
• Positie systeem/stelsel
o Bepaalt plaats van symbool de waarde
o Baseert zich op een hoeveelheid die zegt per hoeveel er gegroepeerd wordt =>
=grondtal of basis talstelsel
o Bv. Babylonische symbolen, maya’s
1. Tiendelig talstelsel
• Grondtal 10 (=per 10 groeperen)
• 10 Arabisch-Indische cijfers (0-9) → oneindig combinaties
• P20-21 lezen
2. Andere talstelsels
Verschillend van 10 (p21-22)
• Binair/ tweetallig talstelsel: grondtal 2 (0&1)
1
, Romeins talstelsel
• Additief systeem met subtractief element (aftrekken)
• Symbolen
o I=1
o X = 10
o C = 100
o M = 1000
o V=5
o L = 50
o D = 500
• Regels
o I, X, C, M hoogstens 3 keer na elkaar | V, L, D nooit meerdere keren na elkaar
o Symbool hogere waarde voor symbool lagere waarde → opstellen
o Symbool kleinere waarde voor symbool grotere waarde → aftrekken
• Bijkomende voorwaarden
o Aftrekken (enkel deze combinaties): IV, IX, XL, XC, CD, CM
o Van symbool slechts 1 symbool aftrekken (bv. IIX MAG NIET)
o In 1 getal waarden eenzelfde positionele rang niet tegelijk worden afgetrokken/
opgeteld (bv. IXV MAG NIET)
• Omzetten Arabisch-Indisch → Romeinse cijfers
o Splitsen + elke rang afzonderlijk omzetten
3. Getalverzamelingen
• Natuurlijke getallen
o = Getallen die hoeveelheid aanduidt die er effectief zijn, zijn natuurlijk
o 0 = negatief & positief getal
o Positief getal: getal gelijk of groter dan nul
o Strikt positief: getal groter dan nul
• Gehele getallen
o = uitgebreide verzameling van natuurlijke getallen met negatieve gehele getallen
o Voor elke positief getal, een bijhorend negatief getal (som altijd 0)
• Rationale getallen
o =uitgebreide verzameling van gehele getallen met breuken
o Rationaal getal = quotiënt van de deling van 2 gehele getallen waarbij de deler
verschillend is van 0
o Rationaal getal 3 verschillende representaties
▪ Breuk, kommagetal & percentage
• Kommagetal
o Afbrekend (begrensd): eindig aantal cijfers (synoniem: decimaal getal)
o Repeterend: oneindig aantal decimalen met repeterend deel (periode)
▪ Zuiver: periode onmiddellijk na komma
▪ Gemengd: voor periode niet repeterend deel
• Reële getallen
o = uitgebreide verzameling van rationale getallen met irrationale getallen
o Kommagetallen met oneindig veel en niet-repeterende decimalen
4. Breuken
• Teller: bovenaan, zegt hoeveel gelijke delen je neemt
2
, • Noemer: onderaan, zegt in hoeveel gelijke delen je geheel verdeelt
• Breukstreep: vertelt dat je het in gelijke delen verdeelt
1. Soorten breuken
• Stambreuk: met teller 1
• Tiendelige/ decimale breuk: noemer macht van 10
• Echte breuk: teller kleiner dan noemer
• Onechte breuk: teller gelijk of groter dan noemer
• Oneigenlijke breuk: na vereenvoudiging → geheel getal, deling zonder rest
• Gemengd getal: bestaat uit geheel gedeelte (≠0) & een echte breuk
• Indeling via soortnaam
o Gelijknamige breuken: breuken met dezelfde naam/noemer
o Gelijkwaardige breuken: breuken met dezelfde waarde, dezelfde verhouding van
delen tov geheel geven
▪ Deze herleiden tot meest eenvoudigste/ onvereenvoudigbare breuk
2. Verschijningsvormen
• Als resultaat van verdeelsituatie
• Als operator
• Als getal
• Als verhouding
• Als kans
• Lezen voor oef p31-38 !
5. Kommagetallen
• Lezen voor oef p38-40
6. Procenten
• Percentage drukt verhouding tov 100 uit
• Pro-cent of per-cent: op 100 of per 100
• Lezen voor oef p40-43
7. Veelvouden en delers
• Veelvoud van natuurlijk getal: product van dat getal met natuurlijk getal
• Delers: natuurlijk getal is deelbaar door ander natuurlijk getal als bij deling het quotiënt een
natuurlijk getal is & rest = 0
• P43-44: kenmerken !
1. Kenmerken van deelbaarheid
• Deelbaar door 2: laatste cijfer even is
• Deelbaar door 5: laatste cijfer 0 of 5 is
• Deelbaar door 10: laatste cijfer 0
• Deelbaar door 9: som cijfers deelbaar door 9
• Deelbaar door 3: som cijfers deelbaar door 3
• Deelbaar door 4: laatste twee cijfers deelbaar 4 (altijd even)
• Deelbaar door 25: laatste twee cijferls 00, 25, 50, 75
• Deelbaar door 100: laatste twee cijfers 00
• Deelbaar door 8: laatste drie cijfers deelbaar door 8
3
