Fenòmens de Transport | Tema 4: Transport de Quantitat de Moviment | UAB
FENÒMENS DE TRANSPORT
Teoria — Tema 4: Transport de Quantitat de Moviment
Enginyeria Química · UAB · Curs 2025-2026
1. Objectius del Tema
Al final d'aquest tema l'estudiant ha de ser capaç de:
Comprendre el concepte de quantitat de moviment (QDM) i el balanç que el governa.
Identificar i calcular les forces que actuen sobre un element de fluid (forces màssiques i
superficials).
Conèixer i aplicar el tensor de tensions i la Llei de Newton de la viscositat en 1D i 3D.
Derivar i simplificar l'equació de Navier-Stokes per a geometries senzilles.
Obtenir el perfil de velocitats i el cabal en tubs cilíndrics (Hagen-Poiseuille) i canals rectangulars.
Introduir els conceptes de vorticitat, funció de corrent i equació de pressió per a fluxos 2D
incompressibles.
Diferenciar entre fluids newtonians i no newtonians a partir del reograma.
Conèixer les condicions de contorn típiques i la seva aplicació en la resolució de problemes.
2. Conceptes Clau — Glossari
Quantitat de moviment (QDM, p o mv): Producte de la massa d'un element fluid per la seva
velocitat. Vector. Unitats: kg·m/s.
Densitat de flux de QDM (τ): Quantitat de moviment transportada per unitat de temps i unitat
d'àrea. Equival a la tensió mecànica (Pa = N/m²). Tensor de 2n ordre.
Tensor de tensions (τ̄): Matriu 3×3 de nou components (τ_ij) que descriu les tensions normals
(i=j) i tangencials (i≠j) a totes les cares d'un element de fluid.
Tensió normal: Component del tensor amb i = j. Actua perpendicular a la cara (e.g., τ_xx).
Tensió tangencial (esforç tallant): Component del tensor amb i ≠ j. Actua paral·lela a la cara
(e.g., τ_xy, τ_yx). Per fluids newtonians, τ_ij = τ_ji (simetria).
Viscositat dinàmica (μ): Propietat del fluid que mesura la resistència al moviment per
lliscament. Unitats: kg/(m·s) = Pa·s.
Viscositat cinemàtica (ν): Rati ν = μ/ρ. Unitats: m²/s.
Fluid newtonià: Fluid per al qual la tensió és proporcional al gradient de velocitat: τ_yx = -μ
(dv_x/dy). La viscositat és constant.
Fluid no newtonià: Fluid per al qual la relació τ vs. (dv/dy) no és lineal (pseudoplàstic, dilatant,
plàstic de Bingham, etc.).
Reograma: Gràfica de la tensió tallant τ en funció del gradient de velocitat -dv_x/dy. Caracteritza
el tipus de fluid.
Equació de Navier-Stokes: Equació de balanç de QDM per a un fluid newtonià, incompressible
i amb μ constant. Equació vectorial.
Equació d'Euler: Cas límit de Navier-Stokes sense termes viscosos (fluid ideal o flux on la
viscositat és negligible).
Fenòmens de Transport · UAB · Curs 2025-2026 Pàgina 1 de 12
, Fenòmens de Transport | Tema 4: Transport de Quantitat de Moviment | UAB
Equació de Stokes: Cas límit de Navier-Stokes sense termes convectius (flux a Reynolds molt
baix: creeping flow).
Perfil de velocitats: Distribució espacial de la velocitat del fluid en una secció transversal (e.g.,
parabòlic en tub cilíndric).
Cabal volumètric (Q): Flux de volum per unitat de temps a través d'una secció. Unitats: m³/s.
Hagen-Poiseuille: Llei que dóna el cabal en un tub cilíndric: Q_L = πR⁴(P₀-P_L)/(8μL).
Vorticitat (ω): Rotació local del fluid: ω = ∇×v. En 2D: ω_z = ∂v_y/∂x - ∂v_x/∂y.
Funció de corrent (φ): Funció escalar tal que v_x = ∂φ/∂y, v_y = -∂φ/∂x. Satisfà automàticament
la condició d'incompressibilitat.
Condició d'adherència: Condició de contorn en la interfície fluid-sòlid: la velocitat del fluid a la
paret és igual a la velocitat de la paret (normalment 0).
3. Fonaments Teòrics
3.1 Quantitat de Moviment i la 2a Llei de Newton
La quantitat de moviment (QDM) d'un cos de massa m i velocitat v és el producte p = mv. La
Segona Llei de Newton ens diu que la variació temporal de la QDM és igual a la suma de forces
que actuen sobre el sistema:
dp/dt = ΣF [2a Llei de Newton]
En mecànica de fluids, l'equivalent s'escriu sobre un volum de control V fix a l'espai:
d/dt ∫∫∫_V ρv dV = -∮_S ρv(v·n) dS - ∮_S τ·n dS + ∫∫∫_V ρg dV [Balanç
integral de QDM]
On:
El terme de l'esquerra és la variació de QDM dins del volum de control.
El primer terme de la dreta és el flux net de QDM per convecció a través de la superfície S
(transport convectiu).
El segon terme és la força de les tensions superficials sobre el volum (transport molecular de
QDM).
El tercer terme és la força gravitatòria (força de camp o màssica).
En forma diferencial (per a un punt del fluid), aplicant el teorema de la divergència, s'obté l'equació
de conservació de QDM en forma vectorial.
CLAUS PER A LA RESOLUCIÓ DE PROBLEMES
Idea clau: les 'forces superficials' sobre un element de fluid (les tensions τ_ij) són precisament el
mecanisme de transport molecular de QDM, anàlogament a com el flux de calor q es transporta
per conducció en el Tema 5.
Per resoldre problemes: escriu la forma diferencial de l'equació, simplifica els termes que
siguin zero (estat estacionari? sense convecció? 1D?) i integra amb les condicions de
contorn.
3.2 Equació General de Conservació de QDM
La forma diferencial del balanç de quantitat de moviment per a un fluid comprensible és:
∂(ρv)/∂t + ∇·(ρvv) = -∇·τ̄ - ∇p + ρg [Eq. general de QDM (diap. 7-8 dels
apunts)]
Significat de cada terme:
∂(ρv)/∂t: Acumulació de QDM per unitat de volum.
Fenòmens de Transport · UAB · Curs 2025-2026 Pàgina 2 de 12
FENÒMENS DE TRANSPORT
Teoria — Tema 4: Transport de Quantitat de Moviment
Enginyeria Química · UAB · Curs 2025-2026
1. Objectius del Tema
Al final d'aquest tema l'estudiant ha de ser capaç de:
Comprendre el concepte de quantitat de moviment (QDM) i el balanç que el governa.
Identificar i calcular les forces que actuen sobre un element de fluid (forces màssiques i
superficials).
Conèixer i aplicar el tensor de tensions i la Llei de Newton de la viscositat en 1D i 3D.
Derivar i simplificar l'equació de Navier-Stokes per a geometries senzilles.
Obtenir el perfil de velocitats i el cabal en tubs cilíndrics (Hagen-Poiseuille) i canals rectangulars.
Introduir els conceptes de vorticitat, funció de corrent i equació de pressió per a fluxos 2D
incompressibles.
Diferenciar entre fluids newtonians i no newtonians a partir del reograma.
Conèixer les condicions de contorn típiques i la seva aplicació en la resolució de problemes.
2. Conceptes Clau — Glossari
Quantitat de moviment (QDM, p o mv): Producte de la massa d'un element fluid per la seva
velocitat. Vector. Unitats: kg·m/s.
Densitat de flux de QDM (τ): Quantitat de moviment transportada per unitat de temps i unitat
d'àrea. Equival a la tensió mecànica (Pa = N/m²). Tensor de 2n ordre.
Tensor de tensions (τ̄): Matriu 3×3 de nou components (τ_ij) que descriu les tensions normals
(i=j) i tangencials (i≠j) a totes les cares d'un element de fluid.
Tensió normal: Component del tensor amb i = j. Actua perpendicular a la cara (e.g., τ_xx).
Tensió tangencial (esforç tallant): Component del tensor amb i ≠ j. Actua paral·lela a la cara
(e.g., τ_xy, τ_yx). Per fluids newtonians, τ_ij = τ_ji (simetria).
Viscositat dinàmica (μ): Propietat del fluid que mesura la resistència al moviment per
lliscament. Unitats: kg/(m·s) = Pa·s.
Viscositat cinemàtica (ν): Rati ν = μ/ρ. Unitats: m²/s.
Fluid newtonià: Fluid per al qual la tensió és proporcional al gradient de velocitat: τ_yx = -μ
(dv_x/dy). La viscositat és constant.
Fluid no newtonià: Fluid per al qual la relació τ vs. (dv/dy) no és lineal (pseudoplàstic, dilatant,
plàstic de Bingham, etc.).
Reograma: Gràfica de la tensió tallant τ en funció del gradient de velocitat -dv_x/dy. Caracteritza
el tipus de fluid.
Equació de Navier-Stokes: Equació de balanç de QDM per a un fluid newtonià, incompressible
i amb μ constant. Equació vectorial.
Equació d'Euler: Cas límit de Navier-Stokes sense termes viscosos (fluid ideal o flux on la
viscositat és negligible).
Fenòmens de Transport · UAB · Curs 2025-2026 Pàgina 1 de 12
, Fenòmens de Transport | Tema 4: Transport de Quantitat de Moviment | UAB
Equació de Stokes: Cas límit de Navier-Stokes sense termes convectius (flux a Reynolds molt
baix: creeping flow).
Perfil de velocitats: Distribució espacial de la velocitat del fluid en una secció transversal (e.g.,
parabòlic en tub cilíndric).
Cabal volumètric (Q): Flux de volum per unitat de temps a través d'una secció. Unitats: m³/s.
Hagen-Poiseuille: Llei que dóna el cabal en un tub cilíndric: Q_L = πR⁴(P₀-P_L)/(8μL).
Vorticitat (ω): Rotació local del fluid: ω = ∇×v. En 2D: ω_z = ∂v_y/∂x - ∂v_x/∂y.
Funció de corrent (φ): Funció escalar tal que v_x = ∂φ/∂y, v_y = -∂φ/∂x. Satisfà automàticament
la condició d'incompressibilitat.
Condició d'adherència: Condició de contorn en la interfície fluid-sòlid: la velocitat del fluid a la
paret és igual a la velocitat de la paret (normalment 0).
3. Fonaments Teòrics
3.1 Quantitat de Moviment i la 2a Llei de Newton
La quantitat de moviment (QDM) d'un cos de massa m i velocitat v és el producte p = mv. La
Segona Llei de Newton ens diu que la variació temporal de la QDM és igual a la suma de forces
que actuen sobre el sistema:
dp/dt = ΣF [2a Llei de Newton]
En mecànica de fluids, l'equivalent s'escriu sobre un volum de control V fix a l'espai:
d/dt ∫∫∫_V ρv dV = -∮_S ρv(v·n) dS - ∮_S τ·n dS + ∫∫∫_V ρg dV [Balanç
integral de QDM]
On:
El terme de l'esquerra és la variació de QDM dins del volum de control.
El primer terme de la dreta és el flux net de QDM per convecció a través de la superfície S
(transport convectiu).
El segon terme és la força de les tensions superficials sobre el volum (transport molecular de
QDM).
El tercer terme és la força gravitatòria (força de camp o màssica).
En forma diferencial (per a un punt del fluid), aplicant el teorema de la divergència, s'obté l'equació
de conservació de QDM en forma vectorial.
CLAUS PER A LA RESOLUCIÓ DE PROBLEMES
Idea clau: les 'forces superficials' sobre un element de fluid (les tensions τ_ij) són precisament el
mecanisme de transport molecular de QDM, anàlogament a com el flux de calor q es transporta
per conducció en el Tema 5.
Per resoldre problemes: escriu la forma diferencial de l'equació, simplifica els termes que
siguin zero (estat estacionari? sense convecció? 1D?) i integra amb les condicions de
contorn.
3.2 Equació General de Conservació de QDM
La forma diferencial del balanç de quantitat de moviment per a un fluid comprensible és:
∂(ρv)/∂t + ∇·(ρvv) = -∇·τ̄ - ∇p + ρg [Eq. general de QDM (diap. 7-8 dels
apunts)]
Significat de cada terme:
∂(ρv)/∂t: Acumulació de QDM per unitat de volum.
Fenòmens de Transport · UAB · Curs 2025-2026 Pàgina 2 de 12
