Sumario Metodo Practico para Analizar la Derivada de una funcion con derivadas laterales.

Método práctico para analizar 𝑓′(𝑎) con derivadas laterales:

𝑔(𝑥) ,𝑥 <𝑎
Dada ƒ( 𝑥) = {ℎ(𝑥) ,𝑥 ≥𝑎
Existe la derivada de ƒ en el punto 𝑥 = 𝑎, si se cumplen las siguientes condiciones:

 ƒ es continua en 𝑥 = 𝑎.
′ ′ ′ ′
 Las derivadas laterales ƒ (𝑎) = ƒ (𝑎) , done: ƒ (𝑎) = 𝑔′(𝑎) , ƒ (𝑎) = ℎ′(𝑎)
− + − +

Ejemplo 1

Dada ƒ 2
3𝑥 + 1
(𝑥) = { + 5𝑥
𝑥 ,𝑥 < 1
,𝑥 ≥1 . Calcule ƒ
′
(1) , si existe.
Resolución.

 ƒ es continua en 𝑥 = 1.



 ƒ′−(1) = (𝑥2 + 3𝑥 + 1)′|𝑥=1 = (2𝑥 + 3)|𝑥=1 = 5

 ƒ′+(1) = (5𝑥)′|𝑥=1 = (5)|𝑥=1 = 5



Por lo tanto ƒ′(1) = 5.

, Ejemplo 2

Dada ƒ 𝑥2 + 2 ,𝑥 ≤ 4
(𝑥) = { . Calcule ƒ′(4) (si existe).
2
𝑥 −1 ,𝑥 > 4
Resolución.

Claramente 𝑓 no es continua en 𝗑 = 4, luego NO existe 𝑓′(4).



Nota de ERROR DE SOLUCIÓN.

Si un alumno analiza la derivada ƒ′(4) con las derivadas laterales empleadas en el método práctico, va
obtener que ellas son iguales a 8 y por lo tanto concluye que Existe ƒ′(4) = 8

Ejemplo
3𝑥 + 1
ƒ(𝑥) = {𝑥2 + 1 , 𝑥>0
5𝑥 + 1 , 𝑥≤0
Calcule ƒ′(0) (en caso exista)

Resolución

 ƒ es continua en 𝑥 = 0.
 Estudiemos las derivadas laterales (usando el método práctico)
 ƒ′(0) = 5 ; ƒ′(0) = 3 (son diferentes)
− +

No existe la derivada en 𝑥 = 0.