Campos homogéneos
Recordamos que:
es conservativo en un abierto conexo si y sólo si ∃ : ∇ =
Si es conservativo = −
en un abierto conexo
=0
´ es simétrica
Función homogénea
Una función definida en un abierto ⊆ es homogénea de grado ( ∈ ) si para todo > 0
resulta:
=
El exponente es el grado de homogeneidad de la función.
, = = − %, ya que
√!"√# $
!"#
Ejemplo 1: La función es homogénea de grado
√ +' √ √ +√ ' √ √ +'
= , = = = = ($⁄%
,
+ + +
+
Ejemplo 2: La función , = * , es homogénea de grado = 2, ya que
.! !
= , = * .# = %
*# = %
,
Campo homogéneo
Un campo vectorial definido en un abierto ⊆ es homogéneo de grado ( ∈ ) si las
funciones que lo componen son continuas y tienen derivadas parciales primeras continuas en ,y
además dichas funciones son homogéneas del mismo grado de homogeneidad.
+ +
Ejemplo 3: El campo , = / * , , * , 0 es homogéneo de grado = 1 en todo el plano privado
de la recta = 0 (donde está definido), ya que:
, .! .! ! ! ! !
= , =2 * .# , * .# 3 = / *#, *#0 = / *#, *#0 =
El campo es homogéneo donde está definido, es decir en todo %
privado de la recta = 0.
, ,4 = / , , 0 es homogéneo de grado
! # 6
'! 5 "# 5 "6 5 '!5 "# 5"65 '! 5 "# 5 "6 5
Ejemplo 4: El campo
= 0 en todo 7
privado del origen (donde está definido), ya que
4
= , , 4 =2 , , 3=
' % % + % % + %4% ' % % + % % + %4% ' % % + % % + %4%
4
=2 , , 3=
√ % ' % + % + 4% √ % ' % + % + 4% √ % ' % + % + 4%
4
= 2 , , 3=
√ % ' % + % + 4% ' % + % + 4% ' % + % + 4%
4
= 8
2 , , 3= 8
' % + % + 4% ' % + % + 4% ' % + % + 4%
Importante
Si es un campo homogéneo de grado ≠ −1 en un abierto conexo de %
o de 7
, y la matriz
jacobiana del campo : ´ ; es simétrica, entonces el campo es conservativo en , y un potencial está
dado por la fórmula:
1
= .
+1
, ,4 = / , , 0
! # 6
'!5 "# 5 "6 5 '!5 "# 5 "65 '! 5 "# 5 "6 5
Ejemplo 5: Hallar un potencial del campo
El campo es homogéneo de grado = 0 en todo 7
privado del origen (abierto conexo).
Un potencial se calcula:
1 1 4
= . = , ,4 .2 , , 3=
+1 0+1 ' % + % + 4% ' % + % + 4% ' % + % + 4%
% %
4% %
+ %
+ 4%
=1 2 + + 3=
' % + % + 4% ' % + % + 4% ' % + % + 4% ' % + % + 4%
Racionalizando obtenemos
Recordamos que:
es conservativo en un abierto conexo si y sólo si ∃ : ∇ =
Si es conservativo = −
en un abierto conexo
=0
´ es simétrica
Función homogénea
Una función definida en un abierto ⊆ es homogénea de grado ( ∈ ) si para todo > 0
resulta:
=
El exponente es el grado de homogeneidad de la función.
, = = − %, ya que
√!"√# $
!"#
Ejemplo 1: La función es homogénea de grado
√ +' √ √ +√ ' √ √ +'
= , = = = = ($⁄%
,
+ + +
+
Ejemplo 2: La función , = * , es homogénea de grado = 2, ya que
.! !
= , = * .# = %
*# = %
,
Campo homogéneo
Un campo vectorial definido en un abierto ⊆ es homogéneo de grado ( ∈ ) si las
funciones que lo componen son continuas y tienen derivadas parciales primeras continuas en ,y
además dichas funciones son homogéneas del mismo grado de homogeneidad.
+ +
Ejemplo 3: El campo , = / * , , * , 0 es homogéneo de grado = 1 en todo el plano privado
de la recta = 0 (donde está definido), ya que:
, .! .! ! ! ! !
= , =2 * .# , * .# 3 = / *#, *#0 = / *#, *#0 =
El campo es homogéneo donde está definido, es decir en todo %
privado de la recta = 0.
, ,4 = / , , 0 es homogéneo de grado
! # 6
'! 5 "# 5 "6 5 '!5 "# 5"65 '! 5 "# 5 "6 5
Ejemplo 4: El campo
= 0 en todo 7
privado del origen (donde está definido), ya que
4
= , , 4 =2 , , 3=
' % % + % % + %4% ' % % + % % + %4% ' % % + % % + %4%
4
=2 , , 3=
√ % ' % + % + 4% √ % ' % + % + 4% √ % ' % + % + 4%
4
= 2 , , 3=
√ % ' % + % + 4% ' % + % + 4% ' % + % + 4%
4
= 8
2 , , 3= 8
' % + % + 4% ' % + % + 4% ' % + % + 4%
Importante
Si es un campo homogéneo de grado ≠ −1 en un abierto conexo de %
o de 7
, y la matriz
jacobiana del campo : ´ ; es simétrica, entonces el campo es conservativo en , y un potencial está
dado por la fórmula:
1
= .
+1
, ,4 = / , , 0
! # 6
'!5 "# 5 "6 5 '!5 "# 5 "65 '! 5 "# 5 "6 5
Ejemplo 5: Hallar un potencial del campo
El campo es homogéneo de grado = 0 en todo 7
privado del origen (abierto conexo).
Un potencial se calcula:
1 1 4
= . = , ,4 .2 , , 3=
+1 0+1 ' % + % + 4% ' % + % + 4% ' % + % + 4%
% %
4% %
+ %
+ 4%
=1 2 + + 3=
' % + % + 4% ' % + % + 4% ' % + % + 4% ' % + % + 4%
Racionalizando obtenemos
