samenvatting mechanica van materialen

Mechanica van materialen
H1 Scalaire, vectoren, ..
Wiskundig instrumentarium
Hoe geraak ik in het centrum van Brussel?
Antwoord: Loop 10 km ??
=> onvoldoende informatie!
We moeten ook de richting specificeren!
Een wiskundige grootheid met een grootte (amplitude), een richting en een zin
=> VECTOR


Vector

• Een grootheid met een amplitude en een richting, bijvoorbeeld plaats, kracht en
moment
• Wordt voorgesteld door een letter met een pijl erboven,
• De grootte of amplitude wordt voorgesteld door
• Bij dit onderwerp wordt een vector voorgesteld door A en zijn grootte (positieve
grootheid) als A




Vectorbewerkingen
Een vector vermenigvuldigen met en delen door een scalair
Product van vector A en scalair ais opnieuw een vector aA met grootte =IaAI maar met
eenzelfde of tegengestelde richting als vector A afhankelijk van het feit dat a positief dan wel
negatief is.
Indien a=0 dan is aA de nulvector.
Verder hebben we de volgende eigenschappen:
- (a+b)A = aA + bA
-a(A+B) = aA + aB
-a(bA) = (ab)A

,Vectoroptelling
Optelling van twee vectoren A en B levert een resultante R op, op grond van de
parallellogramregel
De resultante R kan worden bepaald met de driehoeksregel
Commutatieve eigenschap: R = A + B = B + A
Speciaal geval: de vectoren A en B zijn collineair (hebben beide dezelfde werklijn)




Vectoraftrekking
Speciaal geval van optelling, bijvoorbeeld
R’ = A – B = A + (–B)
Regels van vectoroptelling zijn van toepassing




Scalair product van 2 vectoren a en b

Is een scalair gegeven door 𝑎̅.𝑏̅ |a b cos|

Waarbij  de kleinste hoek is tussen a en b
Het scalair product is commutatief “ a.b=b.a “ en distributief “ aa. [bb+gc]= ab(a.b) + ag(a.c) “
Een belangrijke eigenschap is dat wanneer scalair product van 2 vectoren
a en b zijnde a.b=0 dan staan de 2 vectoren loodrecht op elkaar.
Het scalair product van een vector met zichzelf is gelijk aan het kwadraat van zijn lengte:


Een andere belangrijke eigenschap is dat de projectie van een vector u op de richting van
een eenheidsvector e gegeven wordt door: u.e
Hier volgt ook uit de elke vector u ontbonden kan worden in een component parallel aan
een eenheidsvector e en een component loodrecht op e, en dit volgens de regel:
u= (u.e)e + [u – (u.e)e]

,Vectorieel product van 2 vectoren is opnieuw een vector waarvan de grootte gegeven wordt

door waarbij ‘’ de kleinste hoek is tussen a en b




De grootte van axb is gelijk aan de oppervlakte van de parallellogram gevormd door de
vectoren a en b. De richting van deze nieuwe vector is loodrecht op het vlak gevormd door a
en b en wordt bepaald door de kurkentrekkerregel.




Het vectorieel product heeft de volgende eigenschappen:




Tripel Scalair product (gemengd product) van 3 vectoren u, v, w is gegeven door:



Indien het set van vectoren rechtshandig is dan wordt het volume van de parallellepipedum
gevormd door deze 3 vectoren gegeven door het gemengd product.
Om dit in te zien veronderstellen we dat en de eenheidsvector is in de richting van (u x v).
De projectie van w op (u x v) is dan h=w.e

, Cartesische vectornotatie
Rechtsdraaiend coördinatenstelsel
Een cartesisch coördinatenstelsel wordt rechtsdraaiend genoemd als:

• De duim van de rechterhand in de richting van de positieve z-as wijst
• De z-as bij het 2D-probleem loodrecht uit het papier gericht zou zijn.




Beschouwen de vector v in een rechthoekig cartesisch assenstelsel Oxyz met als
basisvectoren het set eenheidsvectoren e1, e2, e3