Examen Junio 2010 — 2ª semana · Tipo C
Introducción a la Estadística · Grado en Economía · UNED · Razonamiento completo
Pregunta 1
Respuesta correcta: b) La frecuencia absoluta acumulada es el número de valores (o datos)
que hay igual al considerado e inferiores a él ●
RAZONAMIENTO
Teoría. En una tabla de distribución de frecuencias se ordenan los valores Xi de la variable y, para
cada uno, se anotan sus frecuencias. Conviene tener claros los cuatro conceptos:
· Frecuencia absoluta ni: número de veces que se repite el valor Xi (un recuento, siempre entero ≥ 0).
· Frecuencia relativa fi = ni/N: proporción sobre el total (entre 0 y 1); esta sí puede leerse como
porcentaje (×100).
· Frecuencia absoluta acumulada Ni: suma de las frecuencias absolutas desde el primer valor hasta Xi;
es decir, cuántos datos hay iguales o inferiores a Xi.
· Frecuencia relativa acumulada Fi = Ni/N: la anterior en proporción.
Fórmula — Frecuencia absoluta acumulada
donde:
• Ni: frecuencia absoluta acumulada hasta el valor Xi
• nj: frecuencia absoluta del valor Xj
• Σj≤i: suma de todos los valores iguales o inferiores a Xi
• N: tamaño total de la muestra (N = Núltimo)
Cálculo. Por definición, Ni cuenta cuántos datos hay iguales o inferiores a Xi. Eso es exactamente lo
que afirma la opción (b).
Por qué las otras no. (a) Falsa: lo que suma 1 es la frecuencia relativa (Σ fi = 1); la suma de las
frecuencias absolutas es N, no 1. (c) Falsa: la que se interpreta como porcentaje es la relativa (fi·100),
no la absoluta, que es un recuento entero. (d) No, porque (b) sí es correcta.
Pregunta 2
Respuesta correcta: b) ≈ 38,0 ●
RAZONAMIENTO
Teoría. La mediana (Me) es el valor que deja el 50 % de los datos por debajo y el 50 % por encima. Con
datos agrupados en intervalos se localiza primero el intervalo mediano (el primero cuya frecuencia
absoluta acumulada Ni alcanza N/2) y dentro de él se interpola suponiendo la frecuencia repartida de
forma uniforme.
, Fórmula — Mediana en datos agrupados (interpolación)
donde:
• Li-1: límite inferior del intervalo mediano
• N: tamaño total de la muestra (N = Σ ni)
• Ni-1: frecuencia absoluta acumulada antes del intervalo mediano
• ni: frecuencia absoluta del intervalo mediano
• ai: amplitud del intervalo mediano (Li – Li-1)
Cálculo. N = 2+10+15+7+6 = 40 » N/2 = 20. Acumuladas: 2 » 12 » 27 » 34 » 40. El 20 se alcanza por
primera vez en (25, 50] (acumulada salta de 12 a 27), así que ese es el intervalo mediano: Li-1=25,
Ni-1=12, ni=15, ai=25.
Me = 25 + ((20 – 12)/15)·25 = 25 + (8/15)·25 = 25 + 13,3 = 38,3 ≈ 38,0. Respuesta (b).
Por qué las otras no. (a) 20,0 confunde N/2 con la mediana. (c) 37,5 sale de usar mal los
límites/amplitud. (d) 75,5 desborda por completo el intervalo mediano (25, 50].
Aclaración del profesor — pregunta 2
Me = 25 + (20 – 12)/15 · 25 = 38,3■ (38,33…).
Pregunta 3
Respuesta correcta: c) ≈ 21,25 ●
RAZONAMIENTO
Teoría. La moda (Mo) es el valor más frecuente. Con intervalos de amplitud desigual NO se compara la
frecuencia absoluta, sino la densidad de frecuencia hi = ni/ai (frecuencia por unidad de amplitud); el
intervalo modal es el de mayor densidad. Dentro de él se interpola con las densidades de los intervalos
contiguos.
Fórmula — Moda en datos agrupados de amplitud desigual
Mo = Li-1 + ( hi+1 / (hi-1 + hi+1) ) · ai ; hi = ni / ai
donde:
• Li-1: límite inferior del intervalo modal
• hi: densidad del intervalo modal (la mayor de todas)
• hi-1, hi+1: densidades de los intervalos anterior y posterior
• ai: amplitud del intervalo modal
Cálculo. Densidades h = n/amplitud: [0,10]»2/10=0,2 ; (10,25]»10/15=0,67 ; (25,50]»15/25=0,6 ;
(50,100]»7/50=0,14 ; (100,200]»6/100=0,06. La mayor es (10,25] » intervalo modal (Li-1=10, ai=15). Con
las densidades contiguas hi-1=0,2 (anterior) y hi+1=0,6 (posterior):
Mo = 10 + (0,6/(0,6 + 0,2))·15 = 10 + 0,75·15 = 21,25. Respuesta (c).
Por qué las otras no. (a) 15,00 ignora la interpolación. (b) 25,41 se sale del intervalo modal (10, 25]. (d)
3,20 no corresponde a ninguna marca ni límite razonable.
Introducción a la Estadística · Grado en Economía · UNED · Razonamiento completo
Pregunta 1
Respuesta correcta: b) La frecuencia absoluta acumulada es el número de valores (o datos)
que hay igual al considerado e inferiores a él ●
RAZONAMIENTO
Teoría. En una tabla de distribución de frecuencias se ordenan los valores Xi de la variable y, para
cada uno, se anotan sus frecuencias. Conviene tener claros los cuatro conceptos:
· Frecuencia absoluta ni: número de veces que se repite el valor Xi (un recuento, siempre entero ≥ 0).
· Frecuencia relativa fi = ni/N: proporción sobre el total (entre 0 y 1); esta sí puede leerse como
porcentaje (×100).
· Frecuencia absoluta acumulada Ni: suma de las frecuencias absolutas desde el primer valor hasta Xi;
es decir, cuántos datos hay iguales o inferiores a Xi.
· Frecuencia relativa acumulada Fi = Ni/N: la anterior en proporción.
Fórmula — Frecuencia absoluta acumulada
donde:
• Ni: frecuencia absoluta acumulada hasta el valor Xi
• nj: frecuencia absoluta del valor Xj
• Σj≤i: suma de todos los valores iguales o inferiores a Xi
• N: tamaño total de la muestra (N = Núltimo)
Cálculo. Por definición, Ni cuenta cuántos datos hay iguales o inferiores a Xi. Eso es exactamente lo
que afirma la opción (b).
Por qué las otras no. (a) Falsa: lo que suma 1 es la frecuencia relativa (Σ fi = 1); la suma de las
frecuencias absolutas es N, no 1. (c) Falsa: la que se interpreta como porcentaje es la relativa (fi·100),
no la absoluta, que es un recuento entero. (d) No, porque (b) sí es correcta.
Pregunta 2
Respuesta correcta: b) ≈ 38,0 ●
RAZONAMIENTO
Teoría. La mediana (Me) es el valor que deja el 50 % de los datos por debajo y el 50 % por encima. Con
datos agrupados en intervalos se localiza primero el intervalo mediano (el primero cuya frecuencia
absoluta acumulada Ni alcanza N/2) y dentro de él se interpola suponiendo la frecuencia repartida de
forma uniforme.
, Fórmula — Mediana en datos agrupados (interpolación)
donde:
• Li-1: límite inferior del intervalo mediano
• N: tamaño total de la muestra (N = Σ ni)
• Ni-1: frecuencia absoluta acumulada antes del intervalo mediano
• ni: frecuencia absoluta del intervalo mediano
• ai: amplitud del intervalo mediano (Li – Li-1)
Cálculo. N = 2+10+15+7+6 = 40 » N/2 = 20. Acumuladas: 2 » 12 » 27 » 34 » 40. El 20 se alcanza por
primera vez en (25, 50] (acumulada salta de 12 a 27), así que ese es el intervalo mediano: Li-1=25,
Ni-1=12, ni=15, ai=25.
Me = 25 + ((20 – 12)/15)·25 = 25 + (8/15)·25 = 25 + 13,3 = 38,3 ≈ 38,0. Respuesta (b).
Por qué las otras no. (a) 20,0 confunde N/2 con la mediana. (c) 37,5 sale de usar mal los
límites/amplitud. (d) 75,5 desborda por completo el intervalo mediano (25, 50].
Aclaración del profesor — pregunta 2
Me = 25 + (20 – 12)/15 · 25 = 38,3■ (38,33…).
Pregunta 3
Respuesta correcta: c) ≈ 21,25 ●
RAZONAMIENTO
Teoría. La moda (Mo) es el valor más frecuente. Con intervalos de amplitud desigual NO se compara la
frecuencia absoluta, sino la densidad de frecuencia hi = ni/ai (frecuencia por unidad de amplitud); el
intervalo modal es el de mayor densidad. Dentro de él se interpola con las densidades de los intervalos
contiguos.
Fórmula — Moda en datos agrupados de amplitud desigual
Mo = Li-1 + ( hi+1 / (hi-1 + hi+1) ) · ai ; hi = ni / ai
donde:
• Li-1: límite inferior del intervalo modal
• hi: densidad del intervalo modal (la mayor de todas)
• hi-1, hi+1: densidades de los intervalos anterior y posterior
• ai: amplitud del intervalo modal
Cálculo. Densidades h = n/amplitud: [0,10]»2/10=0,2 ; (10,25]»10/15=0,67 ; (25,50]»15/25=0,6 ;
(50,100]»7/50=0,14 ; (100,200]»6/100=0,06. La mayor es (10,25] » intervalo modal (Li-1=10, ai=15). Con
las densidades contiguas hi-1=0,2 (anterior) y hi+1=0,6 (posterior):
Mo = 10 + (0,6/(0,6 + 0,2))·15 = 10 + 0,75·15 = 21,25. Respuesta (c).
Por qué las otras no. (a) 15,00 ignora la interpolación. (b) 25,41 se sale del intervalo modal (10, 25]. (d)
3,20 no corresponde a ninguna marca ni límite razonable.
