HOOFDREKENEN
1. BEWERKINGEN MET BREUKEN
1.1. DE NODIGE INHOUDELIJKE BEGINSITUATIE
Voldoende inzicht in het aspect (verschijningsvorm) breuk als getal. Belangrijk inzicht: het geheel voor alle breuken, en
dus ook voor gebruikte breuken is hetzelfde. Als je de breuken voorstelt op een getallenas, werk je steeds met dezelfde
eenheid.
Vaak ondersteunen we abstracte redeneringen vaak met schematische voorstellingen. Door breuken schematisch voor te
stellen op rechthoek bv. gebruiken we impliciet het breukaspect ‘breuk als operator’ (niet langer vanzelfsprekend uitgaan
dat de gehelen gelijk zijn). Wanneer je die ondersteuning wilt gebruiken bij bewerkingen met breuken is dit wel een nodige
voorwaarde + zorg voor deze verwoording.
1.2. INZETTEN VAN DIDACTISCHE KADERS BIJ BEWERKINGEN MET BREUKEN
BETEKENIS GEVEN
Betekenisvolle situatie: Denk na over vraagstelling:
- Welk deel?
- Benoem het geheel
- Stuur naar een gepast denkmodel (dus als je vraag gaat over een strook, dus btv sit is dan een cake (langwerpig)
geen taart.
INZICHT OPBOUWEN
- eerst inzichten opbouwen en dan pas inoefenen
- ondersteuning van het abstractieproces
o ! zorg dat geheel zichtbaar blijft > daarom vaak keuze voor S i.p.v. C
o ! materiaal moet bedoelde rekenhandeling ondersteunen, daarom soms ook keuze voor enkel redeneren
en geen S fase
PROGRESSIEVE COMPLICERING
De verschillende types:
- Optellen en aftrekken van gelijknamige breuken
- Optellen en aftrekken van ongelijknamige breuken
- Vermenigvuldigen van een breuk met een natuurlijk getal
- Vermenigvuldigen van een natuurlijk getal met een breuk
- Vermenigvuldigen van een breuk met een breuk (*)
- Delen van een breuk door een natuurlijk getal
- Een natuurlijk getal delen door een breuk (*)
- Delen van een breuk door een breuk (dif.) (*)
Voor sommige onderdelen (*) is in leerplan slechts een aanzet, maar we pleiten om al deze bewerkingen inzichtelijk aan te
brengen en zelfs in te oefenen. Zo is het mogelijk om op het einde naar een samenvatting van een beperkt aantal regels te
gaan.
,De globale opbouw:
Gebruik maken van een vaste opbouw voor aanbrengen van de types. Zie schema (= stramien waarop je kan terugvallen,
het is geen rigide werkwijze die je blind moet volgen.)
ALGEMEEN: TOEGEPAST:
Bewerkingen met breuken aanbrengen Optellen van gelijknamige breuken
Activeren van de nodige voorkennis Betekenis van teller en noemer herhalen
Inzichtelijke opbouw van de redenering: -
2
Ik eet eerst van een cake, daarna nog .
1
6 6
- Betekenisvolle situatie → noteren van de Hoeveel heb ik in totaal gegeten?
bewerking 2 1
- + =
- Bedoelde rekenhandeling uitlokken, 6 6
ervaren en verwoorden - De bedoelde rekenhandeling: op een
- Noteren van het resultaat tekening optelling laten uitvoeren + laat
Je voert deze stappen een aantal keer uit waarbij ze heel uitgebreid verwoorden. Deel het
je niet-wezenlijke kenmerken afwisselt. (teller, geheel in 6 gelijke delen en arceer eerst
2 1
noemer, vorm van het geheel, betekenisvolle situatie…) en daarna nog en concludeer dat er in
6 6
(Simpele gevallen => geen geheel overschrijden) 3
totaal genomen is.
6
2 1 3
- + =
6 6 6
Progressieve complicering (moeilijkere gevallen Enkele voorbeelden waarbij het geheel wel
behandelen) (kan ook na volgende stap komen) 2
overschreden wordt ( + ).
3
4 4
Of voorbeelden met onechte breuken als
uitgangspunt.
Regel laten formuleren Vanuit verschillende voorbeelden kan je met de
- Inventaris van de resultaten leerlingen de wetmatigheden ontdekken: om
- Patroon ontdekken gelijknamige breuken op te tellen, behouden we
- Verklaren van wetmatigheden de noemers en tellen de tellers op. Als je naar de
- Formuleren van regel tekeningen kijkt zie je dat het geheel in evenveel
delen verdeeld blijft.
Inoefenen, verkorten en automatiseren. Je oefent de leerstof in:
- Met en zonder betekenisvolle situaties
- Met en zonder schematische
ondersteuning
- T.e.m. echte automatisatie van de regel
Toepassen De verworven leerstof leren inzetten in
vraagstukken en toepassingen.
, BETEKENIS GEVEN AAN BEWERKINGEN
In dagelijks leven komen bewerkingen met breuken niet vaak aan bod. Betekenisvolle situatie:
- Bv. in de berging staat nog ¾ van een bak frisdrank. Tijdens een feestje drinken we hier 1/5 van op. Welk deel vd
bak dronken we op? → deze situatie helpt betekenis geven aan rekenhandeling
Dat is nodig om het inzichtelijk te begrijpen.
Belangrijk:
- Niet-wezenlijke kenmerken afwisselen
- Contrast maken tussen betekenisvolle situaties en de verschillende bewerkingen onderling > zo kan je de
Wezenlijke kenmerken verduidelijken
Een goede situatie stuurt naar het gebruik van een gepast denkmodel.
- Bv. ik heb nog een halve snoepveter. Ik verdeel die onder mijn drie vriendinnen. Welk deel vd snoepveter krijgt
ieder? > geeft aanleiding tot voorstelling op getallenas of strookmodel
- Bv. jan brengt ¾ van een pizza mee naar school. Hij verdeelt dit over zijn 4 vrienden. Welk deel van de pizza krijgt
ieder? > geeft aanleiding om schematisch voor te stellen op een cirkel
Afhankelijk vd bewerking kan een specifiek model het ontdekken van de wetmatigheid (regel) meer of minder
ondersteunen.
Betekenisvolle situaties geven de kans om het probleem ivm het breukaspect ‘breuk als een rationaal getal’ aan te
kaarten. Wanneer je de verschillende breuken voorstelt op een tekening is het nodig dat het geheel hetzelfde is.
EERST INZICHTEN OPBOUWEN EN DAN PAS INOEFENEN
Vanuit inzichten bouw je redeneringen op die resulteren in rekenregels. Die oefen je verder in tot ze parate kennis worden.
Het inoefenen van rekenregels is een technisch aspect waarbij lln veel oefenen.
Essentieel is het opbouwen van inzichten. Het automatiseren is een fase die nodig is om ruimte te creëren om later
nieuwe inzichten te kunnen opdoen.
- Lln leren inzichten opdoen
- Vanuit die inzichten kunnen ze rekenregels gemakkelijker automatiseren + bij vergeten v regel kunnen ze de regel
sneller reconstrueren
- In toepassingen kunnen ze op inzicht terugvallen om context naar wiskunde te vertalen
- Begrijpen wat je inoefent + waarom motiveert.
ONDERSTEUNING VH ABSTRACTIEPROCES
We ondersteunen het abstractieproces, waarbij je tot een abstracte rekenregel komt, zo goed mogelijk. Om regels te
ontdekken bouw je een logische redenering op. Als ondersteuning CSA-model. Maar je moet hier zorgvuldig mee omgaan.
- Soms leidt schematische voorstelling niet tot het ontdekken van een regel
- Bij concreet werken gaat overzicht over het geheel vaak verloren als je materiaal wegneemt of toevoegt. In derde
graad zijn ze vaardig genoeg om met schematische voorstellingen te werken.
- Belangrijk aandachtspunt: rekenhandeling ondersteunen
1. BEWERKINGEN MET BREUKEN
1.1. DE NODIGE INHOUDELIJKE BEGINSITUATIE
Voldoende inzicht in het aspect (verschijningsvorm) breuk als getal. Belangrijk inzicht: het geheel voor alle breuken, en
dus ook voor gebruikte breuken is hetzelfde. Als je de breuken voorstelt op een getallenas, werk je steeds met dezelfde
eenheid.
Vaak ondersteunen we abstracte redeneringen vaak met schematische voorstellingen. Door breuken schematisch voor te
stellen op rechthoek bv. gebruiken we impliciet het breukaspect ‘breuk als operator’ (niet langer vanzelfsprekend uitgaan
dat de gehelen gelijk zijn). Wanneer je die ondersteuning wilt gebruiken bij bewerkingen met breuken is dit wel een nodige
voorwaarde + zorg voor deze verwoording.
1.2. INZETTEN VAN DIDACTISCHE KADERS BIJ BEWERKINGEN MET BREUKEN
BETEKENIS GEVEN
Betekenisvolle situatie: Denk na over vraagstelling:
- Welk deel?
- Benoem het geheel
- Stuur naar een gepast denkmodel (dus als je vraag gaat over een strook, dus btv sit is dan een cake (langwerpig)
geen taart.
INZICHT OPBOUWEN
- eerst inzichten opbouwen en dan pas inoefenen
- ondersteuning van het abstractieproces
o ! zorg dat geheel zichtbaar blijft > daarom vaak keuze voor S i.p.v. C
o ! materiaal moet bedoelde rekenhandeling ondersteunen, daarom soms ook keuze voor enkel redeneren
en geen S fase
PROGRESSIEVE COMPLICERING
De verschillende types:
- Optellen en aftrekken van gelijknamige breuken
- Optellen en aftrekken van ongelijknamige breuken
- Vermenigvuldigen van een breuk met een natuurlijk getal
- Vermenigvuldigen van een natuurlijk getal met een breuk
- Vermenigvuldigen van een breuk met een breuk (*)
- Delen van een breuk door een natuurlijk getal
- Een natuurlijk getal delen door een breuk (*)
- Delen van een breuk door een breuk (dif.) (*)
Voor sommige onderdelen (*) is in leerplan slechts een aanzet, maar we pleiten om al deze bewerkingen inzichtelijk aan te
brengen en zelfs in te oefenen. Zo is het mogelijk om op het einde naar een samenvatting van een beperkt aantal regels te
gaan.
,De globale opbouw:
Gebruik maken van een vaste opbouw voor aanbrengen van de types. Zie schema (= stramien waarop je kan terugvallen,
het is geen rigide werkwijze die je blind moet volgen.)
ALGEMEEN: TOEGEPAST:
Bewerkingen met breuken aanbrengen Optellen van gelijknamige breuken
Activeren van de nodige voorkennis Betekenis van teller en noemer herhalen
Inzichtelijke opbouw van de redenering: -
2
Ik eet eerst van een cake, daarna nog .
1
6 6
- Betekenisvolle situatie → noteren van de Hoeveel heb ik in totaal gegeten?
bewerking 2 1
- + =
- Bedoelde rekenhandeling uitlokken, 6 6
ervaren en verwoorden - De bedoelde rekenhandeling: op een
- Noteren van het resultaat tekening optelling laten uitvoeren + laat
Je voert deze stappen een aantal keer uit waarbij ze heel uitgebreid verwoorden. Deel het
je niet-wezenlijke kenmerken afwisselt. (teller, geheel in 6 gelijke delen en arceer eerst
2 1
noemer, vorm van het geheel, betekenisvolle situatie…) en daarna nog en concludeer dat er in
6 6
(Simpele gevallen => geen geheel overschrijden) 3
totaal genomen is.
6
2 1 3
- + =
6 6 6
Progressieve complicering (moeilijkere gevallen Enkele voorbeelden waarbij het geheel wel
behandelen) (kan ook na volgende stap komen) 2
overschreden wordt ( + ).
3
4 4
Of voorbeelden met onechte breuken als
uitgangspunt.
Regel laten formuleren Vanuit verschillende voorbeelden kan je met de
- Inventaris van de resultaten leerlingen de wetmatigheden ontdekken: om
- Patroon ontdekken gelijknamige breuken op te tellen, behouden we
- Verklaren van wetmatigheden de noemers en tellen de tellers op. Als je naar de
- Formuleren van regel tekeningen kijkt zie je dat het geheel in evenveel
delen verdeeld blijft.
Inoefenen, verkorten en automatiseren. Je oefent de leerstof in:
- Met en zonder betekenisvolle situaties
- Met en zonder schematische
ondersteuning
- T.e.m. echte automatisatie van de regel
Toepassen De verworven leerstof leren inzetten in
vraagstukken en toepassingen.
, BETEKENIS GEVEN AAN BEWERKINGEN
In dagelijks leven komen bewerkingen met breuken niet vaak aan bod. Betekenisvolle situatie:
- Bv. in de berging staat nog ¾ van een bak frisdrank. Tijdens een feestje drinken we hier 1/5 van op. Welk deel vd
bak dronken we op? → deze situatie helpt betekenis geven aan rekenhandeling
Dat is nodig om het inzichtelijk te begrijpen.
Belangrijk:
- Niet-wezenlijke kenmerken afwisselen
- Contrast maken tussen betekenisvolle situaties en de verschillende bewerkingen onderling > zo kan je de
Wezenlijke kenmerken verduidelijken
Een goede situatie stuurt naar het gebruik van een gepast denkmodel.
- Bv. ik heb nog een halve snoepveter. Ik verdeel die onder mijn drie vriendinnen. Welk deel vd snoepveter krijgt
ieder? > geeft aanleiding tot voorstelling op getallenas of strookmodel
- Bv. jan brengt ¾ van een pizza mee naar school. Hij verdeelt dit over zijn 4 vrienden. Welk deel van de pizza krijgt
ieder? > geeft aanleiding om schematisch voor te stellen op een cirkel
Afhankelijk vd bewerking kan een specifiek model het ontdekken van de wetmatigheid (regel) meer of minder
ondersteunen.
Betekenisvolle situaties geven de kans om het probleem ivm het breukaspect ‘breuk als een rationaal getal’ aan te
kaarten. Wanneer je de verschillende breuken voorstelt op een tekening is het nodig dat het geheel hetzelfde is.
EERST INZICHTEN OPBOUWEN EN DAN PAS INOEFENEN
Vanuit inzichten bouw je redeneringen op die resulteren in rekenregels. Die oefen je verder in tot ze parate kennis worden.
Het inoefenen van rekenregels is een technisch aspect waarbij lln veel oefenen.
Essentieel is het opbouwen van inzichten. Het automatiseren is een fase die nodig is om ruimte te creëren om later
nieuwe inzichten te kunnen opdoen.
- Lln leren inzichten opdoen
- Vanuit die inzichten kunnen ze rekenregels gemakkelijker automatiseren + bij vergeten v regel kunnen ze de regel
sneller reconstrueren
- In toepassingen kunnen ze op inzicht terugvallen om context naar wiskunde te vertalen
- Begrijpen wat je inoefent + waarom motiveert.
ONDERSTEUNING VH ABSTRACTIEPROCES
We ondersteunen het abstractieproces, waarbij je tot een abstracte rekenregel komt, zo goed mogelijk. Om regels te
ontdekken bouw je een logische redenering op. Als ondersteuning CSA-model. Maar je moet hier zorgvuldig mee omgaan.
- Soms leidt schematische voorstelling niet tot het ontdekken van een regel
- Bij concreet werken gaat overzicht over het geheel vaak verloren als je materiaal wegneemt of toevoegt. In derde
graad zijn ze vaardig genoeg om met schematische voorstellingen te werken.
- Belangrijk aandachtspunt: rekenhandeling ondersteunen
