MATRICES: TEORÍA
1
,Índex
1 Definicion 3
1.1 Concepto de vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Concepto de matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Ejercicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Tipos de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1 Matriz cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.2 Matriz transpuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.3 Matriz simétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.4 Matriz antisimétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.5 Matriz diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.6 Matriz identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.7 Matriz nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.8 Matriz triangular superior, matriz triangular inferior . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.9 Matriz fila, matriz columna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.10 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Operaciones matriciales: propiedades 7
2.1 La suma y la resta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Aclaración importante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.2 Cómo operar: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 La multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.1 Aclaraciones importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.2 Cómo operar: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.3 Ejercicios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Propiedades de la suma y la multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.1 Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.2 Multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Determinante, matriz inversa y rango 11
3.1 El determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1.1 Matriz 2x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1.2 Matriz 3x3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1.3 Ejercicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 La matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2.1 Matriz adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2.2 Matriz 2x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2.3 Matriz 3x3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2.4 Entendiendo la matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2.5 Ejercicios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3 Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3.1 Propiedades del rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3.2 Método de observación directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3.3 Método Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3.4 Método Gauss-Jordan en sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3.5 Método Gauss-Jordan en matrices inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3.6 Rango de una matriz por determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3.7 Rango de una matriz por determinantes 2x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3.8 Rango de una matriz por determinantes 3x3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3.9 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2
, 1 Definicion
1.1 Concepto de vector
Siempre que se pregunta acerca de una matriz, quiero explicarlo usando un vector a modo de intro-
ducción. Generalmente verás representado un vector como una letra con una flecha encima, como ⃗v .
En el siguiente ejemplo se representa un vector de tres componentes.
⃗v = (v1 , v2 , v3 )
Pero se puede generalizar un vector si en vez de tener 3 tuviéramos n componentes:
⃗u = (u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , (...), un−2 , un−1 , un ) (1.1)
Porque pueden existir vectores con n=3 componentes, como el caso anterior, pero tambien de 5, 10,
20 y todos los números naturales que haya.
1.2 Concepto de matriz
Una matriz se puede entender como una expansión de un vector. Mientras que un vector general
como 1.1 sólamente es una fila con n componentes (unidimensional), una matriz generalizada es
una version bidimensional del vector, compuesta por n filas y m columnas. Matemáticamente, se
puede representar de la siguiente forma:
a1,1 a1,2 a1,3 (...) a1,n
a2,1 a2,2 a2,3 (...) a2,n
Am,n = a3,1 a3,2 a3,3 (...) a3,n (1.2)
(...) (...) (...) (...) (...)
am,1 am,2 am,3 (...) am,n
Viene representada por una letra generalmente en mayúscula, y a veces acompañada por los subı́ndices
en minúscula m,n, los cuales representan el número m de filas y el número n de columnas. Conociendo el
númeron de filas y columnas podemos conocer el número de elementos de la matriz: m· n. La elección
de una fila o de una columna generalmente viene determinado por las letras {i, j} respectivamente.
Con esto, podemos buscar un valor de la matriz. Por ejemplo, el valor de la matriz 1.3, que corresponde
la fila número 2 y la columna 3 se escoge con {i, j} = {2, 3}, siendo a2,3 .
1.2.1 Ejercicio
Identificar elementos. Dispone de la siguiente matriz, donde cada valor es un conjunto de letras o
números:
3 6 X Y 54
I 578 HOLA 3/4 21
Bm=5,n=5 = Cuatro B 9 + 3 44 2x + 3
(1.3)
M atriz 666 W indows X43s2 x
1234 elemento 3024 x2 B2
Identifique cuantas filas y columnas tiene y el número total de elementos. Por último, halla los ele-
mentos correspondientes a b2,3 , b5,1 , b1,1 . b4,4 , b5,2 , b3.4 , b5,5 y b1,4 .
Solución: Primero, la matriz: ya nos indican cuantas filas y columnas tienen, pues en la matriz viene
escrita: m=5 filas y n=5 columnas, por lo tanto es una matriz 5x5. Aunque en este ejercicio te
especifique el número de filas y columnas, si no te lo dicen deberás contarlas todas.
Ahora, los elementos: recordando que tiene 5 filas y 5 columnas, el número total de elementos es
5x5=25.
Por último, los elementos. Sólamente debes conocer a qué fila y columna corresponde cada número y
hallarás el elemento deseado. Para el caso b2,3 , significa que este elemento se ubica en la fila 2, columna
3. Por tanto, corresponde b2,3 =HOLA. Si hacemos lo mismo con los otros elementos, hallaremos que
b5,1 =1234, b1,1 =3, b4,4 =X43s2, b5,2 =elemento, b3,4 =44, b5,5 =B2 y b1,4 =Y.
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,Índex
1 Definicion 3
1.1 Concepto de vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Concepto de matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Ejercicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Tipos de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1 Matriz cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.2 Matriz transpuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.3 Matriz simétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.4 Matriz antisimétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.5 Matriz diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.6 Matriz identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.7 Matriz nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.8 Matriz triangular superior, matriz triangular inferior . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.9 Matriz fila, matriz columna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.10 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Operaciones matriciales: propiedades 7
2.1 La suma y la resta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Aclaración importante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.2 Cómo operar: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 La multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.1 Aclaraciones importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.2 Cómo operar: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.3 Ejercicios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Propiedades de la suma y la multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.1 Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.2 Multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Determinante, matriz inversa y rango 11
3.1 El determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1.1 Matriz 2x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1.2 Matriz 3x3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1.3 Ejercicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 La matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2.1 Matriz adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2.2 Matriz 2x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2.3 Matriz 3x3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2.4 Entendiendo la matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2.5 Ejercicios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3 Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3.1 Propiedades del rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3.2 Método de observación directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3.3 Método Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3.4 Método Gauss-Jordan en sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3.5 Método Gauss-Jordan en matrices inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3.6 Rango de una matriz por determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3.7 Rango de una matriz por determinantes 2x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3.8 Rango de una matriz por determinantes 3x3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3.9 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
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, 1 Definicion
1.1 Concepto de vector
Siempre que se pregunta acerca de una matriz, quiero explicarlo usando un vector a modo de intro-
ducción. Generalmente verás representado un vector como una letra con una flecha encima, como ⃗v .
En el siguiente ejemplo se representa un vector de tres componentes.
⃗v = (v1 , v2 , v3 )
Pero se puede generalizar un vector si en vez de tener 3 tuviéramos n componentes:
⃗u = (u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , (...), un−2 , un−1 , un ) (1.1)
Porque pueden existir vectores con n=3 componentes, como el caso anterior, pero tambien de 5, 10,
20 y todos los números naturales que haya.
1.2 Concepto de matriz
Una matriz se puede entender como una expansión de un vector. Mientras que un vector general
como 1.1 sólamente es una fila con n componentes (unidimensional), una matriz generalizada es
una version bidimensional del vector, compuesta por n filas y m columnas. Matemáticamente, se
puede representar de la siguiente forma:
a1,1 a1,2 a1,3 (...) a1,n
a2,1 a2,2 a2,3 (...) a2,n
Am,n = a3,1 a3,2 a3,3 (...) a3,n (1.2)
(...) (...) (...) (...) (...)
am,1 am,2 am,3 (...) am,n
Viene representada por una letra generalmente en mayúscula, y a veces acompañada por los subı́ndices
en minúscula m,n, los cuales representan el número m de filas y el número n de columnas. Conociendo el
númeron de filas y columnas podemos conocer el número de elementos de la matriz: m· n. La elección
de una fila o de una columna generalmente viene determinado por las letras {i, j} respectivamente.
Con esto, podemos buscar un valor de la matriz. Por ejemplo, el valor de la matriz 1.3, que corresponde
la fila número 2 y la columna 3 se escoge con {i, j} = {2, 3}, siendo a2,3 .
1.2.1 Ejercicio
Identificar elementos. Dispone de la siguiente matriz, donde cada valor es un conjunto de letras o
números:
3 6 X Y 54
I 578 HOLA 3/4 21
Bm=5,n=5 = Cuatro B 9 + 3 44 2x + 3
(1.3)
M atriz 666 W indows X43s2 x
1234 elemento 3024 x2 B2
Identifique cuantas filas y columnas tiene y el número total de elementos. Por último, halla los ele-
mentos correspondientes a b2,3 , b5,1 , b1,1 . b4,4 , b5,2 , b3.4 , b5,5 y b1,4 .
Solución: Primero, la matriz: ya nos indican cuantas filas y columnas tienen, pues en la matriz viene
escrita: m=5 filas y n=5 columnas, por lo tanto es una matriz 5x5. Aunque en este ejercicio te
especifique el número de filas y columnas, si no te lo dicen deberás contarlas todas.
Ahora, los elementos: recordando que tiene 5 filas y 5 columnas, el número total de elementos es
5x5=25.
Por último, los elementos. Sólamente debes conocer a qué fila y columna corresponde cada número y
hallarás el elemento deseado. Para el caso b2,3 , significa que este elemento se ubica en la fila 2, columna
3. Por tanto, corresponde b2,3 =HOLA. Si hacemos lo mismo con los otros elementos, hallaremos que
b5,1 =1234, b1,1 =3, b4,4 =X43s2, b5,2 =elemento, b3,4 =44, b5,5 =B2 y b1,4 =Y.
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