ECUACIÓN GENERAL DE LAS CÓNICAS
Para obtener la ecuación general de la circunferencia debemos desarrollar los binomios
al cuadrado:
𝑥 2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 + 𝑦 2 − 2𝑏𝑦 + 𝑏 2 = 𝑟 2
Luego reagrupamos los términos de la siguiente manera:
𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑎2 + 𝑏 2 − 𝑟 2 = 0
Consideramos los siguientes cambios:
𝐴 = −2𝑎 𝐵 = −2𝑏 𝐶 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 𝑟 2
Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia se puede escribir de la siguiente manera:
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
Para obtener la llamada forma general de la ecuación de la elipse, se desarrollan los
cuadrados indicados en la forma ordinaria y reagrupando algunos términos.
Para la elipse horizontal con centro 𝐶(ℎ, 𝑘)
(𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2
+ =1
𝑎2 𝑏2
Efectuando un proceso algebraico en el que eliminamos los denominadores,
desarrollamos los binomios al cuadrado, agrupamos términos semejantes e igualamos a
cero, obtenemos la ecuación:
𝑏 2 𝑥 2 + 𝑎2 𝑦 2 − 2𝑏 2 ℎ𝑥 − 2𝑎2 𝑘𝑦 + 𝑏 2 ℎ2 + 𝑎2 𝑘 2 − 𝑎2 𝑏 2 = 0
En la que podemos renombrar los coeficientes constantes y expresarla así:
𝐴𝑥 2 + 𝐶𝑦 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0, que es la buscada ecuación general de una elipse
horizontal con el centro 𝐶(ℎ, 𝑘).
Para la elipse vertical con centro 𝐶(ℎ, 𝑘)
(𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2
+ =1
𝑏2 𝑎2
Siguiendo el mismo proceso algebraico que para la elipse horizontal, llegamos a la
ecuación:
𝑎2 𝑥 2 + 𝑏 2 𝑦 2 − 2𝑎2 ℎ𝑥 − 2𝑏 2 𝑘𝑦 + 𝑎2 ℎ2 + 𝑏 2 𝑘 2 − 𝑎2 𝑏 2 = 0
En la que podemos renombrar los coeficientes constantes y expresarla así:
Para obtener la ecuación general de la circunferencia debemos desarrollar los binomios
al cuadrado:
𝑥 2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 + 𝑦 2 − 2𝑏𝑦 + 𝑏 2 = 𝑟 2
Luego reagrupamos los términos de la siguiente manera:
𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑎2 + 𝑏 2 − 𝑟 2 = 0
Consideramos los siguientes cambios:
𝐴 = −2𝑎 𝐵 = −2𝑏 𝐶 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 𝑟 2
Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia se puede escribir de la siguiente manera:
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
Para obtener la llamada forma general de la ecuación de la elipse, se desarrollan los
cuadrados indicados en la forma ordinaria y reagrupando algunos términos.
Para la elipse horizontal con centro 𝐶(ℎ, 𝑘)
(𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2
+ =1
𝑎2 𝑏2
Efectuando un proceso algebraico en el que eliminamos los denominadores,
desarrollamos los binomios al cuadrado, agrupamos términos semejantes e igualamos a
cero, obtenemos la ecuación:
𝑏 2 𝑥 2 + 𝑎2 𝑦 2 − 2𝑏 2 ℎ𝑥 − 2𝑎2 𝑘𝑦 + 𝑏 2 ℎ2 + 𝑎2 𝑘 2 − 𝑎2 𝑏 2 = 0
En la que podemos renombrar los coeficientes constantes y expresarla así:
𝐴𝑥 2 + 𝐶𝑦 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0, que es la buscada ecuación general de una elipse
horizontal con el centro 𝐶(ℎ, 𝑘).
Para la elipse vertical con centro 𝐶(ℎ, 𝑘)
(𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2
+ =1
𝑏2 𝑎2
Siguiendo el mismo proceso algebraico que para la elipse horizontal, llegamos a la
ecuación:
𝑎2 𝑥 2 + 𝑏 2 𝑦 2 − 2𝑎2 ℎ𝑥 − 2𝑏 2 𝑘𝑦 + 𝑎2 ℎ2 + 𝑏 2 𝑘 2 − 𝑎2 𝑏 2 = 0
En la que podemos renombrar los coeficientes constantes y expresarla así:
