Sumario Rectas y planos en el espacio

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO donde OP y OPo son vectores de posición cuyas componentes
1. LA RECTA EN R3. coinciden con las coordenadas de los puntos P y Po
respectivamente, pudiéndose escribir
1.1. Ecuaciones de la recta.
Po P P Po
En el espacio R3 se determina una recta L si se conoce un punto
Po(xo,yo,zo) de ella y su dirección, representada por un vector, De esta manera las coordenadas de los puntos P de la recta se

v (v1 , v 2 , v3 ) , no nulo. pueden determinar mediante la relación

z P Po t v , t R (1)
L Def. 1: Un conjunto L, de puntos de R3 constituye una recta si

v 
tomado un punto fijo Po del conjunto, existe un vector v ,
no nulo, tal que
Po

L { P R 3 / P Po t v , t R }

P El vector v se llama vector director de la recta L y la ecuación (1)
se llama ecuación vectorial de la recta L. La ecuación vectorial
y expresada en términos de componentes es
0
( x, y, z ) ( xo , y o , z o ) t (v1 , v 2 , v3 )
de donde se determinan las ecuaciones paramétricas de la recta L:

x x xo t v1
y yo t v2 , t R (2)
Figura 1. La Recta en R3. z zo t v3

Como se observa en la Figura 1, para que cualquier otro punto P Despejando el parámetro t e igualando se obtienen las ecuaciones
 cartesianas o forma simétrica de la recta L:
este sobre la recta, el vector Po P debe ser paralelo al vector v , es
decir x xo y yo z zo
  , si v1v2 v3 0 (3)
Po P // v t R / Po P t v v1 v2 v3
Además
Po P OP OPo

, Ejercicios 1: 2. EL PLANO EN R3.
1) Escribir las ecuaciones de los ejes coordenados.
2.1. Ecuaciones del plano
2) Dados los puntos A y B, determinar las ecuaciones de la recta En R3 un plano se puede determinar con un punto Po(xo,yo,zo) de él

que los contiene y dos direcciones dadas por vectores u (u1 , u 2 , u 3 ) y
a) A(1,3,2), B(-4,3,1) b) A(1,9,3), B(-4,3,-2). 
v (v1 , v 2 , v3 ) , no paralelos.

3) Determinar si el punto pertenece a la recta: z
a) (-5,7,9); P = (4,-2,3) + s(-3,3,1).
b) (-1,7,3/2); P = (-1,1,3) + t(0,4,1).

v  
4) ¿Cuál de las siguientes rectas coincide con la recta de ecuación Po su t v P
P = (1,2,3) + t(-4,2,0)? 
a) P = (1,0,4) + s(-4,2,0) b) P = (5,0,3) + s(-4,2,0) u
c) P = (2,1,3) + s(2,-1,0) d) P = (-3,4,3) + s(2,-1,0)

5) Escribir la ecuación vectorial de la recta, en R2, definida por la 0
y
ecuación cartesiana 2x + y = -3.



x
Figura 2. El Plano en R3

Para que un punto P(x,y,z) de R3 este sobre el plano el vector Po P
 
debe ser una combinación lineal de los vectores u y v , es decir
 
s, t R / Po P s u t v
 
Por lo tanto P Po s u t v , s, t R (4)
Def. 2: Un conjunto , de puntos de R3, determina un plano si

tomado un punto fijo del conjunto, Po, existen vectores u

y v , no paralelos tales que
 
{ P R 3 / P Po s u t v , s, t R }
ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA (0250) RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO