Engineering mathematics, differential equations, phương trình vi phân, Laplace transform, biến đổi Laplace, Cauchy-Euler, ODE, initial value problem, math study guide, engineering exam, math notes, homogeneous equations, nonhomogeneous equations, method o

CÁC DẠNG BÀI TẬP CỦA LẦN KT THỨ 2

B1:-𝒕í𝒏𝒉---𝒆−∫-𝒑(𝒙)𝒅𝒙-
𝒆−∫𝒑(𝒙)𝒅𝒙

B2:-𝒚𝟐-=-𝒚𝟏.∫ 𝒚𝟏𝟐 𝒅𝒙-

Nghiệm-yc-=-c1y1-+-c2y2-

Vd:-𝒙𝟐𝒚′′-−-𝟑𝒙𝒚′-+-𝟒𝒚-=-𝟎-𝒗ớ𝒊-𝒚𝟏-=-𝒙𝟐--

Đầu-tiên-chia-2-vế-cho-x2-để-hệ-số-của-y’’-là-1-

-=>------𝑦′′-−-𝑥 3-𝑦′-+-𝑥 42-𝑦-=-0-

B1:-P(x)-=-
-
𝟑𝒍𝒏𝒙
-𝑒−-∫-𝑝(𝑥)𝑑𝑥-=-𝑒3𝑙𝑛𝑥-=-𝑒(𝑙𝑛𝑥)3-=-𝑥3-
𝑒−∫𝑝(𝑥)𝑑𝑥
B2:- 𝑦2-=-𝑦1.-∫ 2
- 𝑑𝑥
𝑦1
𝑥32𝑙𝑛𝑥--

-𝑦2-=-𝑥2-∫-𝑥4-𝑑𝑥 𝑥 𝑥

-𝑉ậ𝑦-𝑦1-=-𝑥2--;---𝑦2-=-𝑥2𝑙𝑛𝑥--

-𝑦𝑐-=-𝑐1𝑦1-+-𝑐2𝑦2-=-𝑐1𝑥2-+-𝑐2𝑥2𝑙𝑛𝑥-
-
-


Chú-ý-dạng-2-khác-dạng-1:-ở-dạng-1-đi-kèm-với-y’-là-1-hàm-theo-x-còn-dạng-2-
là-hệ-số.-

Đưa-về-phương-trình-đặc-trưng-:-𝑦′′-=-𝑚2-;---𝑦′-=-𝑚-;----𝑦-𝑙à-1--

, ---𝑛ế𝑢-𝑐ó-𝑦′′′𝑡ℎì-𝑏ằ𝑛𝑔-𝑚3-

-𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚-𝑟𝑖ê𝑛𝑔-𝑐ủ𝑎-𝑝ℎươ𝑛𝑔-𝑡𝑟ì𝑛ℎ-𝑐ó-𝑑ạ𝑛𝑔-𝒚-=-𝒆𝒎𝒙--
-𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚-𝑡ổ𝑛𝑔-𝑞𝑢á𝑡-𝑐ủ𝑎-𝑝ℎươ𝑛𝑔-𝑡𝑟ì𝑛ℎ:-yc-=-c1y1-+-c2y2-




-
Các-trường-hợp-khi-tìm-ra-nghiệm-của-m-
Th1:-2-nghiệm-phân-biệt-m1-≠-𝒎𝟐-
-=>-y1-=-em1x--và--y2-=-em2x-

=>-yc-=-c1y1-+-c2y2-
Vd:-nếu-giải-ra-2-giá-trị-của-m-là-m=2-và-m=4-
=>-y1-=-𝑒2𝑥---y2=-𝑒4𝑥-

=>-yc-=-c1e2x-+c2e4x-
-
Th2:-giải-ra-m-là-nghiệm-kép-(-nghiệm-bội-2-)-m1-=-m2-
-y1-=-em1x-------y2-=-xy1-
Nếu-có-3-giá-trị-m-bằng-nhau-m1-=-m2-=-m3-
y1-=-em1x-------y2-=-xy1-------------y3-=-xy2-=-x2y1-
Tương-tự-cho-nghiệm-bội-4,-bội-5-….-(không-có-đâu-yên-tâm)-
Vd:-giải-ra-m1-=-m2-=-5-
=>-y1=-𝑒5𝑥--y2=-𝑥𝑒5𝑥-

Nếu-m1-=-m2-=-m3-=-5-
=>-y1=-𝑒5𝑥--y2=-𝑥𝑒5𝑥----y3=-𝑥2𝑒5𝑥-

-

, Th3:-Nghiệm-phức-m1=-𝜶-+-𝒊𝜷-
-----------------------------------m2=-𝜶-−-𝒊𝜷--

y1-=-𝑒𝛼𝑥-cos(𝛽𝑥)------và-------y2-=-𝑒𝛼𝑥-

sin(𝛽𝑥)-Vd:--------------------𝒎𝟐-+-𝟏-=-𝟎--

-----------------------=>-------------------------
𝒎-=-𝒊---𝒗à---𝒎-=-−𝒊-

-𝑚-=-𝑖-----𝑛𝑔ℎĩ𝑎-𝑙à------𝑚-=-0-+-𝑖1-----------𝑙à-𝛼-=-0-𝑣à-𝛽-=-1-

Y1-=-𝑒0𝑥-cos(1𝑥)-----𝑣à--------y2-=-𝑒0𝑥sin-(1𝑥)-

Y1-=-cos(𝑥)---------------𝑣à--------y2-=-sin(𝑥)-

Yc-=-c1cos(𝑥)-+-c2sin-(𝑥)-

Vd-về-các-bài-tập--
a)-𝟐𝒚′′-−-𝟓𝒚′-−-𝟑𝒚-=-𝟎-

-𝑝ℎươ𝑛𝑔-𝑡𝑟ì𝑛ℎ-đặ𝑐-𝑡𝑟ư𝑛𝑔-(𝑃𝑇Đ𝑇):-------------2𝑚2-−-5𝑚-−-3-=-0-

- 𝑚-=-−- --------𝑣------𝑚-=-3--------(-2-𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚-𝑘ℎá𝑐-𝑛ℎ𝑎𝑢)𝑇ℎ1-----
1--- ---y1-=-𝑒−2𝑥-------

và--------------y2-=-𝑒3𝑥-
1

=>--Yc-=-c1𝑒−2𝑥-+-c2𝑒3𝑥-

-𝒃)-𝒚′′-−-𝟏𝟎𝒚′-+-𝟐𝟓𝒚-=-𝟎-

PTĐT-𝑚2-−-10𝑚-+-25-=-0--

m-=-5-(nghiệm-kép)-Th2--

- y1-=-𝑒5𝑥------------y2-=-𝑥𝑒5𝑥-