Álgebra Lineal
Pedro M. González Manchón
1
Madrid, 28 de octubre de 2015.
1
Estos apuntes se han venido elaborando a lo largo de los últimos cursos académicos para la asignatura Álgebra Lineal.
,
,Índice general
1. Cálculo matricial 1
1.1. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2. Espacios vectoriales y aplicaciones lineales 25
2.1. Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2. Aplicaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3. Semejanza de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4. Matrices y aplicaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3. Semejanza y diagonalización de matrices 55
3.1. Autovalores y autovectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2. El problema de la diagonalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3. El caso diagonalizable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4. El caso no diagonalizable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.5. Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.6. La matriz exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4. Espacio vectorial euclı́deo y transformaciones ortogonales 81
4.1. Espacio vectorial euclı́deo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2. Congruencia y matrices de Gram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3. Proyección ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3.1. Método de los mı́nimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.4. Matrices ortogonales y diagonalización de matrices simétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.5. Transformaciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
A. Anexos 97
A.1. Álgebra lineal y cálculo diferencial en varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
A.2. Otras aplicaciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
i
, ii ÍNDICE GENERAL
Pedro M. González Manchón
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Madrid, 28 de octubre de 2015.
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Estos apuntes se han venido elaborando a lo largo de los últimos cursos académicos para la asignatura Álgebra Lineal.
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,Índice general
1. Cálculo matricial 1
1.1. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2. Espacios vectoriales y aplicaciones lineales 25
2.1. Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2. Aplicaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3. Semejanza de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4. Matrices y aplicaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3. Semejanza y diagonalización de matrices 55
3.1. Autovalores y autovectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2. El problema de la diagonalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3. El caso diagonalizable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4. El caso no diagonalizable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.5. Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.6. La matriz exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4. Espacio vectorial euclı́deo y transformaciones ortogonales 81
4.1. Espacio vectorial euclı́deo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2. Congruencia y matrices de Gram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3. Proyección ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3.1. Método de los mı́nimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.4. Matrices ortogonales y diagonalización de matrices simétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.5. Transformaciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
A. Anexos 97
A.1. Álgebra lineal y cálculo diferencial en varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
A.2. Otras aplicaciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
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