Vektorgeometrie lineare Algebra Zusammenfassung /Lernzettel Abitur

Von Hannah Lachen maier 1316




..„.i÷÷÷:
vektorgrafik
Äußere
•




Gegen vektoren :
Addition :



↳
Eindeutigerer 4 Addition erfolgt komponentenweise IN DREI DIMENSIONEN
jeder Komponente ä
(G) f) =/ ! ! ! !!)
↳ in
=
. +
Vorzeichen vertauschen

= ä .


) ↳

Verbindungsvektor : ( bzw .

Richtung > vektor )
'
4 die Differenz von zwei Ortsvektoren

Ä
"
z a
p
-
-
=


I ^
Skalar multiplikativ :
/ 4 Spitze
③ D8 088
-


Fuß \

.
.

4 Vektoren können mit reellen
f- 1 -
n
2
•




"

: : : : : : "

÷ .




4 P ( Xs 1×21 )
4 hat die Länge o jeder Vektor hat eine
Länge ,
4 × }

3
4 einziger Vektor ohne
Richtung 4

( ¥! )
Boden :
xnxz
-

Ebene
i z

¥ (§ )
-
,
_
=

×
=
4 Xs
-

Achse ist um z verkürzt
und liegt im 450 Winkel nach
vorne links
+1 -
3 -




DREI KOORDINATEN EBENEN
1) Parameter form : # =
¥ t rü tsv Iris C- IR



xnxz Ebene : # =
ist ! )
MITTELPUNKT
-




* X3
-

Ebene : # =
ts ( %)
(% )
einer
Ö Ä ¥
Gfgeecfzln
sind heißt Xzx } Ebene :
r
+
gegeben s
=
zwei Vektoren und die Summe
-



, so



r . Ö t s '
Ä i r , s ER Linearkombination von Ö und Ä 2) Normalen form :
E :
( ¥ ¥) #
-
.
=
0


Zwei Vektoren Ä und Ä sind / heißen linear
abhängig wenn einer ×, Xz
-

Ebene : ¥ ( §) - =
0

) ÖÄ { ( ÖÄ
,


Ä Ä) ^
= + ÖÄ ) ¥ /! )
der Vektoren ein skalares Vielfaches des anderen ist ( =
r ×, ×} -

Ebene : .
=
0


linear
abhängig =
parallel Xzx }
-
Ebene :
¥ ° =
0

2) OTÜ =
ÖÄ t E •
ÄÄ 3) Koordinaten form :

Überprüfung bei Krummen Zahlen : LGS ( es muss 3 × selbe Zahl rauskommen )
×, Xz
-

Ebene :
Xs
=
O


Xs X3 Ebene

0×2×3
-
: =
xz

-
Ebene :
× =
0
,

, umrennen
EBENEN & GERADEN
lage von zwei Geraden

Gerade aufstellen die zwei Punkte
durch geht :
( A und B) Gibt es ein r ? ( vielfaches )

1) ÄÖ berechnen ( Ü ö)
-




2) ÄÄ länger machen
„
"
( r . ÄB ) -4
beliebige Variable Nein Ja


3) r . ATÖ im Raum festbinden "
mit Ortsvektor (
→
OA t r ' ÄB ) ; überkreuzt oder
anders
liegend
d parallel oder
„
identisch
4) vollständige Gerade : = ÖÄ t r . ÄB ; r c- IR
d linear
unabhängig ! Linear
abhängig


Frage liegt : Punkt auf Geraden ?

Punkt probe
gleichsetzen
1) P
gleichsetzen mit Gerade

"
→ "
2) „ LGS kommt für r drei mal das
gleiche raus : P
liegt auf Geraden
lösbar
„
Lösbar Nicht lösbar Nicht lösbar

; schneiden sich und h sind
4g und h sind d p liegt nicht
Welcher weiterer Punkt 4g
liegt auf Geraden ? windschief identisch auf h
4 parallel &

1) Zahl die man für r raus bekommen hat in
Gleichung einsetzen verschieden

↳ Vektor ist dann Pz



^
X3


xzxs Ebene
skalarprodukt
-




>
ergibt immer eine reelle Zahl !
> :
=L:) ¥:) - %: "- .




>
Orthogonalität überprüfen :
kreuzprodukt
(¥!)
zwei Vektoren sind
orthogonal ( senkrecht) ,
Xnxz
-
Ebene wenn dessen Skalarprodukt o ist = > kommt immer ein Vektor raus !
→ →
a b =
0
,
× ?
>
Verwendung Berechnung
: eines dritten
Vektors ; Flächeninhalt
> n -
Vektor bestimmen : steht immer
Berechnung
senkrecht zur Ebene

P ( 01×21×3 ) auf xzxg
-

Ebene ; ü =
o und ¥ . # =
o
> Schreibweise axb
bei


)
.




Er }
| !!!!
' axb azbs -
a
} bz
bz
=
| LOS anwenden um n zu ermitteln : / =

( Xnl 01×3 )
!!
P auf 4×3 Ebene
! b}
-




.
man , nzaz + nsa }
=
o
^
an bs
→
P ( Xs / Xz / O ) auf Xy Xz
-

Ebene
°
Mbr + nzbz + nsb 3=0
T
az bz
b
ab 3

→ >
P ( ×, 1010 ) auf xn -
Achse
Länge eines Vektors bestimmen :
erste &
letzte Zeile
" tat ?
P ( 01×210 ) an tata
e-

M → auf Achse
= ?
werden raus
xz
- -



}
gestrichen !
>
Winkel zwischen zwei Vektoren :




4 costa) Ä Ä
)
.




( TR
=

auf D !
Iäl .
,
Xs X3 -
Ebene