Ensembles et applications
Vidéo partie 1. Ensembles
Vidéo partie 2. Applications
Vidéo partie 3. Injection, surjection, bijection
Vidéo partie 4. Ensembles finis
Vidéo partie 5. Relation d’équivalence
Fiche d’exercices Logique, ensembles, raisonnements
Fiche d’exercices Injection, surjection, bijection
Fiche d’exercices Dénombrement
Fiche d’exercices Relation d’équivalence, relation d’ordre
Motivations
Au début du X X e siècle le professeur Frege peaufinait la rédaction du second tome d’un ouvrage qui souhaitait refonder
les mathématiques sur des bases logiques. Il reçut une lettre d’un tout jeune mathématicien : « J’ai bien lu votre premier
livre. Malheureusement vous supposez qu’il existe un ensemble qui contient tous les ensembles. Un tel ensemble ne peut
exister. » S’ensuit une démonstration de deux lignes. Tout le travail de Frege s’écroulait et il ne s’en remettra jamais.
Le jeune Russell deviendra l’un des plus grands logiciens et philosophes de son temps. Il obtient le prix Nobel de
littérature en 1950.
Voici le « paradoxe de Russell » pour montrer que l’ensemble de tous les ensembles ne peut exister. C’est très bref,
mais difficile à appréhender. Par l’absurde, supposons qu’un tel ensemble E contenant tous les ensembles existe.
Considérons ¦ ©
F = E∈E |E∈ /E .
Expliquons l’écriture E ∈ / E : le E de gauche est considéré comme un élément, en effet l’ensemble E est l’ensemble de
tous les ensembles et E est un élément de cet ensemble ; le E de droite est considéré comme un ensemble, en effet les
élément de E sont des ensembles ! On peut donc s’interroger si l’élément E appartient à l’ensemble E. Si non, alors
par définition on met E dans l’ensemble F .
La contradiction arrive lorsque l’on se pose la question suivante : a-t-on F ∈ F ou F ∈ / F ? L’une des deux affirmation
doit être vraie. Et pourtant :
• Si F ∈ F alors par définition de F , F est l’un des ensembles E tel que F ∈ / F . Ce qui est contradictoire.
• Si F ∈ / F alors F vérifie bien la propriété définissant F donc F ∈ F ! Encore contradictoire.
Aucun des cas n’est possible. On en déduit qu’il ne peut exister un tel ensemble E contenant tous les ensembles.
Ce paradoxe a été popularisé par l’énigme suivante : « Dans une ville, le barbier rase tous ceux qui ne se rasent pas
eux-mêmes. Qui rase le barbier ? » La seule réponse valable est qu’une telle situation ne peut exister.
Ne vous inquiétez pas, Russell et d’autres ont fondé la logique et les ensembles sur des bases solides. Cependant il
n’est pas possible dans ce cours de tout redéfinir. Heureusement, vous connaissez déjà quelques ensembles :
• l’ensemble des entiers naturels N = {0, 1, 2, 3, . . .}.
p= {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}.
• l’ensemble des entiers relatifs Z
• l’ensemble des rationnels Q = q | p ∈ Z, q ∈ N \ {0} .
p
• l’ensemble des réels R, par exemple 1, 2, π, ln(2),. . .
• l’ensemble des nombres complexes C.
,ENSEMBLES ET APPLICATIONS 1. ENSEMBLES 2
Nous allons essayer de voir les propriétés des ensembles, sans s’attacher à un exemple particulier. Vous vous apercevrez
assez rapidement que ce qui est au moins aussi important que les ensembles, ce sont les relations entre ensembles : ce
sera la notion d’application (ou fonction) entre deux ensembles.
1. Ensembles
1.1. Définir des ensembles
• On va définir informellement ce qu’est un ensemble : un ensemble est une collection d’éléments.
• Exemples :
{0, 1}, {rouge, noir}, {0, 1, 2, 3, . . .} = N.
• Un ensemble particulier est l’ensemble vide, noté ∅ qui est l’ensemble ne contenant aucun élément.
• On note
x∈E
si x est un élément de E, et x ∈/ E dans le cas contraire.
• Voici une autre façon de définir des ensembles : une collection d’éléments qui vérifient une propriété.
• Exemples :
x ∈ R | |x − 2| < 1 , z ∈ C | z5 = 1 , x ∈ R | 0 6 x 6 1 = [0, 1].
1.2. Inclusion, union, intersection, complémentaire
• L’inclusion. E ⊂ F si tout élément de E est aussi un élément de F . Autrement dit : ∀x ∈ E (x ∈ F ). On dit alors
que E est un sous-ensemble de F ou une partie de F .
• L’égalité. E = F si et seulement si E ⊂ F et F ⊂ E.
• Ensemble des parties de E. On note P (E) l’ensemble des parties de E. Par exemple si E = {1, 2, 3} :
P ({1, 2, 3}) = ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} .
• Complémentaire. Si A ⊂ E,
ûE A = x ∈ E | x ∈
/A
On le note aussi E \ A et juste ûA s’il n’y a pas d’ambiguïté (et parfois aussi Ac ou A).
E A ûE A
• Union. Pour A, B ⊂ E,
A ∪ B = x ∈ E | x ∈ A ou x ∈ B
Le « ou » n’est pas exclusif : x peut appartenir à A et à B en même temps.
A A∪ B B
• Intersection.
A ∩ B = x ∈ E | x ∈ A et x ∈ B
A A∩ B B
, ENSEMBLES ET APPLICATIONS 1. ENSEMBLES 3
1.3. Règles de calculs
Soient A, B, C des parties d’un ensemble E.
• A∩ B = B ∩ A
• A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (on peut donc écrire A ∩ B ∩ C sans ambigüité)
• A ∩ ∅ = ∅, A ∩ A = A, A ⊂ B ⇐⇒ A ∩ B = A
• A∪ B = B ∪ A
• A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (on peut donc écrire A ∪ B ∪ C sans ambiguïté)
• A ∪ ∅ = A, A ∪ A = A, A ⊂ B ⇐⇒ A ∪ B = B
• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
• û ûA = A et donc A ⊂ B ⇐⇒ ûB ⊂ ûA
• û (A ∩ B) = ûA ∪ ûB
• û (A ∪ B) = ûA ∩ ûB
Voici les dessins pour les deux dernières assertions.
ûA ûB
A B A B
û(A ∩ B) = ûA ∪ ûB û(A ∪ B) = ûA ∩ ûB
A A∩ B B A A∪ B B
Les preuves sont pour l’essentiel une reformulation des opérateurs logiques, en voici quelques-unes :
• Preuve de A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) : x ∈ A ∩ (B ∪ C) ⇐⇒ x ∈ A et x ∈ (B ∪ C) ⇐⇒ x ∈ A et (x ∈ B ou x ∈
C) ⇐⇒ (x ∈ A et x ∈ B) ou (x ∈ A et x ∈ C) ⇐⇒ (x ∈ A ∩ B) ou (x ∈ A ∩ C) ⇐⇒ x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
Preuve
• de û (A ∩ B) = ûA ∪ ûB : x ∈ û (A ∩ B) ⇐⇒ x /
∈ (A ∩ B) ⇐⇒ non x ∈ A ∩ B ⇐⇒ non x ∈ A et x ∈
B ⇐⇒ non(x ∈ A) ou non(x ∈ B) ⇐⇒ x ∈ / A ou x ∈
/ B ⇐⇒ x ∈ ûA ∪ ûB.
Remarquez que l’on repasse aux éléments pour les preuves.
1.4. Produit cartésien
Soient E et F deux ensembles. Le produit cartésien, noté E × F , est l’ensemble des couples (x, y) où x ∈ E et y ∈ F .
Exemple 1.
1. Vous connaissez R2 = R × R = (x, y) | x, y ∈ R .
2. Autre exemple [0, 1] × R = (x, y) | 0 6 x 6 1, y ∈ R
Vidéo partie 1. Ensembles
Vidéo partie 2. Applications
Vidéo partie 3. Injection, surjection, bijection
Vidéo partie 4. Ensembles finis
Vidéo partie 5. Relation d’équivalence
Fiche d’exercices Logique, ensembles, raisonnements
Fiche d’exercices Injection, surjection, bijection
Fiche d’exercices Dénombrement
Fiche d’exercices Relation d’équivalence, relation d’ordre
Motivations
Au début du X X e siècle le professeur Frege peaufinait la rédaction du second tome d’un ouvrage qui souhaitait refonder
les mathématiques sur des bases logiques. Il reçut une lettre d’un tout jeune mathématicien : « J’ai bien lu votre premier
livre. Malheureusement vous supposez qu’il existe un ensemble qui contient tous les ensembles. Un tel ensemble ne peut
exister. » S’ensuit une démonstration de deux lignes. Tout le travail de Frege s’écroulait et il ne s’en remettra jamais.
Le jeune Russell deviendra l’un des plus grands logiciens et philosophes de son temps. Il obtient le prix Nobel de
littérature en 1950.
Voici le « paradoxe de Russell » pour montrer que l’ensemble de tous les ensembles ne peut exister. C’est très bref,
mais difficile à appréhender. Par l’absurde, supposons qu’un tel ensemble E contenant tous les ensembles existe.
Considérons ¦ ©
F = E∈E |E∈ /E .
Expliquons l’écriture E ∈ / E : le E de gauche est considéré comme un élément, en effet l’ensemble E est l’ensemble de
tous les ensembles et E est un élément de cet ensemble ; le E de droite est considéré comme un ensemble, en effet les
élément de E sont des ensembles ! On peut donc s’interroger si l’élément E appartient à l’ensemble E. Si non, alors
par définition on met E dans l’ensemble F .
La contradiction arrive lorsque l’on se pose la question suivante : a-t-on F ∈ F ou F ∈ / F ? L’une des deux affirmation
doit être vraie. Et pourtant :
• Si F ∈ F alors par définition de F , F est l’un des ensembles E tel que F ∈ / F . Ce qui est contradictoire.
• Si F ∈ / F alors F vérifie bien la propriété définissant F donc F ∈ F ! Encore contradictoire.
Aucun des cas n’est possible. On en déduit qu’il ne peut exister un tel ensemble E contenant tous les ensembles.
Ce paradoxe a été popularisé par l’énigme suivante : « Dans une ville, le barbier rase tous ceux qui ne se rasent pas
eux-mêmes. Qui rase le barbier ? » La seule réponse valable est qu’une telle situation ne peut exister.
Ne vous inquiétez pas, Russell et d’autres ont fondé la logique et les ensembles sur des bases solides. Cependant il
n’est pas possible dans ce cours de tout redéfinir. Heureusement, vous connaissez déjà quelques ensembles :
• l’ensemble des entiers naturels N = {0, 1, 2, 3, . . .}.
p= {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}.
• l’ensemble des entiers relatifs Z
• l’ensemble des rationnels Q = q | p ∈ Z, q ∈ N \ {0} .
p
• l’ensemble des réels R, par exemple 1, 2, π, ln(2),. . .
• l’ensemble des nombres complexes C.
,ENSEMBLES ET APPLICATIONS 1. ENSEMBLES 2
Nous allons essayer de voir les propriétés des ensembles, sans s’attacher à un exemple particulier. Vous vous apercevrez
assez rapidement que ce qui est au moins aussi important que les ensembles, ce sont les relations entre ensembles : ce
sera la notion d’application (ou fonction) entre deux ensembles.
1. Ensembles
1.1. Définir des ensembles
• On va définir informellement ce qu’est un ensemble : un ensemble est une collection d’éléments.
• Exemples :
{0, 1}, {rouge, noir}, {0, 1, 2, 3, . . .} = N.
• Un ensemble particulier est l’ensemble vide, noté ∅ qui est l’ensemble ne contenant aucun élément.
• On note
x∈E
si x est un élément de E, et x ∈/ E dans le cas contraire.
• Voici une autre façon de définir des ensembles : une collection d’éléments qui vérifient une propriété.
• Exemples :
x ∈ R | |x − 2| < 1 , z ∈ C | z5 = 1 , x ∈ R | 0 6 x 6 1 = [0, 1].
1.2. Inclusion, union, intersection, complémentaire
• L’inclusion. E ⊂ F si tout élément de E est aussi un élément de F . Autrement dit : ∀x ∈ E (x ∈ F ). On dit alors
que E est un sous-ensemble de F ou une partie de F .
• L’égalité. E = F si et seulement si E ⊂ F et F ⊂ E.
• Ensemble des parties de E. On note P (E) l’ensemble des parties de E. Par exemple si E = {1, 2, 3} :
P ({1, 2, 3}) = ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} .
• Complémentaire. Si A ⊂ E,
ûE A = x ∈ E | x ∈
/A
On le note aussi E \ A et juste ûA s’il n’y a pas d’ambiguïté (et parfois aussi Ac ou A).
E A ûE A
• Union. Pour A, B ⊂ E,
A ∪ B = x ∈ E | x ∈ A ou x ∈ B
Le « ou » n’est pas exclusif : x peut appartenir à A et à B en même temps.
A A∪ B B
• Intersection.
A ∩ B = x ∈ E | x ∈ A et x ∈ B
A A∩ B B
, ENSEMBLES ET APPLICATIONS 1. ENSEMBLES 3
1.3. Règles de calculs
Soient A, B, C des parties d’un ensemble E.
• A∩ B = B ∩ A
• A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (on peut donc écrire A ∩ B ∩ C sans ambigüité)
• A ∩ ∅ = ∅, A ∩ A = A, A ⊂ B ⇐⇒ A ∩ B = A
• A∪ B = B ∪ A
• A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (on peut donc écrire A ∪ B ∪ C sans ambiguïté)
• A ∪ ∅ = A, A ∪ A = A, A ⊂ B ⇐⇒ A ∪ B = B
• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
• û ûA = A et donc A ⊂ B ⇐⇒ ûB ⊂ ûA
• û (A ∩ B) = ûA ∪ ûB
• û (A ∪ B) = ûA ∩ ûB
Voici les dessins pour les deux dernières assertions.
ûA ûB
A B A B
û(A ∩ B) = ûA ∪ ûB û(A ∪ B) = ûA ∩ ûB
A A∩ B B A A∪ B B
Les preuves sont pour l’essentiel une reformulation des opérateurs logiques, en voici quelques-unes :
• Preuve de A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) : x ∈ A ∩ (B ∪ C) ⇐⇒ x ∈ A et x ∈ (B ∪ C) ⇐⇒ x ∈ A et (x ∈ B ou x ∈
C) ⇐⇒ (x ∈ A et x ∈ B) ou (x ∈ A et x ∈ C) ⇐⇒ (x ∈ A ∩ B) ou (x ∈ A ∩ C) ⇐⇒ x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
Preuve
• de û (A ∩ B) = ûA ∪ ûB : x ∈ û (A ∩ B) ⇐⇒ x /
∈ (A ∩ B) ⇐⇒ non x ∈ A ∩ B ⇐⇒ non x ∈ A et x ∈
B ⇐⇒ non(x ∈ A) ou non(x ∈ B) ⇐⇒ x ∈ / A ou x ∈
/ B ⇐⇒ x ∈ ûA ∪ ûB.
Remarquez que l’on repasse aux éléments pour les preuves.
1.4. Produit cartésien
Soient E et F deux ensembles. Le produit cartésien, noté E × F , est l’ensemble des couples (x, y) où x ∈ E et y ∈ F .
Exemple 1.
1. Vous connaissez R2 = R × R = (x, y) | x, y ∈ R .
2. Autre exemple [0, 1] × R = (x, y) | 0 6 x 6 1, y ∈ R
