Samenvatting hs 3 transformaties van toevalsveranderlijken

Transformaties van toevalsveranderlijken

1. Algemene formules voor verdelingen en dichtheden

algemene procedure:
Y (= de getransformeerde) is een functie van X. Je begint met de c.v.f. op te stellen van Y, en je herwerkt naar X
FY (y) = P(Y ≤ y) = P( g(X) ≤ y)

het model voor een toevalsveranderlijke Y wordt berekend vanuit het model voor X en het gekende verband Y = g(X)
De bedoeling is dan de uitdrukking P(g(X) ≤ y) om te werken tot een functie van Y

Het is belangrijk om na te gaan of de functie g een stijgende of dalende functie is.
Want als het om een dalende functie gaat inverteren, keert het teken om.

=> De Procedure formeel opschrijven geeft een algemene formule voor de dichtheid van een getransformeerde veranderlijke

Als g(x) monotoon stijgend is, dan is g(x) inverteerbaar,
−1 −1
FY (y) = P(g(X) ≤ y) = P(X ≤ g (y)) = FX(g (y))

−1 −1
Door afleiden vinden we dan fY (y) = fX(g (y)) * dg (y)/ dy .

−1
Noteer x(y) = g (y): fY (y) = fX(x(y))* dx/ dy

Als g(x) monotoon dalend is, dan keert het ongelijkheidsteken om
−1 −1
FY (y) = P(g(X) ≤ y) = P(X ≥ g (y)) = 1 − FX(g (y))

De afgeleide geeft fY (y) = −fX(x(y))* dx/ dy

Omdat dx/dy nu negatief is, kunnen we absolute waardes zetten en het minteken laten vallen

Dit geeft volgende formule voor monotone transformaties
fY (y) = fX(x(y)) |dx/dy| = fX(x(y))|x ′(y)|