Introducción a GNU Octave
Aplicaciones en ingeniería
CMCM
Rev.04A
5 de septiembre de 2015
Manual GNU Octave página 1 de 68
, Índice general
1. INTRODUCCIÓN 4
1.1. ¿Qué es Octave? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. ¿Cómo se escriben los números? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. ¿Cómo escribir las operaciones aritméticas elementales ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4. Orden en que se realizan las operaciones aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5. Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6. Variables predefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.7. Funciones matemáticas elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.8. Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2. VECTORES Y MATRICES 11
2.1. Definición de vectores y matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1. Definir vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2. Definir matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2. Operaciones con vectores y matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3. Resolución de sistemas lineales de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES 17
3.1. Curvas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2. Curvas en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3. Superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4. CÁLCULO DE RAÍCES DE ECUACIONES, INTERPOLACIÓN, MÍNIMOS DE FUNCIONES E INTEGRALES
DEFINIDAS 26
4.1. Resolución de ecuaciones no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2
, 4.2. Raíces de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.3. Interpolación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3.1. Interpolación unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3.2. Interpolación multidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3.3. Regresión polinómica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.4. Resolución de sistemas de ecuaciones no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.5. Mínimos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.5.1. Funciones de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.5.2. Funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.6. Cálculo de integrales definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.6.1. Integral definida de un conjunto de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.6.2. Integral definida de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.6.3. Integrales dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5. RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 45
5.1. Problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales ordinarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.1.1. Ejemplo: EDO lineal. LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.1.2. Ejemplo :EDO no lineal. TEOREMA DE TORRICELLI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.1.3. Ejemplo :EDO con funciones discontinuas. TANQUES DE MEZCLA. . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2. Problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior (n>1) . . . . . . . 49
5.2.1. Ejemplo: EDO 2º Orden. ECUACIÓN DE VAN DER POL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2.2. Ejemplo: EDO 2º Orden. MÉTODO MATRICIAL (Modelo de espacio de estados). . . . . . . . . . 50
5.3. Estudio de la sensibilidad de parámetros en ecuaciones diferenciales ordinarias . . . . . . . . . . . . . . 51
5.3.1. Ejemplo :EDO con intervalo de variación de condiciones iniciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.3.2. Ejemplo :EDO con intervalo de variación de un parámetro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.4. Problema de valor inicial para sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.4.1. Ejemplo: Sistema EDO. MODELO DE LOTKA-VOLTERRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6. OPTIMIZACIÓN 55
6.1. INVESTIGACIÓN OPERATIVA. Programación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.1.1. APLICACIONES DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL A LA LOGÍSTICA . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.1.2. APLICACIONES DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL A PROBLEMAS DE BLENDING O MEZCLA. 59
6.2. OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES. Estimación de parámetros en modelos dinámicos . . . . . . . . . . . 61
6.3. OPTIMIZACIÓN NO LINEAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Quinta revisión: Septiembre 2015
Cuarta revisión: Noviembre 2014
Tercera revisión: Septiembre 2014
Segunda revisión: Abril 2014
Primera revisión: Febrero 2014
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, CAPÍTULO 1
INTRODUCCIÓN
1.1. ¿Qué es Octave?
GNU Octave es un lenguaje de alto nivel destinado para el cálculo numérico. Provee una interfaz sencilla,
orientada a la línea de comandos (consola), que permite la resolución de problemas numéricos, lineales y no lineales,
además permite la ejecución de scripts y puede ser usado como lenguaje orientado al procesamiento por lotes.
Octave nació alrededor del año 1988, y fue concebido originalmente para ser usado en un curso de diseño
de reactores químicos para los alumnos de Ingeniería Química de la Universidad de Texas y la Universidad de
Wisconsin-Madison.
Octave posee una gran cantidad de herramientas que permiten resolver problemas de algebra lineal, cálculo
de raíces de ecuaciones no lineales, integración de funciones ordinarias, manipulación de polinomios, integración
de ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones diferenciales algebraicas. Sus funciones también se pueden
extender mediante funciones definidas por el usuario escritas en el lenguaje propio de Octave o usando módulos
dinámicamente cargados escritos en lenguajes como C, C++ y Fortran entre otros.
1.2. ¿Cómo se escriben los números?
• Enteros (sin punto decimal):
>> 23 321 −34
• Reales (con punto decimal):
>> 23. −10.1 11.321
• Reales (notación científica o exponencial):
>> 2.e−2 = 2*10^(−2) = 0.02
>> 2.1e+5 = 2.1*10^(5) = 210000
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Aplicaciones en ingeniería
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1. INTRODUCCIÓN 4
1.1. ¿Qué es Octave? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. ¿Cómo se escriben los números? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. ¿Cómo escribir las operaciones aritméticas elementales ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4. Orden en que se realizan las operaciones aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5. Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6. Variables predefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.7. Funciones matemáticas elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.8. Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2. VECTORES Y MATRICES 11
2.1. Definición de vectores y matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1. Definir vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2. Definir matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2. Operaciones con vectores y matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3. Resolución de sistemas lineales de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES 17
3.1. Curvas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2. Curvas en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3. Superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4. CÁLCULO DE RAÍCES DE ECUACIONES, INTERPOLACIÓN, MÍNIMOS DE FUNCIONES E INTEGRALES
DEFINIDAS 26
4.1. Resolución de ecuaciones no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2
, 4.2. Raíces de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.3. Interpolación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3.1. Interpolación unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3.2. Interpolación multidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3.3. Regresión polinómica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.4. Resolución de sistemas de ecuaciones no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.5. Mínimos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.5.1. Funciones de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.5.2. Funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.6. Cálculo de integrales definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.6.1. Integral definida de un conjunto de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.6.2. Integral definida de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.6.3. Integrales dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5. RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 45
5.1. Problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales ordinarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.1.1. Ejemplo: EDO lineal. LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.1.2. Ejemplo :EDO no lineal. TEOREMA DE TORRICELLI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.1.3. Ejemplo :EDO con funciones discontinuas. TANQUES DE MEZCLA. . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2. Problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior (n>1) . . . . . . . 49
5.2.1. Ejemplo: EDO 2º Orden. ECUACIÓN DE VAN DER POL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2.2. Ejemplo: EDO 2º Orden. MÉTODO MATRICIAL (Modelo de espacio de estados). . . . . . . . . . 50
5.3. Estudio de la sensibilidad de parámetros en ecuaciones diferenciales ordinarias . . . . . . . . . . . . . . 51
5.3.1. Ejemplo :EDO con intervalo de variación de condiciones iniciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.3.2. Ejemplo :EDO con intervalo de variación de un parámetro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.4. Problema de valor inicial para sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.4.1. Ejemplo: Sistema EDO. MODELO DE LOTKA-VOLTERRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6. OPTIMIZACIÓN 55
6.1. INVESTIGACIÓN OPERATIVA. Programación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.1.1. APLICACIONES DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL A LA LOGÍSTICA . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.1.2. APLICACIONES DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL A PROBLEMAS DE BLENDING O MEZCLA. 59
6.2. OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES. Estimación de parámetros en modelos dinámicos . . . . . . . . . . . 61
6.3. OPTIMIZACIÓN NO LINEAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
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Cuarta revisión: Noviembre 2014
Tercera revisión: Septiembre 2014
Segunda revisión: Abril 2014
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INTRODUCCIÓN
1.1. ¿Qué es Octave?
GNU Octave es un lenguaje de alto nivel destinado para el cálculo numérico. Provee una interfaz sencilla,
orientada a la línea de comandos (consola), que permite la resolución de problemas numéricos, lineales y no lineales,
además permite la ejecución de scripts y puede ser usado como lenguaje orientado al procesamiento por lotes.
Octave nació alrededor del año 1988, y fue concebido originalmente para ser usado en un curso de diseño
de reactores químicos para los alumnos de Ingeniería Química de la Universidad de Texas y la Universidad de
Wisconsin-Madison.
Octave posee una gran cantidad de herramientas que permiten resolver problemas de algebra lineal, cálculo
de raíces de ecuaciones no lineales, integración de funciones ordinarias, manipulación de polinomios, integración
de ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones diferenciales algebraicas. Sus funciones también se pueden
extender mediante funciones definidas por el usuario escritas en el lenguaje propio de Octave o usando módulos
dinámicamente cargados escritos en lenguajes como C, C++ y Fortran entre otros.
1.2. ¿Cómo se escriben los números?
• Enteros (sin punto decimal):
>> 23 321 −34
• Reales (con punto decimal):
>> 23. −10.1 11.321
• Reales (notación científica o exponencial):
>> 2.e−2 = 2*10^(−2) = 0.02
>> 2.1e+5 = 2.1*10^(5) = 210000
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