Departamento de Análisis Matemático y Matemática Aplicada
GRADO EN INGENIERÍA GEOLÓGICA.
Matemáticas II. Curso 2020-2021
Control 1. 17 de marzo de 2021
1) Resolver la ecuación, indicando de qué tipo es:
(x2 + 1)dy = (y + 1)(x2 + x + 1)dx
Solución:
Ecuación diferencial ordinaria de variables separables.
1 x2 + x + 1
dy = dx
y+1 x2 + 1
Integrando en los dos miembros:
Z
x 1
ln |1 + y| = 1+ 2
dx ⇒ ln |y + 1| = x + ln(x2 + 1) + c1
1+x 2
√
x2 +1
√
x2 +1
√
⇒ eln |1+y| = ex+ln · c2 ⇒ eln |1+y| = ex · eln · c2 ⇒ y = c2 ex x2 + 1 − 1
2) Resolver la ecuación, indicando de qué tipo es y calcular la función que cumple los
valores indicados:
00
y − 2y 0 + y = ex + 4
y(0) = 1
0
y (0) = 1
Solución:
Ecuación lineal de 2o orden, con coeficientes constantes y no homogénea. Su término inde-
pendiente r(x) = ex + 4 es suma de exponencial y polinómica de grado 0.
Resolvemos la homogénea asociada: y 00 − 2y 0 + y = 0
Ecuación característica: λ2 − 2λ + 1 = 0 ⇒ (λ − 1)2 = 0 ⇒ λ = 1 doble.
yh = c1 ex + c2 xex
GRADO EN INGENIERÍA GEOLÓGICA.
Matemáticas II. Curso 2020-2021
Control 1. 17 de marzo de 2021
1) Resolver la ecuación, indicando de qué tipo es:
(x2 + 1)dy = (y + 1)(x2 + x + 1)dx
Solución:
Ecuación diferencial ordinaria de variables separables.
1 x2 + x + 1
dy = dx
y+1 x2 + 1
Integrando en los dos miembros:
Z
x 1
ln |1 + y| = 1+ 2
dx ⇒ ln |y + 1| = x + ln(x2 + 1) + c1
1+x 2
√
x2 +1
√
x2 +1
√
⇒ eln |1+y| = ex+ln · c2 ⇒ eln |1+y| = ex · eln · c2 ⇒ y = c2 ex x2 + 1 − 1
2) Resolver la ecuación, indicando de qué tipo es y calcular la función que cumple los
valores indicados:
00
y − 2y 0 + y = ex + 4
y(0) = 1
0
y (0) = 1
Solución:
Ecuación lineal de 2o orden, con coeficientes constantes y no homogénea. Su término inde-
pendiente r(x) = ex + 4 es suma de exponencial y polinómica de grado 0.
Resolvemos la homogénea asociada: y 00 − 2y 0 + y = 0
Ecuación característica: λ2 − 2λ + 1 = 0 ⇒ (λ − 1)2 = 0 ⇒ λ = 1 doble.
yh = c1 ex + c2 xex
