Tema: Integrales múltiples Ejercicios resueltos
Z 1 Z 1
1. Calcular: ey dxdy
0 1−y
Respuesta.
Z 1Z 1 "Z x=1
#
1 Z 1
ey dxdy = y
xe dy = yey dy
0 1−y 0 x=1−y 0
[usando integración por partes, se obtiene:]
1
= (yey − ey ) =1
0
√
Z 3 Z 4−y
3
2. Dada la integral iterada I= e12x−x dxdy.
0 1
Expresar la integral, cambiando el orden de integración, y calcular su valor.
Respuesta.
a) El dominio de integración está dado por:
√
1≤x≤ 4−y
D:
0≤y≤3
b) El dominio
√ D, está limitado por las rectas y = 0, y = 3, x = 1 y la gráfica
x = 4 − y, representado gráficamente en la siguiente figura:
Dominio D
c) El dominio D también se puede describir:
1≤x≤2
D:
0 ≤ y ≤ 4 − x2
Instituto de Matemática y Fı́sica 17 Universidad de Talca
, Tema: Integrales múltiples Ejercicios resueltos
Z 2 Z 4−x2
3
Por lo tanto: I= e12x−x dydx.
1 0
d ) Para calcular I usaremos su expresión anterior. Luego
Z 2 Z 4−x2
3
I = e12x−x dydx
1 0
Z 2
y=4−x2
(12x−x3 )
= ye dx
1 y=0
3 2
2
e12x−x e11 5
Z
2 12x−x3
= (4 − x )e dx = = (e − 1) ≈ 2942078,792
1 3 3
1
y
3. Sea z = f (x, y) = definida sobre el cuadrado unitario R = [1, 2] × [0, 1].
x
ZZ
a) Calcular un valor aproximado de f (x, y)dxdy mediante la suma de Riemann de
R
f , considerando una partición de la región en 9 subcuadrados congruentes, y en
cada subcuadrado se elige el vértice inferior izquierdo.
ZZ
b) El valor de f (x, y)dxdy, usando integrales iteradas.
R
Respuesta.
1
a) 1) Se tiene que: ∆x = = ∆y
3
En [1, 2] se considera la partición: 1, 34 , 53 , 2, determinando los siguientes
subintervalos:
4 4 5 5
1, , , , ,2
3 3 3 3
En [0, 1] se considera la partición: 0, 31 , 23 , 1, determinando los siguientes
subintervalos:
1 1 2 2
0, , , , ,1
3 3 3 3
1 1
2) Cada subcuadrado tiene un área igual a ∆A = 3
· 3
= 19 .
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Z 1 Z 1
1. Calcular: ey dxdy
0 1−y
Respuesta.
Z 1Z 1 "Z x=1
#
1 Z 1
ey dxdy = y
xe dy = yey dy
0 1−y 0 x=1−y 0
[usando integración por partes, se obtiene:]
1
= (yey − ey ) =1
0
√
Z 3 Z 4−y
3
2. Dada la integral iterada I= e12x−x dxdy.
0 1
Expresar la integral, cambiando el orden de integración, y calcular su valor.
Respuesta.
a) El dominio de integración está dado por:
√
1≤x≤ 4−y
D:
0≤y≤3
b) El dominio
√ D, está limitado por las rectas y = 0, y = 3, x = 1 y la gráfica
x = 4 − y, representado gráficamente en la siguiente figura:
Dominio D
c) El dominio D también se puede describir:
1≤x≤2
D:
0 ≤ y ≤ 4 − x2
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, Tema: Integrales múltiples Ejercicios resueltos
Z 2 Z 4−x2
3
Por lo tanto: I= e12x−x dydx.
1 0
d ) Para calcular I usaremos su expresión anterior. Luego
Z 2 Z 4−x2
3
I = e12x−x dydx
1 0
Z 2
y=4−x2
(12x−x3 )
= ye dx
1 y=0
3 2
2
e12x−x e11 5
Z
2 12x−x3
= (4 − x )e dx = = (e − 1) ≈ 2942078,792
1 3 3
1
y
3. Sea z = f (x, y) = definida sobre el cuadrado unitario R = [1, 2] × [0, 1].
x
ZZ
a) Calcular un valor aproximado de f (x, y)dxdy mediante la suma de Riemann de
R
f , considerando una partición de la región en 9 subcuadrados congruentes, y en
cada subcuadrado se elige el vértice inferior izquierdo.
ZZ
b) El valor de f (x, y)dxdy, usando integrales iteradas.
R
Respuesta.
1
a) 1) Se tiene que: ∆x = = ∆y
3
En [1, 2] se considera la partición: 1, 34 , 53 , 2, determinando los siguientes
subintervalos:
4 4 5 5
1, , , , ,2
3 3 3 3
En [0, 1] se considera la partición: 0, 31 , 23 , 1, determinando los siguientes
subintervalos:
1 1 2 2
0, , , , ,1
3 3 3 3
1 1
2) Cada subcuadrado tiene un área igual a ∆A = 3
· 3
= 19 .
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