MATEMÁTICAS
ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 25 AÑOS
POLINOMIOS
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, MATEMÁTICAS
ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 25 AÑOS
UNIDAD I: POLINOMIOS
En esta unidad se estudian en general, los polinomios en una variable. En particular,
las operaciones con polinomios. Especialmente, se estudia el caso de la división de los
polinomios entre el binomio (x-a), la regla de Ruffini y la factorización de polinomios.
Seguidamente, en esta unidad didáctica describimos el proceso general de resolución
de las ecuaciones polinómicas de primer, segundo y tercer grado. La unidad termina
con la realización de distintos ejercicios y problemas de aplicación sobre el tema.
1) Introducción: Conjuntos numéricos y expresiones algebraicas
El concepto de número es tan antiguo o más que las propias Matemáticas. El sistema
numérico tal cual lo conocemos hoy en día es el resultado de una evolución gradual. El
primer conjunto numérico del que se tiene conocimiento es el de los
números Naturales N=
1,2,3,, utilizados para contar y, que no siempre se han
representado con los mismos símbolos. Por ejemplo, los romanos utilizaban los símbolos
I, II, III, IV, .... La operación suma a+b y producto a b de dos números
naturales a y b son también números naturales, es decir, dichas operaciones son cerradas
en el conjunto de los números naturales. Sin embargo, para poder resolver ecuaciones de
la forma x+a=b con a y b números naturales necesitamos ampliar dicho conjunto,
introduciendo los llamados números enteros negativos −1,−2,−3,y el cero obteniendo
así, la solución de la ecuación anterior como x = b - a.
Al conjunto de lo números naturales o enteros positivos, enteros negativos y el cero se les
denomina conjunto de números enteros y los denotamos por . Las operaciones suma
y producto de números enteros también son operaciones internas.
a
Por otra parte, necesitamos introducir los números racionales o fracciones a y b son
b
números enteros cualesquiera con b 0 que nos permiten resolver ecuaciones de la
forma ax = b. El conjunto de los números racionales normalmente se denota por Q. Dicho
conjunto también es cerrado respecto de las operaciones suma y producto. La medida de
magnitudes plantea problemas para cuya solución los números racionales tampoco son
suficientes. Por ejemplo: La resolución del problema, planteado por los griegos, de buscar
el lado del cuadrado que tuviera el doble de área que el cuadrado de lado unidad, precisa
de la resolución de la ecuación x = 2 , cuya solución sabemos que es x = 2 .
2
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A los números, que al igual que 2 , es decir, que no son racionales, o lo que es
m
equivalente, que no podemos representarlos de la forma con m y n números enteros,
n
se les llama números irracionales.
Al conjunto de los números racionales e irracionales se le denomina conjunto de los
números reales y, normalmente los denotamos por . Las operaciones suma y producto
de números reales también son operaciones cerradas. Los números reales pueden
representarse por puntos de una recta, llamada eje real. Recíprocamente, para cada
punto situado sobre la recta hay uno y sólo un número real. El punto correspondiente al
cero se llama origen. Si un punto B sobre la recta correspondiente a un número real b
está situado a la izquierda de un punto C representado por un número real c, decimos que
b es menor que c y lo denotamos por b < c ó c > b y que cumple las siguientes
propiedades:
• Se verifica una y sólo una de las relaciones b = c, b < c, b > c
• bc
b+dc+dpara todo d .
• b > 0 y c >0 b c 0
Es decir, el conjunto es un conjunto totalmente ordenado. Sin embargo, las ecuaciones
polinómicas como x +1 = 0 no tienen solución en . Para resolver este tipo de
2
ecuaciones tenemos que introducir los números complejos, los cuales de momento no van
a ser motivo de estudio.
Por otra parte, en esta breve introducción a los diferentes conjuntos numéricos nos han
aparecido expresiones en las que se utilizan letras, números y signos de operaciones.
Una expresión de este tipo recibe el nombre de expresión algebraica. Por ejemplo, para
expresar el valor del perímetro y del área de un terreno rectangular.
Si suponemos que mide "x" metros de largo e "y" metros de ancho, obtendremos:
Perímetro: 2x + 2y ; Area: xy. Ambas son expresiones algebraicas (recuérdese que el
signo de la multiplicación acostumbra a no ponerse). Si en una expresión algebráica se
sustituyen las letras por número y se realiza la operación indicada se obtiene un número
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En esta unidad se estudian en general, los polinomios en una variable. En particular,
las operaciones con polinomios. Especialmente, se estudia el caso de la división de los
polinomios entre el binomio (x-a), la regla de Ruffini y la factorización de polinomios.
Seguidamente, en esta unidad didáctica describimos el proceso general de resolución
de las ecuaciones polinómicas de primer, segundo y tercer grado. La unidad termina
con la realización de distintos ejercicios y problemas de aplicación sobre el tema.
1) Introducción: Conjuntos numéricos y expresiones algebraicas
El concepto de número es tan antiguo o más que las propias Matemáticas. El sistema
numérico tal cual lo conocemos hoy en día es el resultado de una evolución gradual. El
primer conjunto numérico del que se tiene conocimiento es el de los
números Naturales N=
1,2,3,, utilizados para contar y, que no siempre se han
representado con los mismos símbolos. Por ejemplo, los romanos utilizaban los símbolos
I, II, III, IV, .... La operación suma a+b y producto a b de dos números
naturales a y b son también números naturales, es decir, dichas operaciones son cerradas
en el conjunto de los números naturales. Sin embargo, para poder resolver ecuaciones de
la forma x+a=b con a y b números naturales necesitamos ampliar dicho conjunto,
introduciendo los llamados números enteros negativos −1,−2,−3,y el cero obteniendo
así, la solución de la ecuación anterior como x = b - a.
Al conjunto de lo números naturales o enteros positivos, enteros negativos y el cero se les
denomina conjunto de números enteros y los denotamos por . Las operaciones suma
y producto de números enteros también son operaciones internas.
a
Por otra parte, necesitamos introducir los números racionales o fracciones a y b son
b
números enteros cualesquiera con b 0 que nos permiten resolver ecuaciones de la
forma ax = b. El conjunto de los números racionales normalmente se denota por Q. Dicho
conjunto también es cerrado respecto de las operaciones suma y producto. La medida de
magnitudes plantea problemas para cuya solución los números racionales tampoco son
suficientes. Por ejemplo: La resolución del problema, planteado por los griegos, de buscar
el lado del cuadrado que tuviera el doble de área que el cuadrado de lado unidad, precisa
de la resolución de la ecuación x = 2 , cuya solución sabemos que es x = 2 .
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m
equivalente, que no podemos representarlos de la forma con m y n números enteros,
n
se les llama números irracionales.
Al conjunto de los números racionales e irracionales se le denomina conjunto de los
números reales y, normalmente los denotamos por . Las operaciones suma y producto
de números reales también son operaciones cerradas. Los números reales pueden
representarse por puntos de una recta, llamada eje real. Recíprocamente, para cada
punto situado sobre la recta hay uno y sólo un número real. El punto correspondiente al
cero se llama origen. Si un punto B sobre la recta correspondiente a un número real b
está situado a la izquierda de un punto C representado por un número real c, decimos que
b es menor que c y lo denotamos por b < c ó c > b y que cumple las siguientes
propiedades:
• Se verifica una y sólo una de las relaciones b = c, b < c, b > c
• bc
b+dc+dpara todo d .
• b > 0 y c >0 b c 0
Es decir, el conjunto es un conjunto totalmente ordenado. Sin embargo, las ecuaciones
polinómicas como x +1 = 0 no tienen solución en . Para resolver este tipo de
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ecuaciones tenemos que introducir los números complejos, los cuales de momento no van
a ser motivo de estudio.
Por otra parte, en esta breve introducción a los diferentes conjuntos numéricos nos han
aparecido expresiones en las que se utilizan letras, números y signos de operaciones.
Una expresión de este tipo recibe el nombre de expresión algebraica. Por ejemplo, para
expresar el valor del perímetro y del área de un terreno rectangular.
Si suponemos que mide "x" metros de largo e "y" metros de ancho, obtendremos:
Perímetro: 2x + 2y ; Area: xy. Ambas son expresiones algebraicas (recuérdese que el
signo de la multiplicación acostumbra a no ponerse). Si en una expresión algebráica se
sustituyen las letras por número y se realiza la operación indicada se obtiene un número
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