Fysica 2022-2023
Hoofdstuk 11– trillingen rond evenwicht
Periodische beweging
Het herhalend karakter is het hoofdkenmerk. De periode T is de tijd dat nodig is om 1 cyclus
1
vaan de beweging te doorlopen. Het aantal oscillaties per seconde is de frequentie, 𝑓 = 𝑇;
[𝑓] = 𝑆 −1 = 𝐻𝑧.
De simpele harmonische beweging
Een voorbeeld is een massa aan een veer, wanneer een veer niet in uitgetrokken bevindt het
voorwerp zich op zijn evenwichtspositie x = 0. Wanneer de massa verplaatst wordt over een
afstand x, oefent de veer een terugroepende kracht uit gegeven door de wet van Hooke:
𝐹 = −𝑘𝑥. De veer oefent dus een kracht uit evenredig met de uitwijking. De kracht wijst altijd
naar het evenwichtspunt.
De positie van de massa zal oscilleren tussen x = -A en x = +A. A is de amplitude van de oscillatie.
Wanneer de massa aan een verticale veer hangt, is de veer in evenwicht wanneer de
terugroepende kracht even groot is als het gewicht van de massa: −𝑘𝑥⃗ + 𝑚𝑔⃗ = 0.
Verband tussen eenparig cirkelvormige beweging en simpele harmonische trilling
De eenparige cirkelvormige beweging heeft een constante hoekversnelling 𝜔 en de positie
waarop een voorwerp zich bevindt wordt gegeven door de hoek 𝜃.
𝜃 = 𝜔𝑡
Het verband met de harmonische trilling krijgt men wanneer men zo’n eenparig cirkelvormige
beweging projecteert op een as in het vlak van de cirkel, door het MP van de cirkel, zoals op
figuur. Je verkrijgt dan dezelfde (x,t) grafiek als voor een harmonisch e trilling.
Zoals je op de figuur kan zien is 𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜃
2𝛱
En in functie van de tijd: 𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑇 𝑡)
, De hoeksnelheid wordt bij trillingen en golven ook wel de hoekfrequentie genoemd, het blijft
dezelfde grootheid ongeacht de naam.
2𝜋
𝜔 = 2𝜋𝑓 =
𝑇
De grootte van de snelheid en versnelling van de lineaire harmonische beweging worden
hieruit afgeleid.
ⅆ𝑥
𝑣𝑥 = = −𝐴𝜔 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)
ⅆ𝑡
ⅆ2𝑥
𝑎𝑥 = = −𝐴𝜔2 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)
ⅆ𝑡 2
De snelheid en de versnellingscomponenten ondergaan dus eveneens een harmonische
beweging. Snelheid en versnelling van de lineaire harmonische beweging zijn de projecties 𝑣𝑥
en 𝑎𝑥 van de snelheid en versnelling van de eenparig cirkelvormige beweging.
De periode van een massa aan een veer
Hoe verder je een veer uitrekt, hoe moeilijker het wordt om ze nog verder uit te rekken . Dit
betekent dat de terugroepende kracht 𝐹⃗ recht evenredig is met de uitrekking 𝑥⃗. Uiteraard
werkt deze kracht wel in tegengestelde zin. Wiskundig kan dit geschreven worden als:
𝐹⃗ = −𝑘𝑥⃗
Met k = veerconstante. Dit is de wet van Hooke. Aangezien we weten dat 𝐹⃗ = 𝑚𝑎⃗, geldt:
𝑚𝑎⃗ = −𝑘𝑥⃗
Als we de uitdrukkingen voor versnelling en verplaatsing vervangen door degene die we net
afgeleid hebben, kunnen we dit herschrijven als:
𝑘
𝜔=√
𝑚
Hoofdstuk 11– trillingen rond evenwicht
Periodische beweging
Het herhalend karakter is het hoofdkenmerk. De periode T is de tijd dat nodig is om 1 cyclus
1
vaan de beweging te doorlopen. Het aantal oscillaties per seconde is de frequentie, 𝑓 = 𝑇;
[𝑓] = 𝑆 −1 = 𝐻𝑧.
De simpele harmonische beweging
Een voorbeeld is een massa aan een veer, wanneer een veer niet in uitgetrokken bevindt het
voorwerp zich op zijn evenwichtspositie x = 0. Wanneer de massa verplaatst wordt over een
afstand x, oefent de veer een terugroepende kracht uit gegeven door de wet van Hooke:
𝐹 = −𝑘𝑥. De veer oefent dus een kracht uit evenredig met de uitwijking. De kracht wijst altijd
naar het evenwichtspunt.
De positie van de massa zal oscilleren tussen x = -A en x = +A. A is de amplitude van de oscillatie.
Wanneer de massa aan een verticale veer hangt, is de veer in evenwicht wanneer de
terugroepende kracht even groot is als het gewicht van de massa: −𝑘𝑥⃗ + 𝑚𝑔⃗ = 0.
Verband tussen eenparig cirkelvormige beweging en simpele harmonische trilling
De eenparige cirkelvormige beweging heeft een constante hoekversnelling 𝜔 en de positie
waarop een voorwerp zich bevindt wordt gegeven door de hoek 𝜃.
𝜃 = 𝜔𝑡
Het verband met de harmonische trilling krijgt men wanneer men zo’n eenparig cirkelvormige
beweging projecteert op een as in het vlak van de cirkel, door het MP van de cirkel, zoals op
figuur. Je verkrijgt dan dezelfde (x,t) grafiek als voor een harmonisch e trilling.
Zoals je op de figuur kan zien is 𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜃
2𝛱
En in functie van de tijd: 𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑇 𝑡)
, De hoeksnelheid wordt bij trillingen en golven ook wel de hoekfrequentie genoemd, het blijft
dezelfde grootheid ongeacht de naam.
2𝜋
𝜔 = 2𝜋𝑓 =
𝑇
De grootte van de snelheid en versnelling van de lineaire harmonische beweging worden
hieruit afgeleid.
ⅆ𝑥
𝑣𝑥 = = −𝐴𝜔 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)
ⅆ𝑡
ⅆ2𝑥
𝑎𝑥 = = −𝐴𝜔2 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)
ⅆ𝑡 2
De snelheid en de versnellingscomponenten ondergaan dus eveneens een harmonische
beweging. Snelheid en versnelling van de lineaire harmonische beweging zijn de projecties 𝑣𝑥
en 𝑎𝑥 van de snelheid en versnelling van de eenparig cirkelvormige beweging.
De periode van een massa aan een veer
Hoe verder je een veer uitrekt, hoe moeilijker het wordt om ze nog verder uit te rekken . Dit
betekent dat de terugroepende kracht 𝐹⃗ recht evenredig is met de uitrekking 𝑥⃗. Uiteraard
werkt deze kracht wel in tegengestelde zin. Wiskundig kan dit geschreven worden als:
𝐹⃗ = −𝑘𝑥⃗
Met k = veerconstante. Dit is de wet van Hooke. Aangezien we weten dat 𝐹⃗ = 𝑚𝑎⃗, geldt:
𝑚𝑎⃗ = −𝑘𝑥⃗
Als we de uitdrukkingen voor versnelling en verplaatsing vervangen door degene die we net
afgeleid hebben, kunnen we dit herschrijven als:
𝑘
𝜔=√
𝑚
