Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencia
Departamento de Matemática y Ciencia de la Computación
PEP N◦ 3 (PAUTA) de Inferencia Estadı́stica
Miécoles 23 de septiembre de 2020, 10:00-11:30
Plazo de envı́o: 13:30hrs.
Profesor(a): Vı́ctor H. Salinas, Estefanı́a P. Cerda
Ayudante: Sebastián Rı́os
1. (30) Los fondos mutuos de corto plazo se distribuyen según una distribución N (µ1 , σ 2 ). Por otra parte,
los fondos mutuos de largo plazo tienen mayor variabilidad y poseen una distribución N (µ2 , 2σ 2 ).
Se seleccionan, para compararlos, veintiseis fondos mutuos. De los 26 fondos, 12 son de corto plazo y
dieron un rendimiento promedio de 1598.60 dólares, con una desviación estándar de 43.20 dólares. Los
demás fondos son de inversión a largo plazo y generaron un rendimiento promedio de 987.60 dólares
con una desviación estándar de 75.52 dólares.
Elabore un test t de Student exacto, para verificar o refutar la afirmación:
”El rendimiento promedio a corto plazo supera al rendimiento promedio a largo plazo en más de 500
dólares”. Use α = 0.05.
El contraste es H0 : µ1 − µ2 = 500versusH1 : µ1 − µ2 > 500.
2 2 X n −Y n −(µ1 −µ2 )
Primero, X n ∼ N (µ1 , σn ) ⊥ Y n ∼ N (µ1 , 2σ
m )→Z =
√ ∼ N (0, 1).
σ 1/n+2/m
(n−1)S12 (n−1)S22 (n−1)S12 +(n−1)S22 /2
Por otra parte, σ2 ∼ χ2n−1 ⊥ 2σ 2 ∼ χ2m−1 → σ2 ∼ χ2n+m−2 .
(n−1)S12 +(n−1)S22 /2 (n+m−2)Sp2
Sea Sp2 = n+m−2 , luego σ2 ∼ χ2n+m−2 .
X n −Y n −(µ1 −µ2 )
Ası́, T = √ ∼ tn+m−2 , bajo H0 : µ1 − µ2 = 500.
Sp 1/n+2/m
n −Y n −500
X√
Luego, T = ∼ t24 .
Sp 1/12+2/14
La región crı́tica viene dada por < = (t0.95;24 , +∞) = (1.711, +∞).
11s21 +13s22 /2
Usando los datos, s2p = 24 = 2340 → sp = 48.373.
xn −y n −500 1598.60−43.20−500
Luego, tobs = √ = √ = 4.825 ∈ <.
sp 1/12+2/14 48.373 1/12+2/14
Por loa tanto, se rechaza H0 , el rendimiento a corto plazo supera, en promedio, al rendimiento a
largo plazo en más de 500 dólares.
, 2. (30) Suponga que el número de vehı́culos que pasan por la pista 1 de un cierto camino interurbano
sigue una distribución N (0, 1). de Poisson de parámetro θ1 , y que el número de vehı́culos que pasa por
la pista 2 del mismo camino sigue una distribución de Poisson de parámetro θ2 .
En un mes (30 dı́as) de observación se obtuvo que por la pista 1 pasaron 2080 vehı́culos y por la pista
2, 2060 vehı́culos.
Desarrolle un test de razón de verosimilitud de nivel α = 0.05 para verificar o refutar la hipótesis:
”El flujo vehicular en ambas pistas del camino es el mismo”.
El parámetro de la distribución de Poisson representa la tasa del flujo vehicular, luego se comparan las
dos tasas.
H0 : θ1 = θ2 versus H1 : θ1 6= θ2 .
P P
Xi −nθ Yi −nθ
La función de verosimilitud es f (X, Y|θ1 , θ2 ) = θ1 e 1
× θ2 e 2
; θ1 , θ2 > 0.
EMV general: θb1 = X n ; θb2 = Y n .
EMV bajo H0 : θ1 = θ2 = θ0 , θb0 = 12 (X n + Y n ).
f (X,Y|b
θ1 ,b
θ2 ) nX −nX nY n −nY
Estadı́stica de Razón de verosimilitud: λ(X, Y) = = X e ×Y e
.
f (X,Y|b
θ0 ) [ 12 (X+Y)] nX+nY × e−n(X+Y )
Bajo H0 , Λ = 2 × log λ(X, Y) ∼ χ21 .
La región crı́tica viene dada por < = (3.841, +∞).
El valor observado de Λ es Λobs = 2 × [nx log x + ny log y − (nx + ny) log[ 12 (x + y)] = 2 × 0.048 =
0.096 < χ20 .95 = 3.841. Donde n = 30, x = 69.333, y = 68.667.
A un nivel α = 0.05 no se rechaza H0 , el flujo vehicular en ambas pistas tiene la misma intensidad.
Facultad de Ciencia
Departamento de Matemática y Ciencia de la Computación
PEP N◦ 3 (PAUTA) de Inferencia Estadı́stica
Miécoles 23 de septiembre de 2020, 10:00-11:30
Plazo de envı́o: 13:30hrs.
Profesor(a): Vı́ctor H. Salinas, Estefanı́a P. Cerda
Ayudante: Sebastián Rı́os
1. (30) Los fondos mutuos de corto plazo se distribuyen según una distribución N (µ1 , σ 2 ). Por otra parte,
los fondos mutuos de largo plazo tienen mayor variabilidad y poseen una distribución N (µ2 , 2σ 2 ).
Se seleccionan, para compararlos, veintiseis fondos mutuos. De los 26 fondos, 12 son de corto plazo y
dieron un rendimiento promedio de 1598.60 dólares, con una desviación estándar de 43.20 dólares. Los
demás fondos son de inversión a largo plazo y generaron un rendimiento promedio de 987.60 dólares
con una desviación estándar de 75.52 dólares.
Elabore un test t de Student exacto, para verificar o refutar la afirmación:
”El rendimiento promedio a corto plazo supera al rendimiento promedio a largo plazo en más de 500
dólares”. Use α = 0.05.
El contraste es H0 : µ1 − µ2 = 500versusH1 : µ1 − µ2 > 500.
2 2 X n −Y n −(µ1 −µ2 )
Primero, X n ∼ N (µ1 , σn ) ⊥ Y n ∼ N (µ1 , 2σ
m )→Z =
√ ∼ N (0, 1).
σ 1/n+2/m
(n−1)S12 (n−1)S22 (n−1)S12 +(n−1)S22 /2
Por otra parte, σ2 ∼ χ2n−1 ⊥ 2σ 2 ∼ χ2m−1 → σ2 ∼ χ2n+m−2 .
(n−1)S12 +(n−1)S22 /2 (n+m−2)Sp2
Sea Sp2 = n+m−2 , luego σ2 ∼ χ2n+m−2 .
X n −Y n −(µ1 −µ2 )
Ası́, T = √ ∼ tn+m−2 , bajo H0 : µ1 − µ2 = 500.
Sp 1/n+2/m
n −Y n −500
X√
Luego, T = ∼ t24 .
Sp 1/12+2/14
La región crı́tica viene dada por < = (t0.95;24 , +∞) = (1.711, +∞).
11s21 +13s22 /2
Usando los datos, s2p = 24 = 2340 → sp = 48.373.
xn −y n −500 1598.60−43.20−500
Luego, tobs = √ = √ = 4.825 ∈ <.
sp 1/12+2/14 48.373 1/12+2/14
Por loa tanto, se rechaza H0 , el rendimiento a corto plazo supera, en promedio, al rendimiento a
largo plazo en más de 500 dólares.
, 2. (30) Suponga que el número de vehı́culos que pasan por la pista 1 de un cierto camino interurbano
sigue una distribución N (0, 1). de Poisson de parámetro θ1 , y que el número de vehı́culos que pasa por
la pista 2 del mismo camino sigue una distribución de Poisson de parámetro θ2 .
En un mes (30 dı́as) de observación se obtuvo que por la pista 1 pasaron 2080 vehı́culos y por la pista
2, 2060 vehı́culos.
Desarrolle un test de razón de verosimilitud de nivel α = 0.05 para verificar o refutar la hipótesis:
”El flujo vehicular en ambas pistas del camino es el mismo”.
El parámetro de la distribución de Poisson representa la tasa del flujo vehicular, luego se comparan las
dos tasas.
H0 : θ1 = θ2 versus H1 : θ1 6= θ2 .
P P
Xi −nθ Yi −nθ
La función de verosimilitud es f (X, Y|θ1 , θ2 ) = θ1 e 1
× θ2 e 2
; θ1 , θ2 > 0.
EMV general: θb1 = X n ; θb2 = Y n .
EMV bajo H0 : θ1 = θ2 = θ0 , θb0 = 12 (X n + Y n ).
f (X,Y|b
θ1 ,b
θ2 ) nX −nX nY n −nY
Estadı́stica de Razón de verosimilitud: λ(X, Y) = = X e ×Y e
.
f (X,Y|b
θ0 ) [ 12 (X+Y)] nX+nY × e−n(X+Y )
Bajo H0 , Λ = 2 × log λ(X, Y) ∼ χ21 .
La región crı́tica viene dada por < = (3.841, +∞).
El valor observado de Λ es Λobs = 2 × [nx log x + ny log y − (nx + ny) log[ 12 (x + y)] = 2 × 0.048 =
0.096 < χ20 .95 = 3.841. Donde n = 30, x = 69.333, y = 68.667.
A un nivel α = 0.05 no se rechaza H0 , el flujo vehicular en ambas pistas tiene la misma intensidad.
