Funciones Variables

FUNCIONES
DE
VARIAS
VARIABLES


1)
INTRODUCCIÓN

• Definición
de
campo
vectorial,
escalar
y
funciones
vectoriales

• Dominio
e
imagen

• Gráfica

• Restricción

• Operaciones
con
funciones



2)
FUNCIÓN
REAL
DE
DOS
VARIABLES

• Dominio
e
imagen

• Gráfica:
superficies
en
el
espacio.
Cuádricas

o Cilindros
y
ecuaciones
de
las
cuádricas:
importancia
de
sus
trazas
(proyecciones)

para
la
representación
de
éstas



3)
LÍMITES
Y
CONTINUIDAD

• Límite:
Definición
épsilon
delta.

• Límite
restringido

o Tipos
de
límites
restringidos:


 Límites
reiterados

 Límites
direccionales

 Límites
en
coordenadas
polares

o Operaciones
con
límites

• Continuidad:
Definición
épsilon
delta.

• Definición
para
puntos
de
acumulación.



4)
DIFERENCIACIÓN

• Derivada
parcial

• Derivada
direccional.
Gradiente

• Concepto
de
diferencial

o Aplicaciones
de
la
diferencial:
propagación
de
errores

o Matriz
jacobiana

o Regla
de
la
cadena

o Derivación
implícita

• Interpretación
geométrica
de
las
derivadas
parciales,
direccionales,
diferenciales
y

gradientes.

• Optimización
de
funciones
de
varias
variables

o Extremos
relativos

o Optimización
condicionada.
Multiplicadores
de
Lagrange.

o Extremos
absolutos





















1


, 1)
INTRODUCCIÓN



DEFINICIÓN:
Se
denomina
función
vectorial
de
n
variables
reales,
función
vectorial
de
variable

vectorial
o
campo
vectorial
a
cualquier
aplicación

f : A →  m
donde

A ⊆  n .





Al
conjunto
A
se
le
denomina
dominio
de
f
:

A
=
Dom
(
f
).
La
expresión

y
=
f
(x)
indica
que
y
es
la

imagen
de
x
por
medio
de
f,
siendo
x= (x1 ,x2 ,…,x n )
e
y= ( y1 , y2 ,…, ym ) .
Si
la
función
solamente
viene




descrita
por
la
expresión

y
=
f
(x)
se
sobreentiende
que
el
dominio
de
la
función
es
el
máximo

{
subconjunto
de
! n
para
el
cual
f(x)
∈ m ;
es
decir:

Dom( f ) = (x1 , x2 ,…,x n )∈ n : f (x1 , x2 ,…,x n )∈ m .



}



Se
denomina
recorrido
o
imagen
de
f

al
subconjunto
de

 m :

Im f = { f (x1 ,x2 ,…,x n ):(x1 ,x2 ,…,x n )∈A} .



Se
llama
gráfica
de
f
al
conjunto:


{

graf ( f ) = (x1 ,x2 ,…,x n , y1 , y2 ,…, ym )∈ n+m :(x1 ,x2 ,…,x n )∈ n e( y1 , y2 ,…, ym )∈ m




}



Dada
una
función

f : A →  m
con

A ⊆  n .
Se
denomina
restricción
de
f
al
conjunto

S ⊆ A ,
y
se

indicará
por
f S
a
la
función
f S : S →  m
definida
por
fS
(x)
=
f
(x)
para
todo
x
∈S .







Si

m = 1
y

n > 1
la
función
se
denomina
función
real
de
n
variables
reales,
función
real
de
variable

vectorial
o
campo
escalar.
Si
m
>
1
y
n
=
1
se
llama
función
vectorial
de
variable
real
o
función

vectorial,
a
secas.




En
una
variable,
la
distancia
entre
dos
puntos
se
medía
a
partir
del
valor
absoluto

d(x , y) = | x − y| ,

pero
el
valor
absoluto
también
se
puede
definir
a
partir
de
la
siguiente
expresión:

| x | = x 2 .
La

generalización
a
varias
variables
de
este
concepto
es
la
norma.


DEFINICIÓN:
Se
llama
norma
de
(x1 ,x2 ,,x n )
a
la
expresión:
(x1 ,x2 ,,x n ) = x12 + x22 ++ x n2 .
En
una




variable
x = x .



3)
LÍMITES
Y
CONTINUIDAD



DEFINICIÓN
(Definición
épsilon
delta
de
límite)

lím f (x , y) = L ⇔ ∀ε > 0 ∃ δ > 0: 0 < (x , y)−(a,b) < δ ∀x ∈ 2 ⇒ f (x , y)− L < ε





( x , y ) → (a,b)




DEFINICIÓN
(Límite
restringido)

lím f (x , y) = L ⇔ ∀ε > 0 ∃ δ > 0: 0 < (x , y)−(a,b) < δ ∀x ∈S ⊂  2 ⇒ f (x , y)− L < ε

( x , y ) → (a,b) S











Si
una
función
tiene
límite,
el
límite
restringido
coincide
con
dicho
límite.




Si
dos
límites
restringidos
no
coinciden,
la
función
no
tiene
límite.



• Tipos
de
límites
restringidos:




o Límites
iterados:
S = {(x , y): x = a}
o
S = {(x , y): y = b}




lím ⎡ xlím f (x , y)⎤







lím ⎡ lím f (x , y)⎤

y → b ⎣ ⎦
x → a ⎣ ⎦

→a y→b






La
igualdad
de
los
límites
iterados
no
implica
la
existencia
del
límite.




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