Samenvatting Alle Stellingen Statistiek HI | Beschrijvende Statistiek | UA | 2025/26

Alle Stellingen
Statistiek HI

Volledige bewijzen, één stelling per pagina

met uitgebreide stap-voor-stap uitleg




Inhoud

Hoofdstuk 4 – Stelling van de Totale Kans + Regel van Bayes
Hoofdstuk 6 – Transformatiestelling (g stijgend en dalend)
Hoofdstuk 7 – Stelling 7.1, 7.2, 7.3, 7.4 (MG-functie)
Hoofdstuk 8 – Uniforme, Binomiale, Hypergeometrische, Poisson, Negatief
Binomiaal
Hoofdstuk 9 – Continue, Exponentieel, Stelling 9.2 & 9.3, Weibull
Hoofdstuk 10 – Stelling 10.1, X lognormaal ⇔ ln(X) normaal, 4 eigenschappen
Hoofdstuk 12 – Stelling 12.5 en 12.6
Hoofdstuk 13 – Stelling 13.2 + Contourplots




Gebaseerd op de cursusslides en het handboek
“Beschrijvende Statistiek en Kansrekening” van Peter Goos.

,Alle Stellingen — Statistiek HI 1



Hoofdstuk 4 Kansrekenen

Stelling van de Totale Kans

Context: Stel G1 , G2 , . . . , Gk vormen een partitie van de uitkomstenruimte Ω. Dat betekent:
ˆ Hun unie is volledig Ω: G1 ∪ G2 ∪ · · · ∪ Gk = Ω

ˆ Ze zijn paarsgewijs disjunct: Gi ∩ Gj = ∅ voor i ̸= j

ˆ Geen enkele is leeg
Stel G0 is een willekeurige gebeurtenis.


Stelling. De kans op G0 kan berekend worden als:

k
X
P (G0 ) = P (G0 | Gi ) · P (Gi )
i=1



Bewijs:

Stap 1. Aangezien G1 , G2 , . . . , Gk een partitie vormen van Ω, kunnen we G0 schrijven als de unie
van zijn intersecties met elk Gi :

G0 = (G1 ∩ G0 ) ∪ (G2 ∩ G0 ) ∪ · · · ∪ (Gk ∩ G0 )

Stap 2. De gebeurtenissen (Gi ∩ G0 ) zijn paarsgewijs elkaar uitsluitend, want

(Gi ∩ G0 ) ∩ (Gj ∩ G0 ) ⊆ Gi ∩ Gj = ∅ voor i ̸= j.

Stap 3. Volgens axioma 3 (de optelregel voor elkaar uitsluitende gebeurtenissen) geldt:

P (G0 ) = P (G1 ∩ G0 ) + P (G2 ∩ G0 ) + · · · + P (Gk ∩ G0 )

Stap 4. Pas de productregel toe op elke term:

P (Gi ∩ G0 ) = P (G0 | Gi ) · P (Gi )

Stap 5. Substitueer dit in de uitdrukking uit stap 3:
k
X
P (G0 ) = P (G0 | Gi ) · P (Gi )■
i=1



Grafische voorstelling: stel je Ω voor als een verzameling, opgedeeld in stukken G1 , G2 , . . . , Gk . De
gebeurtenis G0 ”snijdt” elk stuk. De totale kans op G0 is de som van de kansen op de stukjes G0 ∩ Gi .

,Alle Stellingen — Statistiek HI 2



Regel van Bayes

Context: Zelfde partitie G1 , . . . , Gk van Ω, en G0 een gebeurtenis met P (G0 ) > 0. We willen
de omgekeerde voorwaardelijke kans P (Gj | G0 ) berekenen, gegeven dat we P (G0 | Gi ) kennen
voor alle i.


Stelling. Voor elke j ∈ {1, 2, . . . , k}:

P (G0 | Gj ) · P (Gj )
P (Gj | G0 ) = k
X
P (G0 | Gi ) · P (Gi )
i=1



Bewijs:

Stap 1. Per definitie van voorwaardelijke kans:

P (Gj ∩ G0 )
P (Gj | G0 ) =
P (G0 )

Stap 2. Pas de productregel toe op de teller:

P (Gj ∩ G0 ) = P (G0 | Gj ) · P (Gj )

Stap 3. Pas de stelling van de totale kans toe op de noemer:
k
X
P (G0 ) = P (G0 | Gi ) · P (Gi )
i=1


Stap 4. Combineer stappen 1, 2 en 3:

P (G0 | Gj ) · P (Gj )
P (Gj | G0 ) = k
■
X
P (G0 | Gi ) · P (Gi )
i=1



Bayes laat ons toe achterwaarts te redeneren: van P (G0 | Gj ) (vooruit, oorzaak → gevolg) naar
P (Gj | G0 ) (achteruit, gevolg → oorzaak). Klassiek voorbeeld: HIV-test, waar P (positief | besmet)
gekend is, en we P (besmet | positief) willen weten.

, Alle Stellingen — Statistiek HI 3



Hoofdstuk 6 Univariate Kansvariabelen

Transformatiestelling — g strikt stijgend

Context: X is een continue kansvariabele met kansdichtheid fX (x) op [a, b]. Bekijk een functie
Y = g(X) waarbij g differentieerbaar en strikt stijgend is.


Stelling. De kansdichtheid van Y wordt gegeven door:

dx
fY (y) = fX (x) · waarbij x = g −1 (y)
dy


Bewijs:

Stap 1. Bepaal eerst de cumulatieve verdelingsfunctie van Y :

FY (y) = P (Y ≤ y)
= P (g(X) ≤ y)
= P X ≤ g −1 (y)


[g stijgend ⇒ ongelijkheid blijft]
= FX g −1 (y)




Stap 2. Differentieer naar y (kettingregel):

dFY (y)
fY (y) =
dy
d FX g −1 (y)


=
dy
d FX g −1 (y) d g −1 (y)


= ·
d g −1 (y) dy

d g −1 (y)
= fX g −1 (y) ·
dy
dx
= fX (x) ·
dy

dx dx dx
Stap 3. Aangezien g strikt stijgend is, is dy > 0, dus dy = dy . We krijgen:

dx
fY (y) = fX (x) · ■
dy