Samenvatting Differentiaalvergelijkingen

1. Conventies
2. Definities
3. Afgeleide
4. Toegevoegde constante
5. Expliciet en impliciet
6. Scheiden van variabelen
7. Methode van Euler
8. Oplossingsmethodes
8.1. Met x
8.2. Zonder x
8.3. Integrerende factor
8.4. Lissajous




1/4 © Peter Zomerdijk

, 1. Conventies

• voorbeelden zijn omkaderd

• DV : differentiaalvergelijking
• dx : differentiaal
dy
• y · dx = y'(x) = y' : de afgeleide van y naar x waarbij y een functie van x is

2. Definities
• DV : een functie waarin de onafhankelijke variabele x en de
afhankelijke variabele y en diens afgeleide(n) naar x voorkomen

y = x + y' + y''
• Orde van een DV : de hoogste afgeleide in die DV
• Graad van een DV : de hoogste macht van een afgeleide in die DV
• Lineaire DV : DV met graad 1
• Differentiaalquotiënt : synoniem voor de afgeleide

3. Afgeleide
d
y = xa + b ⇔ y' = dx (xa + b) = ax (a−1)

4. Toegevoegde constante
dy
• ∫ y′ = ∫ dx = ∫ ax (a−1) ⇔ ∫ dy = ∫ ax (a−1) dx ⇔ y = xa + C
• door de niet gedefinieerde constante C is de oplossing van een DV een oneindig aantal functies
zoals ook de integraal van een functie dat is
• C kan alleen berekend worden wanneer een punt bekend is, dit levert de particuliere oplossing
• C kan op een andere positie geplaatst worden door meerdere constanten te definiëren
1
y' = x ⇔ y = ln|x| + C1
Definieer C1 = ln|C2| waardoor y = ln|x| + ln|C2| = ln|C2 x|


5. Expliciet en impliciet
Wanneer in de oplossing van de DV y uit te drukken is in x is de oplossing expliciet, anders impliciet.

Expliciet: y = Cex Impliciet: sin(y) = xy + C


6. Scheiden van variabelen
Breng de ene variabele aan de ene kant van de vergelijking en de andere aan de andere kant
dy dy dy
y' = 6xy ⇔ dx = 6xy ⇔ = 6x dx ⇔ ∫ = ∫ 6x dx ⇔ ln|y| = 3x2 + C1
y y
2
Stel C1 = ln|C2| dan y = C2 e3x




2/4 © Peter Zomerdijk