Samenvatting Wiskunde

Wiskunde
1. Reële functies
1.1. Basisbegrippen
1.1.1. Functie en functievoorschrift
Definitie:
Een functie f is een relatie tussen twee verzamelingen X en Y, zodat
met ieder element x ∈ X juist één element y ∈ Y gekoppeld.



Notaties:

• Functie f: X -> Y
- X: definitiegebied def(f)
- Y: beeld im(f)

• Functievoorschrift y = f(x)
- x: argumennt
- y: functiewaarde in punt x

• Reële functie f: X = def(f) ∈ ℝ
Y = ℝ, im(f) ∈ ℝ

1.1.2. Definitiegebied en beeld
Definitie
Gegeven een functie f:X -> Y, dan is

• Verzameling X van x-waarden: het definitiegebied van f,
genoteerd als def(f)
• Verzameling Y waarin y waarden aanneemt: het codomein van f
• Deelverzameling van Y die bestaat uit de beelden v.d. elementen
van X: het beeld van f, genoteerd als im(f)



1.1.3. Grafische voorstelling
Orthogonaal assenstelsel: x-as ⊥ y-as
y = f(x) → punten met coördinaten: (x,y) = (x, f(x))

, 1.1.4. Stijgen en dalen
Functie f gedefinieerd in interval l:

f stijgend: grotere x-waarden afgebeeld op grotere y-waarden

f dalend: grotere x-waarden afgebeeld op kleinere y-waarden

 f stijgend in l als ∀ x1<x2 in l geldt: f(x1) ≤ f(x2)
 f dalend in l als ∀ x1<x2 in l geldt: f(x1) ≥ f(x2)
 f strikt stijgend als ∀ x1<x2 in l geldt: f(x1) < f(x2)
 f strikt dalend als ∀ x1<x2 in l gelft: f(x1) > f(x2)


Definitie:

Een functie wordt (strikt) stijgend/dalend genoemd indien ze
stijgend/dalend is in gans het definitiegebied.



1.1.5. Bijzondere punten
Nulpunt

Een nulpunt v.e functie f is een punt x0 ∈ def(f) waarvoor geldt dat f(x0)=0

 Oplossen door f(x)=0


Globaal extrema

Een functie f bereikt een globaal maximum in x0 als ∀ x in def(f) geldt dat
f(x0) ≥ f(x).

Een functie f bereikt een globaal minimum in x0 als ∀ x in def(f) geldt dat
f(x0) ≤ f(x).

 Oplossen door f’(x)=0

Lokaal extrema

Een functie f bereikt een lokaal maximum in x0 als er een 𝛿 > 0 bestaat
zodanig dat f(x0) ≥ f(x) ∀ x-waarden die ∈ ]x0-𝛿, x0+ 𝛿[ ∩ def(f)

Een functie f bereikt een lokaal minimum in x0 als er een 𝛿 > 0 bestaat
zodanig dat f(x0) ≤ f(x) ∀ x-waarden die ∈ ]x0-𝛿, x0+ 𝛿[ ∩ def(f)

 Oplossen door f’’(x)=0

,1.1.6. Even, oneven en periodieke functies
Een functie f wordt even genoemd als voor elke x v. def(f) geldt dat:

f(x) = f(-x)



Een functie wordt oneven genoemd als voor elke x v. def(f) geldt dat:

f(x) = -f(-x)

 Grafiek is punt symmetrisch t.o.v. oorsprong
 f(0)=0

Bestaat er een vast getal 𝜔 ∈ ℝ, zodanig dat ∀ x ∈ def(f) waarvoor ook
x+ 𝜔 ∈ def(f), geldt dat:

f(x+ 𝜔) = f(x)
Dan heet de functie f periodiek met periode 𝜔.

 Grafisch: functiekromme herhaalt na elk interval met breedte 𝜔
 Grafiek met periode 𝜔: door f te tekenen in interval [x0,x0+ 𝜔]


1.1.7. Inverse van een functie
De inverse relatie v.e. functie f, genoteerd als f-1, is gedefinieerd door:

(x0,y0) ∈ f-1 als en slechts als (x0,y0)



 Inverse relatie niet altijd functie!
Als ∀ x1 ≠ x2 dan geldt dat f(x1) ≠ f(x2), dan is f-1 functie
 Grafiek f en f-1 symmetrisch
 Def(f-1) = im(f)



1. Inverse v.e. lineaire functie = lineaire functie

f(x) = ax + b a≠0

y = f-1(x)
 x = f(y)
 x = ay + b
1 𝑏
 y = 𝑎x – 𝑎

, 2. Inverse v.e. kwadratische functie ≠ functie

f(x) = ax2 + bx + c a≠0

vb. f(x)=x2 y = f-1(x)
 x = f(y)
 x = y2
 y = √𝑥 of y = -√𝑥



3. Inverse v.e. kwadratische functie met beperkt def.gebied = functie

f(x) = ax2 + bx + c a≠0

vb. f(x)=x2, x≥0 y = f-1(x)
 x = f(y)
 x = y2
 y = √𝑥



1.2. Veeltermfuncties
Een veeltermfunctie is een f van de vorm…

y = f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a0, an ≠ 0

…waarbij de graad n v.d. veeltermfunctie 𝜖 ℕ, de coëfficiënten a0, a1,…,an
𝜖 ℝ en def(f) = ℝ.



Constante functie: n=0 dus graad 0 → y = a0

 Elke x-waarde dezelfde y-waarde
 Rechte door (0,a0) \\ x-as
 Geen nulpunten



Lineaire functie: n=1 dus graad 1 → y = a1x + a0

 a1 ≠ 0
 Rechte met 1 nulpunt
 Snijpunten met assen (-a0/a1, 0) en (0,a0)



Kwadratische functie: n=2 dus graad 2 → y = a2x2 + a1x + a0

 a2 ≠ 0
 parabool met 1,2 of geen nulpunten