Schwingungen und Wellen
Mechanische Schwingungen
Beschreibung von Schwingungen
Eine periodische hin- und her Bewegung zwischen zwei Umkehrpunkten um den Ruhepunkt
drum herum. Bei einer ungedämpften Schwingung kann von Reibungsverlusten abgesehen
werden und somit ist die Gesamtenergie der Schwingung zeitlich konstant. Dabei findet
immer eine Energieumwandlung von nur kinetischer Energie am Ruhepunkt zu nur
potenzieller Energie an den Umkehrpunkten statt.
Wichtige Größen
Frequenz 𝒇
!
𝑓 = " ∶ 𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑑𝑒𝑟 𝑆𝑐ℎ𝑤𝑖𝑛𝑔𝑢𝑛𝑔𝑒𝑛 𝑝𝑟𝑜 𝑍𝑒𝑖𝑡𝑒𝑖𝑛ℎ𝑒𝑖𝑡
!
Einheit: 1𝐻𝑧 = 1 #
Kreisfrequenz 𝝎
$%
Es gilt 𝜔 = 2𝜋 ∗ 𝑓 = "
Auslenkung 𝒚
Abstand des Körpers vom Ruhepunkt relativ zu der Zeit, ändert sich im Verlauf. Wird in
Metern angegeben.
Phasenwinkel 𝝋(𝒕)
Legt den Zustand zum Zeitpunkt t fest und wird durch den Term 𝜔 ∗ 𝑡 + 𝜑& .
𝜑& gibt dabei die Phasenkonstante und somit den Anfangszustand(t=0s) an.
Harmonische Schwingung
Eine harmonische Schwingung liegt vor, wenn die Rückstellkraft und Auslenkung zueinander
proportional sind. Dies ist der Fall, wenn ein lineares Kraftgesetz angewendet werden kann.
Dabei gilt: 𝑭 = −𝑫 ∗ 𝒚, diese bestimmt die Rückstellgraft am Ort y dabei ist D die
Federkonstante.
Man kann eine harmonische Schwingung als Sinusfunktion darstellen, somit auch die
Geschwindigkeit und Beschleunigung der harmonischen Schwingung:
𝑦(𝑡) = 𝑦!"# ∗ sin(𝜔) ∗ 𝑡 𝑣(𝑡) = 𝑦′(𝑡) 𝑎(𝑡) = 𝑣′(𝑡) = 𝑦′′(𝑡)
1
,Schwingungssysteme
Feder-Masse-Pendel
Dieses Pendel besteht aus einer Feder (mit einer Federkonstante D) mit einem Gewicht (m)
am Ende. Dabei wirken die Gravitationskraft und die Federkraft gegeneinander.
Periodendauer:
'
𝑇 = 2𝜋 ∗ K (
Potenzielle Energie:
!
𝐸)*+ = $ ∗ 𝐷 ∗ 𝑦 $
Kinetische Energie:
!
𝐸,-. = $ ∗ 𝑚 ∗ 𝑣 $
Fadenpendel
Ein an einem Faden hängender Pendelkörper der Masse m bewegt sich in einer Kreisbahn
um die Ruhelage. Da Kraft und Auslenkungen nicht proportional zueinander sind, kann man
nur bis zu einer Auslegung von ca. 5 grad von einer harmonischen Schwingung sprechen.
Periodendauer:
/
𝑇 = 2𝜋K0
𝒍: 𝑙ä𝑛𝑔𝑒
𝒈: 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠𝑘𝑟𝑎𝑓𝑡
Gedämpfte Schwingung
Alle realen Pendel sind immer einer Reibung, durch Luft, ausgesetzt und diese entzieht dem
System Energie. Also verändert sich die Amplitude im Verlaufe der Zeit.
Erzwungene Schwingung
Wenn ein schwingungsfähiges System (Oszillator) von außen angeregt, so führt es die
Schwingungen in der Frequenz des Erregers aus. So näher die Frequenz dem des Systems
kommt, desto höher wird die übertragene Energie. Bei Resonanz ist die Energieübertragung
maximal.
2
,Resonanz
Anregung und schwingendes System befinden sich in Resonanz, wenn die Erregerfrequenz
und die Eigenfrequenz des Systems gleich sind.
Wird ein schwach gedämpftes System dauerhaft mit seiner Frequenz angeregt, so steigt die
Amplitude immer weiter und der Oszillator wird zerstört. Um dies zu verhindern, muss man
das System möglichst weit dämpfen.
Überlagerung von Schwingungen
Wenn sich zwei harmonische Schwingungen mit der gleichen Frequenz überlagern, ergibt
sich daraus eine neue harmonische Schwingung der gleichen Frequenz.
Schwebung
Als Schwebung wird die Überlagerung von zwei Schwebungen bezeichnet, welche eine
unterschiedliche Frequenz haben.
𝑆𝑐ℎ𝑤𝑒𝑏𝑢𝑛𝑔𝑠𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑧: 𝑓1 = |𝑓! − 𝑓$ |
Dies führt zu einem An- und Abschwellen
(flattern) der Amplitude.
Je mehr die beiden Ausgangsfrequenzen
übereinstimmen, desto länger dauert das An-
und Abschwellen.
Elektromagnetischer Schwingkreis
Erklärt durch eine Analogie zu einem harmonischen Oszillator. Hierbei entspricht die
elektrische Energie im Kondensator der potenziellen Energie der Masse m und die
magnetische Energie der Spule der kinetischen Energie der Masse m entspricht.
Eigenfrequenz f wird bestimmt mit der
Induktivität L und der Kapazität C.
!
𝑓 = $%∗√4∗5
3
, Mechanische Wellen
Generelle Definition
Wenn schwingungsfähige Teilchen miteinander verbunden werden, sodass Energie von
einem auf das Nächste übertragen wird, so entsteht eine Welle, die sich im Raum
ausbreitet. Dabei wird Energie transportiert aber keine Materie.
𝐴𝑢𝑠𝑏𝑟𝑒𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔𝑠𝑔𝑒𝑠𝑐ℎ𝑤𝑖𝑛𝑑𝑖𝑔𝑘𝑒𝑖𝑡: 𝑐 = 𝑓 ∗ 𝜆
𝜆: Die kürzeste Entfernung zweier
Oszillatoren, im gleichen Schwingzustand
𝑐: Geschwindigkeit mit der sich die Wellen
fortbewegt
𝑓: Frequenz der Welle
Formel für harmonische Wellen
Da sich Wellen im Gegensatz zu Schwingungen nicht nur zeitlich, sondern auch räumlich
ausbreiten werden sie mit der folgenden Gleichung beschrieben
$% $%
𝑦(𝑡, 𝑥) = 𝑦'67 ∗ sin ` " ∗ 𝑡 − 8
∗ 𝑥a
𝑇: Periodendauer
𝑡: Zeit
𝜆: Wellenlänge
𝑥: Ort auf der x-Achse
Longitudinalwellen
Bewegung eines einzelnen Oszillators ist parallel zur Ausbreitung der Welle
Transversalwellen
Bewegung eines einzelnen Oszillators ist senkrecht zur Ausbreitung der Welle
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Mechanische Schwingungen
Beschreibung von Schwingungen
Eine periodische hin- und her Bewegung zwischen zwei Umkehrpunkten um den Ruhepunkt
drum herum. Bei einer ungedämpften Schwingung kann von Reibungsverlusten abgesehen
werden und somit ist die Gesamtenergie der Schwingung zeitlich konstant. Dabei findet
immer eine Energieumwandlung von nur kinetischer Energie am Ruhepunkt zu nur
potenzieller Energie an den Umkehrpunkten statt.
Wichtige Größen
Frequenz 𝒇
!
𝑓 = " ∶ 𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑑𝑒𝑟 𝑆𝑐ℎ𝑤𝑖𝑛𝑔𝑢𝑛𝑔𝑒𝑛 𝑝𝑟𝑜 𝑍𝑒𝑖𝑡𝑒𝑖𝑛ℎ𝑒𝑖𝑡
!
Einheit: 1𝐻𝑧 = 1 #
Kreisfrequenz 𝝎
$%
Es gilt 𝜔 = 2𝜋 ∗ 𝑓 = "
Auslenkung 𝒚
Abstand des Körpers vom Ruhepunkt relativ zu der Zeit, ändert sich im Verlauf. Wird in
Metern angegeben.
Phasenwinkel 𝝋(𝒕)
Legt den Zustand zum Zeitpunkt t fest und wird durch den Term 𝜔 ∗ 𝑡 + 𝜑& .
𝜑& gibt dabei die Phasenkonstante und somit den Anfangszustand(t=0s) an.
Harmonische Schwingung
Eine harmonische Schwingung liegt vor, wenn die Rückstellkraft und Auslenkung zueinander
proportional sind. Dies ist der Fall, wenn ein lineares Kraftgesetz angewendet werden kann.
Dabei gilt: 𝑭 = −𝑫 ∗ 𝒚, diese bestimmt die Rückstellgraft am Ort y dabei ist D die
Federkonstante.
Man kann eine harmonische Schwingung als Sinusfunktion darstellen, somit auch die
Geschwindigkeit und Beschleunigung der harmonischen Schwingung:
𝑦(𝑡) = 𝑦!"# ∗ sin(𝜔) ∗ 𝑡 𝑣(𝑡) = 𝑦′(𝑡) 𝑎(𝑡) = 𝑣′(𝑡) = 𝑦′′(𝑡)
1
,Schwingungssysteme
Feder-Masse-Pendel
Dieses Pendel besteht aus einer Feder (mit einer Federkonstante D) mit einem Gewicht (m)
am Ende. Dabei wirken die Gravitationskraft und die Federkraft gegeneinander.
Periodendauer:
'
𝑇 = 2𝜋 ∗ K (
Potenzielle Energie:
!
𝐸)*+ = $ ∗ 𝐷 ∗ 𝑦 $
Kinetische Energie:
!
𝐸,-. = $ ∗ 𝑚 ∗ 𝑣 $
Fadenpendel
Ein an einem Faden hängender Pendelkörper der Masse m bewegt sich in einer Kreisbahn
um die Ruhelage. Da Kraft und Auslenkungen nicht proportional zueinander sind, kann man
nur bis zu einer Auslegung von ca. 5 grad von einer harmonischen Schwingung sprechen.
Periodendauer:
/
𝑇 = 2𝜋K0
𝒍: 𝑙ä𝑛𝑔𝑒
𝒈: 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠𝑘𝑟𝑎𝑓𝑡
Gedämpfte Schwingung
Alle realen Pendel sind immer einer Reibung, durch Luft, ausgesetzt und diese entzieht dem
System Energie. Also verändert sich die Amplitude im Verlaufe der Zeit.
Erzwungene Schwingung
Wenn ein schwingungsfähiges System (Oszillator) von außen angeregt, so führt es die
Schwingungen in der Frequenz des Erregers aus. So näher die Frequenz dem des Systems
kommt, desto höher wird die übertragene Energie. Bei Resonanz ist die Energieübertragung
maximal.
2
,Resonanz
Anregung und schwingendes System befinden sich in Resonanz, wenn die Erregerfrequenz
und die Eigenfrequenz des Systems gleich sind.
Wird ein schwach gedämpftes System dauerhaft mit seiner Frequenz angeregt, so steigt die
Amplitude immer weiter und der Oszillator wird zerstört. Um dies zu verhindern, muss man
das System möglichst weit dämpfen.
Überlagerung von Schwingungen
Wenn sich zwei harmonische Schwingungen mit der gleichen Frequenz überlagern, ergibt
sich daraus eine neue harmonische Schwingung der gleichen Frequenz.
Schwebung
Als Schwebung wird die Überlagerung von zwei Schwebungen bezeichnet, welche eine
unterschiedliche Frequenz haben.
𝑆𝑐ℎ𝑤𝑒𝑏𝑢𝑛𝑔𝑠𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑧: 𝑓1 = |𝑓! − 𝑓$ |
Dies führt zu einem An- und Abschwellen
(flattern) der Amplitude.
Je mehr die beiden Ausgangsfrequenzen
übereinstimmen, desto länger dauert das An-
und Abschwellen.
Elektromagnetischer Schwingkreis
Erklärt durch eine Analogie zu einem harmonischen Oszillator. Hierbei entspricht die
elektrische Energie im Kondensator der potenziellen Energie der Masse m und die
magnetische Energie der Spule der kinetischen Energie der Masse m entspricht.
Eigenfrequenz f wird bestimmt mit der
Induktivität L und der Kapazität C.
!
𝑓 = $%∗√4∗5
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, Mechanische Wellen
Generelle Definition
Wenn schwingungsfähige Teilchen miteinander verbunden werden, sodass Energie von
einem auf das Nächste übertragen wird, so entsteht eine Welle, die sich im Raum
ausbreitet. Dabei wird Energie transportiert aber keine Materie.
𝐴𝑢𝑠𝑏𝑟𝑒𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔𝑠𝑔𝑒𝑠𝑐ℎ𝑤𝑖𝑛𝑑𝑖𝑔𝑘𝑒𝑖𝑡: 𝑐 = 𝑓 ∗ 𝜆
𝜆: Die kürzeste Entfernung zweier
Oszillatoren, im gleichen Schwingzustand
𝑐: Geschwindigkeit mit der sich die Wellen
fortbewegt
𝑓: Frequenz der Welle
Formel für harmonische Wellen
Da sich Wellen im Gegensatz zu Schwingungen nicht nur zeitlich, sondern auch räumlich
ausbreiten werden sie mit der folgenden Gleichung beschrieben
$% $%
𝑦(𝑡, 𝑥) = 𝑦'67 ∗ sin ` " ∗ 𝑡 − 8
∗ 𝑥a
𝑇: Periodendauer
𝑡: Zeit
𝜆: Wellenlänge
𝑥: Ort auf der x-Achse
Longitudinalwellen
Bewegung eines einzelnen Oszillators ist parallel zur Ausbreitung der Welle
Transversalwellen
Bewegung eines einzelnen Oszillators ist senkrecht zur Ausbreitung der Welle
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