Hoofdstuk II. Logisch en wiskundig denken
1. Ik kan logisch redeneren en zet wiskunde handig en inzichtelijk in.
2. Didactische richtlijnen bij logisch en wiskundig denken
2.1. ZILL: harmonische ontwikkeling
De harmonische ontwikkeling van het kind staat centraal. Wat betekent dat er een wisselwerking is
tussen cultuurgebonden en persoonsgebonden ontwikkelvelden en -thema’s. De verwachtingen
m.b.t. het oplossen van wiskundige problemen worden verdeeld over meerdere ontwikkelvelden
(ontwikkeling van initiatief en verantwoordelijkheid en ontwikkeling van wiskundig denken).
2.2. Het generiek doel: ‘Wiskundige problemen oplossen in betekenisvolle situaties en de
redeneringen daarbij onderbouwen, bijsturen, weergeven en beoordelen’
2.2.1. Fasen in het vaardig oplossen van probleemoplossen: stappenplan
Hoewel details variëren, worden in de meeste modellen voor het vaardig oplossen van wiskundige
toepassingsproblemen volgende fasen onderscheiden.
2.2.1.1. Stap 1: opgave analyseren om de probleemsituatie goed te begrijpen
De oplosser moet tot een goede mentale voorstelling komen van wat er gegeven is, wat er gezocht
wordt en welke relaties tussen de gegevens onderling en tussen de gegevens en het gezochte
bestaan.
2.2.1.2. Stap 2: een passend wiskundig model opstellen voor het probleem
Dit gebeurt door initiële probleemrepresentatie om te zetten naar een nieuwe
probleemrepresentatie in termen van wiskundige symbolen en relaties. De oplosser bouwt dus met
wat hij reeds aan formeel-wiskundige kennis en vaardigheden verworven heeft een wiskundig model
op dat past bij de initiële voorstelling die hij/zij van de probleemsituatie heeft opgebouwd.
2.2.1.3. Stap 3: oplossingsplan uitvoeren
De rekenkundige operatie(s) die vervat ligt (liggen) in het wiskundig model, wordt (worden) effectief
uitgevoerd. Hier telt het regelgeleid en doelgericht manipuleren van de symbolen uit het wiskundig
model (indirecte representatie van de oorspronkelijke probleemsituatie).
2.2.1.4. Stap 4: antwoord formuleren
De uitkomst van de uitgevoerde rekenoperatie(s) worden geïnterpreteerd door ze terug te plaatsen
in de oorspronkelijke probleemsituatie. Er wordt dus een antwoordzin geformuleerd.
2.2.1.5. Stap 5: evalueren of controleren van het antwoord
Hier wordt het antwoord op zijn juistheid getoetst door o.a. op zinvolheid te beoordelen,
rekenfouten en realiteit.
2.2.1.6. Het stappenplan schematisch aanbrengen
In de praktijk brengt men dit stappenplan meestal geschematiseerd bij de leerlingen aan. Hierbij
worden stap 3 en 4 samengenomen (beertje van Meichenbaum).
2.2.2. Verwerven van een algemene strategie
Bij de 1ste en 2de stap hoort een aantal heuristieken of zoekstrategieën waaraan we in de
leeromgeving extra aandacht willen besteden.
, 2.2.2.1. Heuristieken algemeen
Waarin verschilt een heuristiek met een algoritme en een trial and error?
- Algoritme: geven een vast stappenplan om een probleem aan te pakken. Garantie tot succes
wanneer men zich aan het stappenplan houdt.
- Trial and error: men vindt soms de oplossing door een samenloop van intuïtie en gelukkig
toeval.
- Heuristieken: gerichte zoektechnieken die niet zeker tot een oplossing leiden, maar een
systematiek inhouden en meer kracht geven dan trial and error.
Hoe meer je heuristieken gaat toepassen, des te vlotter of meer automatisch je deze heuristieken
kan gebruiken. Een vaardig probleemoplosser of een expert beschikt over:
- Een goed geïntegreerde domein specifieke kennis, een goed georganiseerd en flexibel
toegankelijk kennisbestand
- Heuristische methodes die hij zeer flexibel kan aanwenden
- Metacognitieve vaardigheden
2.2.2.1.1. Fractioneren
Deze heuristiek houdt in dat een groot en op het eerste zicht ondoorzichtig probleem opgedeeld
wordt in een aantal deelproblemen (zalmtraptechniek/salamitechniek).
2.2.2.1.2. Mixed scanning
Deze heuristiek kan opgedeeld worden in 3 technieken:
- Afwisselend geheel en de delen bekijken: afwisselen tussen synthese en analyse.
- Klonteren (gelijk) en haarklieven (verschillend): een goede probleemoplosser wisselt af
tussen beide.
- Abstract en concreet: als een probleem te abstract is, kan je eerst werken vanuit een
concreet voorbeeld en daarna alles abstracter maken.
2.2.2.1.3. Circulatie, spiraalsgewijze techniek
Hier staat het centraal om eerst iets uit te proberen, te testen, te evalueren, bijsturen, opnieuw
proberen, terug bijsturen … Het zelf ontwikkelen van feedback is hier dus zeer belangrijk om verder
te kunnen gaan.
2.2.2.1.4. Vertalen
Hier zijn heel wat mogelijkheden om de gegeven voorstelling te wijzigen.
2.2.2.1.5. Incubatie
Even bewust afstand nemen geeft heel vaak aanleiding tot een nieuwe kijk. De hersenen kunnen
onbewust het probleem herordenen.
2.2.2.1.6. Reframing
Het kan zijn dat het opdelen van een probleem in tussenstappen in de richting van het doel, niet
altijd de optimale techniek is. Als het niet lukt, is het aangewezen op het probleem te herkaderen, te
reframen of te helikopteren. Alles moet dus in een breder perspectief bekeken worden.
, 2.2.2.2. Heuristieken in het stappenplan
Laat heuristieken een middel zijn om angst en onzekerheid omtrent vraagstukken in zeker mate
(geen garantie tot een oplossing) te overwinnen.
2.2.2.2.1. Stap 1: opgave analyseren om de probleemsituatie goed te begrijpen
Dit houdt in dat de leerling zich een goede voorstelling of representatie vormt van het probleem
waarmee hij/zij geconfronteerd wordt. Belangrijk hierbij is dat de leerling zicht krijgt op het gegeven,
op wat gezocht moet worden, op de relaties tussen de gegevens onderling …
2.2.2.2.1.1. Maak een tekening van de probleemsituatie
Op basis van de tekstuele info probeert de leerling een aanschouwelijke voorstelling op te bouwen
van de probleemsituatie in de vorm van een schets of een tekening.
2.2.2.2.1.2. Maak een tabel met de gegevens
De leerling probeert zich een betere voorstelling van het probleem te vormen door alle belangrijke
bekende en onbekende elementen uit de opgave in een geordende lijst (verhoudingstabel) samen te
brengen.
2.2.2.2.1.3. Onderscheid noodzakelijke en overbodige gegevens
In een vraagstuk zijn niet alle gegevens nodig. De leerling moet op zoek gaan naar die elementen die
het resultaat van de situatie zullen opleveren en deze gaan onderscheiden van die zaken die
onbelangrijk zijn voor de oplossing. Zo wordt het gegeven probleem vertaald naar een nieuw
probleem waarin deze overbodige info weggelaten is.
2.2.2.2.1.4. Gebruik je ervaringskennis
De leerling wordt er toe aangezet om bij het oplossen van vraagstukken nuttig gebruik te maken van
zijn praktische kennis (ontbreken van noodzakelijke/relevante gegevens) over de situatie of de
context die in het vraagstuk beschreven wordt, in plaats van deze kennis te negeren.
2.2.2.2.2. Stap 2: een passend wiskundig model opstellen voor het probleem
Na het maken van een goede voorstelling van het probleem, moet hij/zij zich in de tweede fase
afvragen hoe het probleem het best aangepakt kan worden. Het komt meestal neer op het kiezen
van 1 of meerdere rekenkundige bewerkingen die na elkaar worden opgelost (fractioneren).
2.2.2.2.2.1. Maak een boomdiagram
De leerling stelt een oplossingsplan op in de vorm van een boomstructuur. Bestaan uit een netwerk
van (benoemde) hokjes (bekende en onbekende hoeveelheden) die onderling verbonden zijn via
(benoemde) lijnstukken (rekenkundige bewerkingen).
Voordelen van een boomdiagram:
- Er staat duidelijk vermeld wat er gevraagd wordt, wat ik al weet en welke getallen ik zal
nodig hebben en welke bewerkingen ik zal uitvoeren om het gevraagde te vinden.
- Zo kan ik goed nadenken over mijn oplossingsplan zonder dat ik me moet bezighouden met
het rekenwerk.
1. Ik kan logisch redeneren en zet wiskunde handig en inzichtelijk in.
2. Didactische richtlijnen bij logisch en wiskundig denken
2.1. ZILL: harmonische ontwikkeling
De harmonische ontwikkeling van het kind staat centraal. Wat betekent dat er een wisselwerking is
tussen cultuurgebonden en persoonsgebonden ontwikkelvelden en -thema’s. De verwachtingen
m.b.t. het oplossen van wiskundige problemen worden verdeeld over meerdere ontwikkelvelden
(ontwikkeling van initiatief en verantwoordelijkheid en ontwikkeling van wiskundig denken).
2.2. Het generiek doel: ‘Wiskundige problemen oplossen in betekenisvolle situaties en de
redeneringen daarbij onderbouwen, bijsturen, weergeven en beoordelen’
2.2.1. Fasen in het vaardig oplossen van probleemoplossen: stappenplan
Hoewel details variëren, worden in de meeste modellen voor het vaardig oplossen van wiskundige
toepassingsproblemen volgende fasen onderscheiden.
2.2.1.1. Stap 1: opgave analyseren om de probleemsituatie goed te begrijpen
De oplosser moet tot een goede mentale voorstelling komen van wat er gegeven is, wat er gezocht
wordt en welke relaties tussen de gegevens onderling en tussen de gegevens en het gezochte
bestaan.
2.2.1.2. Stap 2: een passend wiskundig model opstellen voor het probleem
Dit gebeurt door initiële probleemrepresentatie om te zetten naar een nieuwe
probleemrepresentatie in termen van wiskundige symbolen en relaties. De oplosser bouwt dus met
wat hij reeds aan formeel-wiskundige kennis en vaardigheden verworven heeft een wiskundig model
op dat past bij de initiële voorstelling die hij/zij van de probleemsituatie heeft opgebouwd.
2.2.1.3. Stap 3: oplossingsplan uitvoeren
De rekenkundige operatie(s) die vervat ligt (liggen) in het wiskundig model, wordt (worden) effectief
uitgevoerd. Hier telt het regelgeleid en doelgericht manipuleren van de symbolen uit het wiskundig
model (indirecte representatie van de oorspronkelijke probleemsituatie).
2.2.1.4. Stap 4: antwoord formuleren
De uitkomst van de uitgevoerde rekenoperatie(s) worden geïnterpreteerd door ze terug te plaatsen
in de oorspronkelijke probleemsituatie. Er wordt dus een antwoordzin geformuleerd.
2.2.1.5. Stap 5: evalueren of controleren van het antwoord
Hier wordt het antwoord op zijn juistheid getoetst door o.a. op zinvolheid te beoordelen,
rekenfouten en realiteit.
2.2.1.6. Het stappenplan schematisch aanbrengen
In de praktijk brengt men dit stappenplan meestal geschematiseerd bij de leerlingen aan. Hierbij
worden stap 3 en 4 samengenomen (beertje van Meichenbaum).
2.2.2. Verwerven van een algemene strategie
Bij de 1ste en 2de stap hoort een aantal heuristieken of zoekstrategieën waaraan we in de
leeromgeving extra aandacht willen besteden.
, 2.2.2.1. Heuristieken algemeen
Waarin verschilt een heuristiek met een algoritme en een trial and error?
- Algoritme: geven een vast stappenplan om een probleem aan te pakken. Garantie tot succes
wanneer men zich aan het stappenplan houdt.
- Trial and error: men vindt soms de oplossing door een samenloop van intuïtie en gelukkig
toeval.
- Heuristieken: gerichte zoektechnieken die niet zeker tot een oplossing leiden, maar een
systematiek inhouden en meer kracht geven dan trial and error.
Hoe meer je heuristieken gaat toepassen, des te vlotter of meer automatisch je deze heuristieken
kan gebruiken. Een vaardig probleemoplosser of een expert beschikt over:
- Een goed geïntegreerde domein specifieke kennis, een goed georganiseerd en flexibel
toegankelijk kennisbestand
- Heuristische methodes die hij zeer flexibel kan aanwenden
- Metacognitieve vaardigheden
2.2.2.1.1. Fractioneren
Deze heuristiek houdt in dat een groot en op het eerste zicht ondoorzichtig probleem opgedeeld
wordt in een aantal deelproblemen (zalmtraptechniek/salamitechniek).
2.2.2.1.2. Mixed scanning
Deze heuristiek kan opgedeeld worden in 3 technieken:
- Afwisselend geheel en de delen bekijken: afwisselen tussen synthese en analyse.
- Klonteren (gelijk) en haarklieven (verschillend): een goede probleemoplosser wisselt af
tussen beide.
- Abstract en concreet: als een probleem te abstract is, kan je eerst werken vanuit een
concreet voorbeeld en daarna alles abstracter maken.
2.2.2.1.3. Circulatie, spiraalsgewijze techniek
Hier staat het centraal om eerst iets uit te proberen, te testen, te evalueren, bijsturen, opnieuw
proberen, terug bijsturen … Het zelf ontwikkelen van feedback is hier dus zeer belangrijk om verder
te kunnen gaan.
2.2.2.1.4. Vertalen
Hier zijn heel wat mogelijkheden om de gegeven voorstelling te wijzigen.
2.2.2.1.5. Incubatie
Even bewust afstand nemen geeft heel vaak aanleiding tot een nieuwe kijk. De hersenen kunnen
onbewust het probleem herordenen.
2.2.2.1.6. Reframing
Het kan zijn dat het opdelen van een probleem in tussenstappen in de richting van het doel, niet
altijd de optimale techniek is. Als het niet lukt, is het aangewezen op het probleem te herkaderen, te
reframen of te helikopteren. Alles moet dus in een breder perspectief bekeken worden.
, 2.2.2.2. Heuristieken in het stappenplan
Laat heuristieken een middel zijn om angst en onzekerheid omtrent vraagstukken in zeker mate
(geen garantie tot een oplossing) te overwinnen.
2.2.2.2.1. Stap 1: opgave analyseren om de probleemsituatie goed te begrijpen
Dit houdt in dat de leerling zich een goede voorstelling of representatie vormt van het probleem
waarmee hij/zij geconfronteerd wordt. Belangrijk hierbij is dat de leerling zicht krijgt op het gegeven,
op wat gezocht moet worden, op de relaties tussen de gegevens onderling …
2.2.2.2.1.1. Maak een tekening van de probleemsituatie
Op basis van de tekstuele info probeert de leerling een aanschouwelijke voorstelling op te bouwen
van de probleemsituatie in de vorm van een schets of een tekening.
2.2.2.2.1.2. Maak een tabel met de gegevens
De leerling probeert zich een betere voorstelling van het probleem te vormen door alle belangrijke
bekende en onbekende elementen uit de opgave in een geordende lijst (verhoudingstabel) samen te
brengen.
2.2.2.2.1.3. Onderscheid noodzakelijke en overbodige gegevens
In een vraagstuk zijn niet alle gegevens nodig. De leerling moet op zoek gaan naar die elementen die
het resultaat van de situatie zullen opleveren en deze gaan onderscheiden van die zaken die
onbelangrijk zijn voor de oplossing. Zo wordt het gegeven probleem vertaald naar een nieuw
probleem waarin deze overbodige info weggelaten is.
2.2.2.2.1.4. Gebruik je ervaringskennis
De leerling wordt er toe aangezet om bij het oplossen van vraagstukken nuttig gebruik te maken van
zijn praktische kennis (ontbreken van noodzakelijke/relevante gegevens) over de situatie of de
context die in het vraagstuk beschreven wordt, in plaats van deze kennis te negeren.
2.2.2.2.2. Stap 2: een passend wiskundig model opstellen voor het probleem
Na het maken van een goede voorstelling van het probleem, moet hij/zij zich in de tweede fase
afvragen hoe het probleem het best aangepakt kan worden. Het komt meestal neer op het kiezen
van 1 of meerdere rekenkundige bewerkingen die na elkaar worden opgelost (fractioneren).
2.2.2.2.2.1. Maak een boomdiagram
De leerling stelt een oplossingsplan op in de vorm van een boomstructuur. Bestaan uit een netwerk
van (benoemde) hokjes (bekende en onbekende hoeveelheden) die onderling verbonden zijn via
(benoemde) lijnstukken (rekenkundige bewerkingen).
Voordelen van een boomdiagram:
- Er staat duidelijk vermeld wat er gevraagd wordt, wat ik al weet en welke getallen ik zal
nodig hebben en welke bewerkingen ik zal uitvoeren om het gevraagde te vinden.
- Zo kan ik goed nadenken over mijn oplossingsplan zonder dat ik me moet bezighouden met
het rekenwerk.
