Samenvatting Wiskundige Methoden I (Calculus)

MOHAMED LAH AA FYSICA BAI
SAMENVATTING WISKUNDIGE METHODEN VOOR DE FYSICA I ( CALCULUS )
HOOFDSTUK (I) LIMIETEN EN CONTINUÏTEIT IN EEN PUNT :

DEFINITIE :


Z f :D → IR EEN FUNCTIE MET DOMEIN D, EN BESCHOUW QE D. DE FUNCTIE IS CONTINU IN Q ALS EN SLECHTS ALS : y
n >


( HE > 0) ( 75 > 0) ( H ✗ C- D) ( IX -
al < S | 5-( x ) -
5- (a) < E ) „ a) + { is • Y = -5(×)

5- ( a) -0




|
5-(a) EN-

°


DE FUNCTIE -5 IS DAARAANTEGEN DISCONTINU IN Q ALS EN SLECHTS Als :

( 7E > 0) (VS > 0) (2x c- D) ( 1×-01<8 EN lfcx) 5- (a) 1-
≥ E)
>
a ;] ;[ ÷, ×

VOORBEELDEN :

1) TOON AAN DAT DE FUNCTIE 5- (x ) = 2X -
3 CONTINU IS IN ✗ = 4 .




GEG : 5- (x) = 2×-3 ,
✗ = 4 E>0
,


GEV : S = ?

/ 2×-3-51=12×-81--21×-41 8=
OPL Ifcx) 5- (4) 1 28 E 28 Ez ☒
: -
= < =




2) TOON AAN DAT ✗ t> Mxtb CONTINU IS IN ALLE QEIR .




1m18
lf (x) 5- (a) 1 bl IMX mal 1m11 al E. = 1m18 S
§ ☒
- = 1m ✗ + b- MQ -
= - = ✗ -
< =

,



2
3) GEBRUIK DE ( E ) S) DEFINITIE OM AAN TE TONEN DAT - ✗ t> ✗ CONTINU IS IN ALLE QEIR .




lfcx) -
f- (a) 1--1×2-021 = 1×-011×+01 =) 1 ✗ + al = IX -
Q 1- Zal ≤ 1 ✗ -
al 1- 21 QI ( St 2191

< 8 ( St 21011 ) ENKEL + WANT S> 0

Í
" '
821-2101 St E
'

E = 82+210118 ⇐) = 0
f =
-
2101 4012 -
4E =
-
1 al + 02 -
E f = -1011 t 012 -
E ☒
2



4) GEBRUIK DE ( Eis) DEFINITIE OM -
AAN TE TONEN DAT DE FUNCTIE ✗ t> OF CONTINU IS IN [ o, o [ .




Als 01=0 :


lfcx) -
5- (a) 1 = IN 1 = RT < g E= TE S = EZ
ALS Q =/ 0 :




lfcx) -
fca) / = IVI - Tal =
( rx -
ra) ( Atta)
( rx 1- Ta)
= 1 ✗

rxt ra
- al ≤ 1x -




ra
al <
¥ E =

¥ 5- TQE ☒

↳ × ≥0


'
5) GEBRUIK DE ( Eis) DEFINITIE -
OM AAN TE TONEN DAT DE FUNCTIE ✗ t> ✗2+1 CONTINU IS IN HET PUNT Q = 1 .




( V2 ) ( V2 ) ✗21-1
'

|
' '
✗ 21-1 2
/ fcx) f- (a) / = ✗ 2+1 12+1 ✗ 2+1
*
1×2-11 1×-111×+11
-

-
- = -
= ≤ =
'

( V2 ) ✗ 21-1 * V2
'

✗ 2+1 *

E-TÌO Er >0




1×-1+21 ≤ 1×-11+2<8+2 If ( x ) S ( 8+2) 8+25=38
1×+11 = = ) -5 (a) 1 < ≤ g ≤
§
-




EIS SÉI
5- min
{Ç } .
' ☒



6) GEBRUIK DE ( Eis) DEFINITIE OM AAN TE TONEN DAT DE FUNCTIE ✗
-
t> 1×1 CONTINU IS IN ALLE QEIR .




/ 5- (x) -
5- (a) 1=11×1 -
101 / ≤ 1 ✗ -
al <
f 8 = E



EIGENSCHAP :




PAAR HANDIGE EIGENSCHAPPEN DIE JE KAN GEBRUIKEN B ABSOLUTE WAARDES :

(I) / Qbl = 101 Lbl -
(I) / Qtbl ≤ tal + lbl (II) 11011 -
lbl 1 ≤ IQ bl -




STELLING :

ALS f : Df → IR CONTINU IS IN QE Dt EN g :
Dg → IR CONTINU IS IN 5- (a) , EN ALS { tcx ) : ✗ C- Dt } (
Dg ,




DAN IS DE SAMENSTELLING gof :
Df -3112 CONTINU IN Q .




IJ IJ

, STELLING :

BESCHOUW TWEE REËLE FUNCTIES f EN 9 , BEIDEN CONTINU IN QE IR .
DAN GELDT :

( I) ftg ,
f- g EN
-


tg Z N CONTINU IN Q


(I) ALS 9 (a) ≠ 0 DAN IS t/ CONTINU IN Q
, g
(II) If I IS CONTINU IN Q




STELLING :

ALS f CONTINU IS IN QE Df EN -5 (a) =/ 0 DAN BEHOUDT DE FUNCTIE 5- HAAR TEKEN IN EEN OMGEVING VAN Q ( ] a- S, at I [)
,
.




BWS :


( HE > 0) ( 78 > 0) ( Y ✗ C- D) ( 1 ✗ - al < S If (x) -
fca) 1 < E) 0 < 5- (a) -
E < 5- ( x ) ( f ( a) t E


KIES E =
1-25 ( a) >0 : 1 ✗ al- < f 5- (a) -
E =
1-2 5- (a) < f ( x) KIES E. = -


1-2 5- ( a) =
S : 5- (x) ( f (a) + E = 5- (a) t
f¥ =
¥) < 0
↳ POSITIEF

DEFINITIE :


Z f :D -3112 EEN FUNCTIE MET DOMEIN D , EN BESCHOUW QED .
DE FUNCTIE f IS RECHTS CONTINU IN Q ALS EN SLECHTS ALS :


( HE > 0) ( 7s > 0) ( ✗ C- D) ( Q ≤ ✗ < a +8 1 5- (x) -
5- (a) t < E)

DE FUNCTIE 5- IS LINKS CONTINU IN Q ALS EN SLECHTS ALS :

( HE > 0) ( 7s > 0) ( ✗ C- D) ( Q 8 <
-
✗≤ Q lfcx) -
5- (a) t ( E)

STELLING :

EEN FUNCTIE f :D → IR IS CONTINU IN Q C- D ALS EN SLECHTS ALS f LINKS -
EN RECHTSCONTINU IS IN Q .




DEFINITIE :


EEN REËLE FUNCTIE 5- IS BEGRENSD IN EEN DEELVERZAMELING DE Dt VAN HAAR DOMEIN ALS EN SLECHTS ALS ER TWEE REËLE GETALLEN

M EN M BESTAAN ZODANIG DAT
,
: U✗ C- D : m ≤ 5- (x) ≤ M MEN NOEMT M EEN ONDERGRENS EN M EEN BOVENGRENS VOOR 5- IN D .
,




•
CONTINUE FUNCTIES WORDEN NAAR BOVEN EN ONDERBEGRENSD

◦
EENZ DIG CONTINUE FUNCTIES WORDEN SLECHTS EEN VAN BEIDE BEGRENSD

• DISCONTINUE FUNCTIES Z N ONBEGRENSD



STELLING :

INDIEN EEN NIET LEDIGE VERZAMELING AC IR NAAR BOVEN BEGRENSD IS , DAN HEEFT A EEN KLEINSTE
-
BOVENGRENS OF SUPREMUM 7 :




Ha c- A : a ≤
§ VOORBEELD :
{ }
'
SUPCA ) 1
G SUP ( A) A i
j
= ..
=
= , ,
. . .
, , ,
.




{ > 0) (jas c- A) ( G -

E < QS < &


STELLING :

INDIEN EEN NIET LEDIGE VERZAMELING AC IR NAAR
-
ONDER BEGRENSD IS , DAN HEEFT A EEN GROOTSTE ONDERGRENS OF INFIMUM Y :




{
" c- A : " ≥ M VOORBEELD :
y = WE ( A) A =
{ 1 , ± 1-3 ,
,
. . .

, j ,
. ..

} INFCA ) =
0


(HE > 0) ( Jai C- A) ( Mt E > ai ≥
M)



DEFINITIE :


EEN REËLE FUNCTIE f :D → IR IS CONTINU IN D ALS EN SLECHTS ALS DIE CONTINU IS IN ELK PUNT QED VAN HAAR DOMEIN .




ijIJIJ IJ

, STELLING :

INDIEN EEN FUNCTIE f : [ a , b] → IR CONTINU IS IN HET INTERVAL [a , b] , DAN IS f OOK BEGRENSD IN [a , b ] .




BWS :


STAP 1) VERDEEL [al b] IN 10 GEL KE STUKKEN → KIES EEN INTERVAL [Qi ,
b , ] WAAROP fcx) ONBEGRENSD IS .




STAP 2) VERDEEL [Qi , b ,] IN 10 GEL KE STUKKEN → KIES EEN INTERVAL [Qz
, bz] WAAROP f-(x ) ONBEGRENSD IS .




HERHAAL DIT N KEER → ↑ [ Qn , bn] =
{r} MET RE [a , b] ( CANTOR INTERSECTIONTHEOREM) .



n= ,




PER DEFINITIE GELDT : ( HE >0) ( JS >0 ) ( f ✗ C- D) ( r S - (✗( rts 5- ( r ) -
E < -5 (x ) ( 5- ( r ) t E)

DIT WIL ZEGGEN DAT 5- (x ) IS BEGRENSD OP ] f- 8 , rt S [ KIES n C- IN MET [an , bn] ( ] r 8, -
r + JE ,
,




}
DAN : (I ) 5- (x ) ONBEGRENSD IN [Qnibn] 5- (× ) IS BEGRENSD
tegenstr dig ! AANAME VERKEERD .




(I) 5- (x) BEGRENSD IN [an , bn ]



STELLING ( WEIERSTRASS) :

ALS f : [a , b] → IR CONTINU IS , DAN HEEFT -5 OP [a , b ] EEN MAXIMUM EN EEN MINIMUM .




BWS :


VOOR FUNCTIE 5 DIE CONTINU IS IN [aib] BESTAAT ER EEN BOVENGRENS M lfx c- [Qib] : 5- (x ) ≤ M
, .




WE BEWEREN DAT ER EEN CE [a , b] BESTAAT ZODAT 5- ( c) = M .




WE DEFINIEEREN DE FUNCTIE b ] → IR : ✗ H (x) : = M 5- ( x)
g :[
: a,
-

.




- '
CONTINU EN STRIKT POSITIEF ( IRÒ ) , ER GELDT OOK DAT ( 9(x)) CONTINU IS OP [a , b]
g IS BEGRENSD
.

,


ER BESTAAT DUS EEN SUPREMUM BE / R ZODANIG DAT
# m.ly
=
,
≤ 9 ,
ER GELDT OOK : M -
f (x ) ≥
§ M -




§ ≥ 5- (x ) .




WE HEBBEN EEN BOVENGRENS GEVONDEN DIE STRIKT KLEINER IS DAN M , DIT IS IN TEGENSPRAAK ! ER BESTAAT EEN CE [aib] ZODANIG DAT 5- ( c ) = M .




DEFINITIE :


( I) WE NOEMEN EEN FUNCTIE f : ✗ → Y EEN INJECTIE VAN ZODRA AAN ÉÉN VAN DE VOLGENDE VOORWAARDEN VOLDAAN IS :



•
U ✗1 ,
✗ 2 C- ✗ : f(✗ , ) = f- ( ✗ 2 ) ×, = ✗2


•
U ✗1 ,
✗ 2 C- ✗ :
× , ≠ ✗2 f (k ) ≠ 5- (x2 )

BESTAAT ER HOOGSTENS ÉÉN ELEMENT ✗ C- ✗ WAARVOOR GELDT DAT 5- ( x )
VOOR ELK ELEMENT
y EY y
• =
.




( I) WE NOEMEN EEN FUNCTIE f : ✗ → Y EEN SURJECTIE VAN ZODRA AAN ÉÉN VAN VOLGENDE VOORWAARDEN VOLDAAN IS :



•
H c- Y, 3- ✗ C- ✗ : f ( x) =
y
•
f(x) = Y

VOOR ELK ELEMENT BESTAAT ER MINSTENS ÉÉN ELEMENT ✗ C- ✗ WAARVOOR GELDT DAT 5- (x )
y EY y
• =
.




( II) WE NOEMEN EEN FUNCTIE f: ✗ → Y EEN B ECTIE VAN ZODRA AAN ÉÉN VAN VOLGENDE VOORWAARDEN VOLDAAN IS :



•
f IS ZOWEL EEN INJECTIE ALS EEN SURJECTIE

•
H C- Y, 7 ! ✗ C- ✗ : 5 (x ) = y

•
VOOR ELK ELEMENT
y EY BESTAAT ER PERCIES ÉÉN ELEMENT ✗ C- ✗ WAARVOOR GELDT DAT 5- (x ) =
y .




" "
"
. .
.


.
.
.
. .



- _


. . .
.



"
"

, ,
.




INJECTIE SURJECTIE B ECTIE

VOORBEELDEN :

1) DE FUNCTIE ✗t 3×+2 IS EEN INJECTIE 3011-2 = 351-2 =) Q = b f. ( a) = 5- ( b)



2) DE FUNCTIE ✗ t ✗
2
IS GEEN INJECTIE 012 = 5 ☒ = TE ±Q = ±b a = b, a = -
b I


3) DE FUNCTIE f : IR → [ I -

, I] : ✗ t COS ( X) IS GEEN INJECTIE , WANT ELK GETAL 1×1 ≤ 1 HEEFT ONEINDIG VEEL ORGINELEN .




IJ
ijij IJ

ij