Límite y continuidad

TEMA 5: LÍMITE Y CONTINUIDAD
Teorema. Si f es continua en x0 y g
1. FUNCIONES CONTINUAS es continua en f (x0), entonces la
composición g◦f es continua en x0.
Definición. Sea f una función real con dominio en un subconjunto de R.
Decimos que f es continua en x0 ∈ dom(f) si dada cualquier sucesión (xn) en
2. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS
dom(f) convergente a x0, se verifica que f (xn) → f (x0). Si f es continua en
cada punto de un conjunto S ⊂ dom(f), decimos que f es continua en S. Teorema. Sea f : [a, b] → ℝ continua en [a, b]. Entonces f está acotada.
Además, f alcanza sus valores máximo y mínimo en [a, b], es decir, existen
Teorema. Sea f una función real con dominio en un subconjunto de ℝ. x0,y0 ∈ [a, b] tales que f (x0) ≤ f (x) ≤ f (y0) para todo x ∈ [a, b].
Entonces f es continua en x0 ∈ dom(f) si y solo si verifica esta condición:
para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que Teorema. (Propiedad de los valores intermedios). Sea f una función real
x ∈ dom(f) y |x − x0 | < δ implican |f (x) − f (x0)| < ε. de variable real continua, definida en un intervalo I. Sean a, b ∈ I, a < b.
Supongamos que y está en el intervalo abierto de extremos f (a) y f (b).
Entonces existe x ∈ (a, b) tal que f (x) = y.
Teorema. Sea f una función real de variable real continua en x0 ∈ dom(f).
Entonces |f| y k f con k ∈ ℝ son continuas en x0.
Corolario. (Teorema de Bolzano). Si f : [a, b] → ℝ continua.
Si f(a) f(b) < 0 entonces existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.
Sea xn ∈ dom(f), xn → x0. Entonces |f (xn)| → |f (x0)| y k f (xn) → k f (x0)

Corolario. Si f es una función real de variable real continua en un intervalo I,
SUMA: f + g → (f + g)(x) = f (x) + g(x) →
entonces el conjunto imagen f(I) es un intervalo, de extremos ínfI f , supI f .
Dom(f+g)= dom(f) ∩ dom(g)
PRODUCTO: f g → (f g)(x) = f (x)g(x) → Teorema. Sea g una función estrictamente creciente definida en un
Dom(f g)= dom(f) ∩ dom(g) intervalo J tal que g(J) también es un intervalo I. Entonces g es
COCIENTE: f /g → (f /g)(x) = f (x)/g(x) → continua en J.
Dom(f/g) = dom(f) ∩ {x ∈ dom(g) : g(x) ≠ 0}
MÁXIMO: máx. {f , g}(x) = máx. {f (x), g(x)} → Teorema. Sea f una función continua, estrictamente creciente definida en
Dom[máx.(f,g)]= dom(f) ∩ dom(g) un intervalo I. Entonces f (I) es un intervalo J y f −1 es una función
continua y estrictamente creciente en J.
MÍNIMO: mín. {f , g}(x) = mín. {f (x), g(x)} →
Dom[mín.(f,g)]= dom(f) ∩ dom(g)
COMPOSICIÓN: (g ◦ f )(x) = g(f(x)) → Teorema. Sea f una función inyectiva, continua definida en un intervalo I.
s {x ∈ dom(f) : f (x) ∈ dom(g)} Entonces f es estrictamente monótona.

Todas estas funciones son continuas si lo son f y g

Teorema. Sean f y g funciones reales de variable real continuas en x0.
Entonces f + g y fg son continuas en x0. Si g(x0) ≠ 0, f /g es continua en x0.