Examen final. Convocatoria ordinaria de mayo. Matemáticas II. Curso 2023/24
EXAMEN FINAL. CONVOCATORIA ORDINARIA DE MAYO.
Curso 2023/24
MATERIA 29/04/2024
MATEMÁTICAS II
INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN
No se permite el uso de calculadoras con capacidad de representación gráfica.
PUNTUACIÓN: La calificación máxima de cada ejercicio se indica en el encabezamiento del mismo. Sólo se puntuarán
los ejercicios debidamente justificados.
Bloque de GEOMETRÍA. Deben elegirse dos de los tres ejercicios propuestos para este bloque. Si
se resuelven los tres, se puntuarán sólo los que tengan la nota más baja.
Ejercicio 1.-. Calificación máxima: 2 puntos
Sean la recta r x + 2 = y = z − 2 y el plano x − z + 2 = 0 .
a) (1 punto) Determinar la recta s que es simétrica de r respecto del plano .
b) (1 punto) Calcular la distancia entre la recta r y el plano .
Ejercicio 2.-. Calificación máxima: 2 puntos
x = 2−
Sean el punto P ( 1,2, − 2 ) y la recta r y = 1 + .
z = 2
a) (1 punto) Determinar la ecuación de la recta s que es perpendicular a r y pasa por el punto P.
b) (1 punto) Hallar la proyección de r sobre el plano x − 2 y + z = 0 .
Ejercicio 3.- Calificación máxima: 2 puntos
y −1
Sean la recta r x = = z + 2 y el plano 2x − y + z = 1 , se pide:
2
a) (1 punto) Averiguar los puntos de r que están a una distancia 6 del plano .
b) (1 punto) Calcular el volumen del tetraedro formado por el origen de coordenadas y los puntos
de corte del plano con la recta r y con los ejes OY y OZ.
Bloque de ANÁLISIS. Debe elegirse uno de los dos ejercicios propuestos para este bloque. Si se
resuelven los dos, se puntuará sólo el que tenga la nota más baja.
Ejercicio 4.- Calificación máxima: 2 puntos
a) (1 punto) Dada la función f ( x ) = x ln x − x , calcular la ecuación de la recta tangente a su
gráfica que sea además paralela a la recta y = 3 .
b) (1 punto) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la parábola y = x 2 y las rectas
y=4 e y=9.
Departamento de Matemáticas. IES Joan Miró. San Sebastián de los Reyes.
, Examen final. Convocatoria ordinaria de mayo. Matemáticas II. Curso 2023/24
Ejercicio 5.- Calificación máxima: 2 puntos
x
a) (1 punto) Dada la función f ( x ) = , averiguar su dominio de definición, sus intervalos de
2−x
crecimiento y decrecimiento, y sus posibles extremos relativos.
e
b) (1 punto) Calcular 1
x 2 ln x dx .
Bloque de ÁLGEBRA. Debe elegirse uno de los dos ejercicios propuestos para este bloque. Si se
resuelven los dos, se puntuará sólo el que tenga la nota más baja.
Ejercicio 6.-. Calificación máxima: 2 puntos
2x + ay + az = 4
Dado el siguiente sistema de ecuaciones dependiente del parámetro a: − x + ay + z = a ,
x + y + az = 3
a) (1,5 puntos) Discutir el sistema en función de los valores del parámetro a.
b) (0,5 puntos) Resolver el sistema en el caso a = − 3 .
Ejercicio 7.-. Calificación máxima: 2 puntos
m+1 3 3
2 m 2
Sean la matriz A = .
1 1 1
m m m
a) (1 punto) Estudiar su rango en función del parámetro m.
b) (1 punto) Para m = 0 , calcular la matriz inversa de la formada por las 3 primeras filas de A.
Bloque de PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA. Debe elegirse uno de los dos ejercicios
propuestos para este bloque. Si se resuelven los dos, se puntuará sólo el que tenga la nota más baja.
Ejercicio 8.-. Calificación máxima: 2 puntos
Supongamos que los estudiantes del IES Joan Miró sólo tienen dos sistemas operativos en sus
teléfonos móviles: Android o iOS. Supongamos también que el 80% de los estudiantes tienen
Android y el 25% de las chicas del instituto tienen iOS en su teléfono móvil. El 45% de los
estudiantes del instituto son chicos y todos los estudiantes del instituto tienen teléfono móvil.
a) (0,75 puntos) Hallar la probabilidad de que un chico del IES tenga iOS en su teléfono.
b) (0,75 puntos) Hallar la probabilidad de que un estudiante que tenga Android en su teléfono
resulte ser chica.
c) (0,5 puntos) Calcular la probabilidad de que un estudiante del IES resulte ser chica con un
sistema iOS.
Ejercicio 9.-. Calificación máxima: 2 puntos
Un examen tipo test consta de 12 preguntas con cuatro respuestas posibles para cada pregunta de
las que solamente una es correcta. Como no tengo ni idea, decido responder a todas las preguntas
al azar.
a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de acertar al menos 4 preguntas?
b) (1 punto) En un examen como el anterior, pero con 150 preguntas, ¿cuál sería la probabilidad
de acertar menos de 30 preguntas?
Departamento de Matemáticas. IES Joan Miró. San Sebastián de los Reyes.
EXAMEN FINAL. CONVOCATORIA ORDINARIA DE MAYO.
Curso 2023/24
MATERIA 29/04/2024
MATEMÁTICAS II
INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN
No se permite el uso de calculadoras con capacidad de representación gráfica.
PUNTUACIÓN: La calificación máxima de cada ejercicio se indica en el encabezamiento del mismo. Sólo se puntuarán
los ejercicios debidamente justificados.
Bloque de GEOMETRÍA. Deben elegirse dos de los tres ejercicios propuestos para este bloque. Si
se resuelven los tres, se puntuarán sólo los que tengan la nota más baja.
Ejercicio 1.-. Calificación máxima: 2 puntos
Sean la recta r x + 2 = y = z − 2 y el plano x − z + 2 = 0 .
a) (1 punto) Determinar la recta s que es simétrica de r respecto del plano .
b) (1 punto) Calcular la distancia entre la recta r y el plano .
Ejercicio 2.-. Calificación máxima: 2 puntos
x = 2−
Sean el punto P ( 1,2, − 2 ) y la recta r y = 1 + .
z = 2
a) (1 punto) Determinar la ecuación de la recta s que es perpendicular a r y pasa por el punto P.
b) (1 punto) Hallar la proyección de r sobre el plano x − 2 y + z = 0 .
Ejercicio 3.- Calificación máxima: 2 puntos
y −1
Sean la recta r x = = z + 2 y el plano 2x − y + z = 1 , se pide:
2
a) (1 punto) Averiguar los puntos de r que están a una distancia 6 del plano .
b) (1 punto) Calcular el volumen del tetraedro formado por el origen de coordenadas y los puntos
de corte del plano con la recta r y con los ejes OY y OZ.
Bloque de ANÁLISIS. Debe elegirse uno de los dos ejercicios propuestos para este bloque. Si se
resuelven los dos, se puntuará sólo el que tenga la nota más baja.
Ejercicio 4.- Calificación máxima: 2 puntos
a) (1 punto) Dada la función f ( x ) = x ln x − x , calcular la ecuación de la recta tangente a su
gráfica que sea además paralela a la recta y = 3 .
b) (1 punto) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la parábola y = x 2 y las rectas
y=4 e y=9.
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Ejercicio 5.- Calificación máxima: 2 puntos
x
a) (1 punto) Dada la función f ( x ) = , averiguar su dominio de definición, sus intervalos de
2−x
crecimiento y decrecimiento, y sus posibles extremos relativos.
e
b) (1 punto) Calcular 1
x 2 ln x dx .
Bloque de ÁLGEBRA. Debe elegirse uno de los dos ejercicios propuestos para este bloque. Si se
resuelven los dos, se puntuará sólo el que tenga la nota más baja.
Ejercicio 6.-. Calificación máxima: 2 puntos
2x + ay + az = 4
Dado el siguiente sistema de ecuaciones dependiente del parámetro a: − x + ay + z = a ,
x + y + az = 3
a) (1,5 puntos) Discutir el sistema en función de los valores del parámetro a.
b) (0,5 puntos) Resolver el sistema en el caso a = − 3 .
Ejercicio 7.-. Calificación máxima: 2 puntos
m+1 3 3
2 m 2
Sean la matriz A = .
1 1 1
m m m
a) (1 punto) Estudiar su rango en función del parámetro m.
b) (1 punto) Para m = 0 , calcular la matriz inversa de la formada por las 3 primeras filas de A.
Bloque de PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA. Debe elegirse uno de los dos ejercicios
propuestos para este bloque. Si se resuelven los dos, se puntuará sólo el que tenga la nota más baja.
Ejercicio 8.-. Calificación máxima: 2 puntos
Supongamos que los estudiantes del IES Joan Miró sólo tienen dos sistemas operativos en sus
teléfonos móviles: Android o iOS. Supongamos también que el 80% de los estudiantes tienen
Android y el 25% de las chicas del instituto tienen iOS en su teléfono móvil. El 45% de los
estudiantes del instituto son chicos y todos los estudiantes del instituto tienen teléfono móvil.
a) (0,75 puntos) Hallar la probabilidad de que un chico del IES tenga iOS en su teléfono.
b) (0,75 puntos) Hallar la probabilidad de que un estudiante que tenga Android en su teléfono
resulte ser chica.
c) (0,5 puntos) Calcular la probabilidad de que un estudiante del IES resulte ser chica con un
sistema iOS.
Ejercicio 9.-. Calificación máxima: 2 puntos
Un examen tipo test consta de 12 preguntas con cuatro respuestas posibles para cada pregunta de
las que solamente una es correcta. Como no tengo ni idea, decido responder a todas las preguntas
al azar.
a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de acertar al menos 4 preguntas?
b) (1 punto) En un examen como el anterior, pero con 150 preguntas, ¿cuál sería la probabilidad
de acertar menos de 30 preguntas?
Departamento de Matemáticas. IES Joan Miró. San Sebastián de los Reyes.
