MATEMATICAS AYUDA

Matemáticas. Primer curso. Facultad de Turismo y Finanzas 1


TEMA 4: FUNCIONES REALES DE n VARIABLES
Tradicionalmente el estudio de los fenómenos económicos se ha realizado por medio de
las funciones reales de variable real. Sin embargo, la relación representada por este tipo
de funciones no basta para explicar el comportamiento de ciertos fenómenos, ya que la
descripción de la mayoría de las situaciones económicas reales requiere considerar
varias variables de manera simultánea.

Este tema se dedica al estudio de las funciones de varias variables reales, objeto
principal del análisis matemático.


Ejemplo económico 1. Cuando se invierte una cantidad de dinero a una tasa de interés
anual, el capital que se obtiene al final de la inversión (C) depende del tanto de interés
(r) y del tiempo que ha durado la inversión medido en años (t) y decimos que C es
función de r y t, C(r ,t).
a) Si invertimos 1000 euros al r % de interés simple anual durante un periodo de t
años, la cantidad que se obtiene es:

C (r , t ) = 1000 + 1000  r  t
b) Si invertimos 1000 euros al r % de interés compuesto anual durante un periodo
de t años, la cantidad que se obtiene es:

C (r , t ) = 1000 (1 + r ) t


4-1. Funciones reales de n variables. Dominio. Curvas de nivel. Continuidad de
funciones. Propiedades.

Definición.- Una función real de n variables reales es una aplicación
f : D  R n → R tal que a cada vector x = ( x1 , x 2 ,..., x n )  D le hace corresponder el
número real f ( x1 , x2 ,..., xn ) .
El conjunto D en el que está definida la función se llama dominio o campo de
definición de la función. El conjunto formado por todos los números reales
correspondientes a los valores de la función en los distintos puntos de D se llama
rango o recorrido de la función.


Ejemplo 2.
Sea la función f : D  R 2 → R definida de la forma:
f ( x, y ) = 9 − x 2 − y 2
Esta función está definida para ( x, y )  R 2 tales que 9 − x 2 − y 2  0 , o lo que es igual
x2 + y2  9 .
D = ( x, y )  R 2 / f ( x, y )  R = ( x, y )  R 2 / x 2 + y 2  9

El rango de f es el conjunto [0,3] ya que ( x, y )  D, 0  9 − x 2 − y 2  3

,2 Economía Aplicada III



Ejemplo económico 3.

La función que representa la cantidad total obtenida cuando se invierten 1000 euros
a una tasa de interés compuesto
C (r , t ) = 1000 (1 + r ) t
es una función real de dos variables reales. Si la tasa de interés está entre 0% y
100%, entonces el dominio es
D = (r , t )  R  r  1, t  0

El rango de la función es el intervalo ya que se puede obtener cualquier
cantidad total manteniendo la inversión un tiempo suficientemente grande.


Ejemplo económico 4.

La función de producción de una empresa viene dada por la expresión
Q( K , L) = K L , donde K representa el capital invertido y L representa el
factor trabajo. El dominio de la función de producción es
D = ( K , L)  R 2 / K  0, L  0

El rango de la función es el intervalo 0, + ) .


Operaciones con funciones (álgebra y composición de funciones).
Sean las funciones f , g : D  R n → R
a) f y g son iguales, f  g , si x  D, f ( x ) = g ( x ) .

b) La función suma de f y g es
f + g : D  R n → R, ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ), x  D

c) La función producto de f y g es
f  g : D  R n → R, ( f  g )( x ) = f ( x )  g (x ), x  D

d) La función producto de f por un escalar   R , es
f : D  R n → R, (f )(x ) = f (x ), x  D
e) La función cociente de f y g es
f / g : D  R n → R , ( f / g )(x ) = f ( x ) / g (x ), x  D / g ( x )  0

Dadas las funciones f : D  R n → R , g : S  R → R , con f (D )  S
f) La función compuesta g  f es
g o f : D  R n → R, (g o f )(x ) = g ( f (x )), x  D

, Matemáticas. Primer curso. Facultad de Turismo y Finanzas 3




Ejemplo 5.
f
Calcule, cuando sea posible, f + g , 5 f , f  g , , g f
g
f ( x, y ) = x 3 − 2 y , g ( x, y ) = e x + y2
2
a)

f + g : R 2 → R, ( f + g )(x, y ) = f (x, y ) + g (x, y ) = x 3 − 2 y + e x + y2
2




5 f : R 2 → R, (5 f )( x, y ) = 5 f ( x, y ) = 5( x 3 − 2 y )

f  g : R 2 → R, ( f  g )(x, y ) = f (x, y )  g (x, y ) = ( x 3 − 2 y )e x + y2
2




f ( x, y ) x 3 − 2 y
f
: R → R,
2 f
( x, y ) = = x2 + y2
g g g ( x, y ) e

La función g  f no está definida, ya que f : R 2 → R y g : R 2 → R .

b) f ( x, y ) = x 2 − 3 xy , g ( x ) = e x − x 2
f
Para las funciones f y g no están definidas las operaciones f + g , f  g , , ya
g
que f es una función real de dos variables reales, f : R 2 → R , y g es una función
real de una variable, g : R → R .
5 f : R 2 → R , (5 f )( x, y ) = 5 f ( x, y ) = 5( x 2 − 3xy )
(
g  f : R 2 → R , (g  f )(x , y ) = g ( f (x , y )) = g x 2 − 3xy = e x ) 2 −3 xy
(
− x 2 − 3xy )
2




Representaciones gráficas

Una función de dos variables se puede representar en un espacio tridimensional. Los
valores de las variables independientes se representan en dos de los ejes y la variable
dependiente se representa en el otro eje.

f ( x, y ) = ( x + 3) 2 + ( y − 1) 2 f ( x, y ) = e − ( x + y2 ) / 2
2