, Algebraiese Uitdrukkings
TERMINOLOGIE: PRODUKTE
1. Eenterm deur ‘n Polinoom 4. Verskil van Twee Vierkante 6. Gemengde Vrae
Numeriese koëffisiënt: Die nommer voor ‘n veranderlike. Gebruik die distributiewe wet Die 2 tweeterme is dieselfde behalwe vir die Volg BODMAS
tekens. Die een is plus en die ander een is 1. Vereenvoudig die hakkies indien moontlik
Veranderlike: ‘n algebraïes letter(s) wat gebruik word om VOORBEELD minus. Die buitenstes en binnestes is is tee- 2. Kwadreer die tweeterm , EBBA of Tweeterm
‘n onbekend voor te stel. 2a 2 (3a 2 + 4a b − a 3c) noorgesteldes van mekaar so die antwoord is maal drieterm
= (2a 2 × 3a 2 ) + (2a 2 × 4a b) + (2a 2 × −a 3c) slegse Eerstes minus die laastes gekwadreer 3. Distributiewe wet
Konstante: ‘n Numeriese term 4. Plus en Minus gelyksoortige terme
= 6a 4 + 8a 3b − 2a 5c
VOORBEELD
Algebraïese Uitdrukking: ‘n wiskundige uitdrukking = − 2a 5c + 6a 4 + 8a 3b (3a − 2b)(3a + 2b) VOORBEELD
opgemaak uit en of meer terme wat geskei word deur plus 4x (4x y − 16y + 12) − (2x + y)(x − y)
= (3a)2 − (2b)2
(+) en minus (-). 2. Tweeterm met ‘n Tweeterm
= 9a 2 − 4b 2 = 4x (4x y − 16y + 12) − (2x 2 − 2x y + x y − y 2 )
Gebruik EBBA metode (Eerstes, Buitenste, Binneste,
Polinoom: ‘n algebraïes uitdrukking waar die eksponente Agterstes) = 16x 2 y − 64x y + 48x − 2x 2 + 2x y − x y + y 2
van die veranderlike natuurlike getalle is. VOORBEELD = − 2x 2 + 16x 2 y + 48x − 63x y + y 2
Eenterm v.b. 4 of 2a 2 b c (een term) VOORBEELD (5x − 7y 2 )(5x + 7y 2 )
Tweeterm v.b. 6x + 2y (twee terme) (a − b)(x + y) = 25x 2 − 49y 4 VOORBEELD
Drieterm v.b. 6x 2 − 5x + 4 (drie terme) = (a × x) + (a × y) + (−b × x) + (−b × y) = 3(a 2 + 3a − 10) − 2(a 2 − 6a + 9) + 2(a 2 − 4)
E B B A VOORBEELD = 3a 2 + 9a − 30 − 2a 2 + 12a − 18 + 2a 2 − 8
Graad: is die hoogste waarde van ‘n eksponent van ‘n [(a − b) + 5][(a − b) − 5]
= a x + ay − bx − by = 3a 2 + 21a − 56
spesifieke veranderlike in ‘n algebraïes uitdrukking.
= (a − b)2 − 25
(v.b.. 7x 3 − 3x y + 8x 6 + 4 het ‘n 6de graad in x en 1st graad
in y) VOORBEELD = a 2 − 2a b + b 2 − 25
(2x + y)(3x − 4y)
Gelyksoortige terme: is terme met dieselfde veranderlikes = (2x × 3x) + (2x × −4y) + (y × 3x) + (y × −4y) 5. Tweeterm deur ‘n Drieterm
met dieselfde eksponente, koëffisiënte mag verskil = 6x 2 − 8x y + 3x y − 4y 2 (plus gelyksoortige terme) Maal elke term in die tweeterm word gemaal
1
(v.b. 6a 2 b en − a 2 b ) = 6x 2 − 5x y − 4y 2 deur elke term van die drieterm en dan word
2 gelyksoortige terme bymekaar getel.
3. Vierkant van Tweeterm
Ongelyksoortige terme: terme waar die veranderlikes
Stap 1: Kwadreer die eerste term VOORBEELD
verskil (v.b. 2x , 2x 2 en 3x y )
Stap 2: Maal die eerste term met die tweede (a − 2)(a 2 − a + 1)
term en verdubbel die antwoord = a (a 2 ) + a (−a) + a (1) − 2(a 2 ) − 2(−a) − 2(1)
Stap 3: Kwadreer die laaste term
VEREENVOUDIG ALGEBRAÏESE = a 3 − a 2 + a − 2a 2 + 2a − 2
UITDRUKKINGS VOORBEELD = a 3 − 3a 2 + 3a − 2
( p + 2r)2
Gebruik HVDMOA/BODMAS reël maar kan slegs gelyksoortige = ( p)2 + ( p × 2r) × 2 + (2r)2 VOORBEELD
terme bymekaar tel of aftrek en skryf die antwoord met ( p + q)( p 2 − p q + q 2 )
= p 2 + 4pr + 4r 2
onbekendes in alfabetiese orde en term in afnemend orde = p3 − p2q + p q2 + p2q − p q2 + q3
van magte.
VOORBEELD = p 3 + q 3 (som van 2 derdemagte)
VOORBEELD (3a − 4b)2
Vereenvoudig die volgende: = (3a)2 + (3a × −4b) × 2 + (−4b)2 VOORBEELD
1. 6b c a − 7a b c + 4a 2 b c − 3c a b + b c a 2 (3a − 2b)(9a 2 + 6a b + 4b 2 )
= 9a 2 − 24a b + 16b 2
= b c a 2 + 4a 2 b c + 6b c a − 7a b c − 3c a b = 27a 3 + 18a 2 b + 12a b 2 − 18a 2 b − 12a b 2 − 8b 3
= 5a 2 b c − 4a b c NOTA: die tweede stap in die voorbeelde is nie ge- = 27a 3 − 8b 3 (verskil van 2 derdemagte)
woonlik gewys nie.
2. 6x − 4x 2 − 8x + x 3 − x 2 + 7x − 3x 3
= − 3x 3 + x 3 − 4x 2 − x 2 + 6x − 8x + 7x
= − 2x 3 − 5x 2 + 5x
Bl. 2
, Graad 10 Wiskunde Kernkonsepte
Algebraiese Uitdrukkings
FAKTORISERING 3. Verskil van Twee Vierkante 5. Drieterme:
Faktorisering is die omgekeerde bewerking van produkte, Vierkants wortel van die eerte term, minus die vierkants wortel van die 2de STAPPE:
d.w.s ons wil die hakkies terug plaas in die som in. term in die eerste hakkie, daarna vierkants wortel van die eerte term, plus 1. Plaas in standaard vorm a x 2 + b x + c
die vierkants wortel van die 2de term in die tweede hakkie. 2. Maal die koeffisiente van die 1ste en 3de term (m.a.w. a × c)
STAPPE 3. Bereken b deur te bepaal die faktore van jou antwoord in (2) wat
1. Kry eerste die grootste gemene faktor VOORBEELDE optel indien + c of aftrek indien −c
2. Indien dit ‘n tweeterm is, kyk of dit die verkil van twee Faktoriseer volledig: 4. Skryf met die middelterm wat gekei is in buitenstes en binnestes
vierkante of die som/verskil van twee derde magte is 1. 4a 2 − 64b 2 Onthou om 1ste te kyk vir GGF 5. Faktoriseer deur te gropeeer
3. Indien dit ‘n drieterm is, skryf eers in a x 2 − b x + c, = 4(a 2 − 16b 2)
vorm en faktoriseer dan VOORBEELDE
4. Indien 4 of meer terme groepeer ons deur na patrone = 4(a − 4b)(a + 4b) Faktoriseer volledig:
a ×c = 3×2 = 6
te soek, bv. Verskil van vierkante/volkome vierkante 1. 3x 2 + 7x + 2
of drieterme 2. x 2 (x
− k) + y 2 (k − x) Verandering van teken c = + 2; + faktore;
= 3x 2 + 6x + 1x + 2
5. Moet nie vergeet om so ver moontlik te faktoriseer nie = x 2 (x − k) − y 2 (x − k) Gebruik (x − k) as ‘ onbekende 2×3 ; 2+ 3= 5
= 3x (x + 2) + (x + 2)
6. Onthou dat terme in hakkies as ‘n onbekend gesien 1×6 ; 1+ 6 = 7
= (x − k)(x 2 − y 2 ) 2de hakkie is verskil van vierkante = (x + 2)(3x + 1)
kan word
= (x − k)(x − y)(x + y) Beide terme + as
middel term is + is
1. Grootste Gemeenskaplike Faktor (GGF): 3. (a − b)2 − (2a + b)2
Die omgekeerde van distrubusie/verspreiding a × c = 6 × 12 = 72
= [(a − b) − (2a + b)][(a − b) + (2a + b)] 2. 6a 2 − 17a b + 12b 2 c = + 12; + faktore;
VOORBEELDE = [a − b − 2a − b][a − b + 2a + b] = 6a 2 − 9a b − 8a b + 12b 2 9 × 8 ; 9 + 8 = 17
Faktoriseer volledig: = (−a − 2b)(3a) = 3a (2a − 3b) − 4b (2a − 3b)
1. 6y 2 + 12y = − 3a (a + 2b) = (2a − 3b)(3a − 4b) Beide terme – as
= 6y (y + 2) 4. Groepering middel term is –
Gebruik by 4 of meer terme. Groepeer en haal GGF uit. Groepe kan gevorm
2. 3a (2a − b) − a 2 (2a − b) Gebruik (2a − b) as ‘n onbekende word deur die GGF, Verskil van vierkante of volkome vierkantenin ag te neem. a × c = 3 × 6 = 18
= a (2a − b)(3 − a) 3. 3p 2+ 7p − 6 c = − 6; – faktore;
VOORBEELDE 9×2 ; 9−2 = 7
Faktoriseer volledig: = 3p 2 + 9p − 2p − 6
3. x (x − y) − 4(x − y)2 Gebruik (x − y) as ‘n onbekende = 3p ( p + 3) − 2( p + 3)
1. 9d + b c − b d − 9c Grootse faktor kry
= (x − y)[x − 4(x − y)] Vereenvoudig 2de hakkie = ( p + 3)(3p + 2)
= (9d − 9c) + (b c − b d ) GGF in elke hakkie die middel teken
= (x − y)[x − 4x + 4y]
= 9(d − c) + b (c − d ) Verandering van teken
= (x − y)(−3x + 4y) a × c = 1 × 18 = 18
= 9(d − c) − b (d − c) Doen nou die GGF
= − (x − y)(3x − 4y) c = − 3; – faktore;
= (d − c)(9 − b)
4. 2x 2 − 6x − 36 6×3 ; 3−6 = −3
2. Verandering van tekens:
2. 2a − 3b + 4a 2 − 9b 2 = 2(x 2 − 3x − 18) (GGF)
Verander die teken in ‘n hakkie om die faktore dieselfde te = 2(x 2 − 6x + 3x − 18)
maak = (2a − 3b) + (4a 2 − 3b 2 ) 2de hakkie is verskil van twee vierkante Grootse faktor kry
= (2a − 3b) + (2a − 3b)(2a + 3b) Doen nou die GGF = 2[x (x − 6) + 3(x − 6)] die middel teken
NOTA: = (2a − 3b)(1 + 2a + 3b) = 2(x + 3)(x + 6)
(b + a) = (a + b) maar (b − a) ≠ (a − b)
3. 25a 2 − p 2 − 12p q − 36q 2 5. Volkome vierkant drieterm
verander die teken soos volg: Groepeer die laaste drie terme omdat
= 25a 2 − ( p 2 + 12p q + 36q 2 ) a) 4m 2 − 12m n + 9n2
(b − a) = − 1(a − b) hulle volkome vierkant drieterm maak 2
= 25a 2 − ( p + 6q)2 VVTV = ( 4m 2 − 9n2 ) (eerste term en laaste term is
VOORBEELD = [5a − ( p + 6q)][5a + ( p + 6q)] volkome vierkante)
= (2m − 3n)2
4a (a − 2b) − 6(2b − a) = (5a − p − 6q)(5a + p + 6q)
= 4a (a − 2b) + 6(a − 2b) b) 49p 4 + 84p 2 + 36
= 2(a − 2b)(2a + 3) = (7p 2 + 6)2
Bl. 3
, Graad 10 Wiskunde Kernkonsepte
Algebraiese Uitdrukkings
FAKTORISERING (opvolg) ALGEBRAISE BREUKE
6. Som of verskil van twee derdemagte: VOORBEELDE: 2. Vereenvoudiging van breuke met optel en aftrek van breuke.
STAPPE: x2 − x − 6 STAPPE:
1.
Voorbeeld: 8a 3 + 27 x2 − 9 1. Faktoriseer die teller(s) (en die noemer(s) as dit nodig is).
(x − 3)(x + 2) 2. Kanselleer gelyksoortige terme in elke term indien daar is
1. Eerste hakkie (tweeterm): = 3. Bepaal die Kleinste Gemene Noemer (kGN)
(x − 3)(x + 3)
a. Derdemagswortel oor twee terme met teken 4. Plaas elke term oor die KGN deur ekwivalente breuke te maak
tussen in (x − 3)(x + 2) 5. Vereenvoudig deur uit te maal in die teller en kry die som van gelyksoortige terme
= 6. Faktoriseer die teller indien moontlik en kanselleer gelyksoortige terme.
( 8a + 27 )
3 3 3 (x − 3)(x + 3)
(x + 2) 3x 2 3 3x 3a − 4 4a
= (2a + 3) = 1. − − 2. −
(x + 3) x2 − x − 6 x − 3 x + 2 3a 2 − a − 4 a 2 − 2a − 3
2. Tweede hakkie (drieterm): 3x 2 3 3x (3a − 4) 4a
a. Kwadreer eerste term = − − = −
(x − 3)(x + 2) (x − 3) (x + 2) (3a − 4)(a + 1) (a − 3)(a + 1)
b. 1ste term x 2de term met die teenoorgestelde 12y − 4x −4x 2 + 14x y − 10y 2
2. × 1(a − 3) 4a
teken as in die eerste term 12x − 30y 8x − 24y 3x 2 − 3x − 6 − 3x 2 + 9x = −
c. plus die 2nd term gekwadreer = (a + 1)(a − 3) (a + 1)(a − 3)
(x − 3)(x + 2)
(2a)2 − (2a × 3) + (3)2 −4(x − 3y) −2(2x 2 − 7x y + 5y 2 )
= × 1(a − 3) − 4a
2.a. 2.b. 2.c. 6(2x − 5y) 8(x − 3y) 6x − 6 =
= (a + 1)(a − 3)
= (4a2 − 6a + 9) (x − 3)(x + 2)
8(2x − 5y)(x − y)
= −3a − 3
8a 3 + 27 = (2a + 3)(4a 2 − 6a + 9) 48(2x − 5y) 6(x − 1) =
= (a + 1)(a − 3)
(x − 3)(x + 2)
(x − y)
= −3(a + 1)
6 =
VOORBEELDE: (a + 1)(a − 3)
1. 8h 3 − 125g 3
= (2h − 5g )(4h 2 + 10g h + 25g 2 ) −3
a 2 − a b − 2b 2 a 2 − 4a b + 4b 2 =
3. ÷ (a − 3)
a 2 + 2a b + b 2 a+ b
2. 24t 3 + 1029 (a − 2b)(a + b) (a − 2b)2 3. Beperkings op Breuke
= 3(8t 3 + 343) = ÷
(a + b)2 (a + b) Alle breuke met onbekendes in hul noemers, sal beperkings hê, omdat die noemer nooit
= 3(2t + 7)(4t 2 − 14t + 49)
gelyk mag wees aan nul nie. As die noemer nul word, maak dit die breuk ongedefineerd
(a − 2b)(a + b) (a + b)
= × VOORBEELD:
(a + b)(a + b) (a − 2b)(a − 2b) VOORBEELD:
216 Bepaal die beperkings op die volgende
3. a 3 − Bepaal die waarde van x waarvoor die
a3 1 breuk ongedefineerd sal wees: breuk:
6 36 =
= (a − )(a 2 + 6 +
a2 )
a − 2b
a 7x 2x − b 4x − 2
1. 3. 1.
x −1 3x − 2b x2 − 1
1. Vereenvoudiging van ‘n breuk met 5b + 5 6 − 4b 2a + 4a b
vermenigvuldiging en deel 4. × ÷ x −1= 0 3x − 2b = 0
2b 2 − b − 3 5b 2 + 10b + 5 2b 2 + 3b + 1 x2 − 1 ≠ 0
x = 1 2b
x =
STAPPE: 5(b + 1) −2(2b − 3) 2a (1 + 2b) 3 x2 ≠ 1
= × ÷
1. Faktoriseer die noemers en tellers. (2b − 3)(b + 1) 5(b + 1)2 (2b + 1)(b + 1) 3x − 1 x ≠± 1
2. Kanselleer gelyksoortige faktore. 2.
5(b + 1) −2(2b − 3) (2b + 1)(b + 1) 2x + 1
= × ×
a b (2b − 3)(b + 1) 5(b + 1)(b + 1) 2a (2b + 1) 2x + 1 = 0 3 4x
ONTHOU: ÷ 2. −
b a 1
−10 x = x − 1 (x + 2)(x − 1)
= 2
a a 10a (b + 1)
= × x −1≠ 0 en x −2≠ 0
b b
−1
= x ≠1 x ≠ −2
a (b + 1)
Bl. 4
TERMINOLOGIE: PRODUKTE
1. Eenterm deur ‘n Polinoom 4. Verskil van Twee Vierkante 6. Gemengde Vrae
Numeriese koëffisiënt: Die nommer voor ‘n veranderlike. Gebruik die distributiewe wet Die 2 tweeterme is dieselfde behalwe vir die Volg BODMAS
tekens. Die een is plus en die ander een is 1. Vereenvoudig die hakkies indien moontlik
Veranderlike: ‘n algebraïes letter(s) wat gebruik word om VOORBEELD minus. Die buitenstes en binnestes is is tee- 2. Kwadreer die tweeterm , EBBA of Tweeterm
‘n onbekend voor te stel. 2a 2 (3a 2 + 4a b − a 3c) noorgesteldes van mekaar so die antwoord is maal drieterm
= (2a 2 × 3a 2 ) + (2a 2 × 4a b) + (2a 2 × −a 3c) slegse Eerstes minus die laastes gekwadreer 3. Distributiewe wet
Konstante: ‘n Numeriese term 4. Plus en Minus gelyksoortige terme
= 6a 4 + 8a 3b − 2a 5c
VOORBEELD
Algebraïese Uitdrukking: ‘n wiskundige uitdrukking = − 2a 5c + 6a 4 + 8a 3b (3a − 2b)(3a + 2b) VOORBEELD
opgemaak uit en of meer terme wat geskei word deur plus 4x (4x y − 16y + 12) − (2x + y)(x − y)
= (3a)2 − (2b)2
(+) en minus (-). 2. Tweeterm met ‘n Tweeterm
= 9a 2 − 4b 2 = 4x (4x y − 16y + 12) − (2x 2 − 2x y + x y − y 2 )
Gebruik EBBA metode (Eerstes, Buitenste, Binneste,
Polinoom: ‘n algebraïes uitdrukking waar die eksponente Agterstes) = 16x 2 y − 64x y + 48x − 2x 2 + 2x y − x y + y 2
van die veranderlike natuurlike getalle is. VOORBEELD = − 2x 2 + 16x 2 y + 48x − 63x y + y 2
Eenterm v.b. 4 of 2a 2 b c (een term) VOORBEELD (5x − 7y 2 )(5x + 7y 2 )
Tweeterm v.b. 6x + 2y (twee terme) (a − b)(x + y) = 25x 2 − 49y 4 VOORBEELD
Drieterm v.b. 6x 2 − 5x + 4 (drie terme) = (a × x) + (a × y) + (−b × x) + (−b × y) = 3(a 2 + 3a − 10) − 2(a 2 − 6a + 9) + 2(a 2 − 4)
E B B A VOORBEELD = 3a 2 + 9a − 30 − 2a 2 + 12a − 18 + 2a 2 − 8
Graad: is die hoogste waarde van ‘n eksponent van ‘n [(a − b) + 5][(a − b) − 5]
= a x + ay − bx − by = 3a 2 + 21a − 56
spesifieke veranderlike in ‘n algebraïes uitdrukking.
= (a − b)2 − 25
(v.b.. 7x 3 − 3x y + 8x 6 + 4 het ‘n 6de graad in x en 1st graad
in y) VOORBEELD = a 2 − 2a b + b 2 − 25
(2x + y)(3x − 4y)
Gelyksoortige terme: is terme met dieselfde veranderlikes = (2x × 3x) + (2x × −4y) + (y × 3x) + (y × −4y) 5. Tweeterm deur ‘n Drieterm
met dieselfde eksponente, koëffisiënte mag verskil = 6x 2 − 8x y + 3x y − 4y 2 (plus gelyksoortige terme) Maal elke term in die tweeterm word gemaal
1
(v.b. 6a 2 b en − a 2 b ) = 6x 2 − 5x y − 4y 2 deur elke term van die drieterm en dan word
2 gelyksoortige terme bymekaar getel.
3. Vierkant van Tweeterm
Ongelyksoortige terme: terme waar die veranderlikes
Stap 1: Kwadreer die eerste term VOORBEELD
verskil (v.b. 2x , 2x 2 en 3x y )
Stap 2: Maal die eerste term met die tweede (a − 2)(a 2 − a + 1)
term en verdubbel die antwoord = a (a 2 ) + a (−a) + a (1) − 2(a 2 ) − 2(−a) − 2(1)
Stap 3: Kwadreer die laaste term
VEREENVOUDIG ALGEBRAÏESE = a 3 − a 2 + a − 2a 2 + 2a − 2
UITDRUKKINGS VOORBEELD = a 3 − 3a 2 + 3a − 2
( p + 2r)2
Gebruik HVDMOA/BODMAS reël maar kan slegs gelyksoortige = ( p)2 + ( p × 2r) × 2 + (2r)2 VOORBEELD
terme bymekaar tel of aftrek en skryf die antwoord met ( p + q)( p 2 − p q + q 2 )
= p 2 + 4pr + 4r 2
onbekendes in alfabetiese orde en term in afnemend orde = p3 − p2q + p q2 + p2q − p q2 + q3
van magte.
VOORBEELD = p 3 + q 3 (som van 2 derdemagte)
VOORBEELD (3a − 4b)2
Vereenvoudig die volgende: = (3a)2 + (3a × −4b) × 2 + (−4b)2 VOORBEELD
1. 6b c a − 7a b c + 4a 2 b c − 3c a b + b c a 2 (3a − 2b)(9a 2 + 6a b + 4b 2 )
= 9a 2 − 24a b + 16b 2
= b c a 2 + 4a 2 b c + 6b c a − 7a b c − 3c a b = 27a 3 + 18a 2 b + 12a b 2 − 18a 2 b − 12a b 2 − 8b 3
= 5a 2 b c − 4a b c NOTA: die tweede stap in die voorbeelde is nie ge- = 27a 3 − 8b 3 (verskil van 2 derdemagte)
woonlik gewys nie.
2. 6x − 4x 2 − 8x + x 3 − x 2 + 7x − 3x 3
= − 3x 3 + x 3 − 4x 2 − x 2 + 6x − 8x + 7x
= − 2x 3 − 5x 2 + 5x
Bl. 2
, Graad 10 Wiskunde Kernkonsepte
Algebraiese Uitdrukkings
FAKTORISERING 3. Verskil van Twee Vierkante 5. Drieterme:
Faktorisering is die omgekeerde bewerking van produkte, Vierkants wortel van die eerte term, minus die vierkants wortel van die 2de STAPPE:
d.w.s ons wil die hakkies terug plaas in die som in. term in die eerste hakkie, daarna vierkants wortel van die eerte term, plus 1. Plaas in standaard vorm a x 2 + b x + c
die vierkants wortel van die 2de term in die tweede hakkie. 2. Maal die koeffisiente van die 1ste en 3de term (m.a.w. a × c)
STAPPE 3. Bereken b deur te bepaal die faktore van jou antwoord in (2) wat
1. Kry eerste die grootste gemene faktor VOORBEELDE optel indien + c of aftrek indien −c
2. Indien dit ‘n tweeterm is, kyk of dit die verkil van twee Faktoriseer volledig: 4. Skryf met die middelterm wat gekei is in buitenstes en binnestes
vierkante of die som/verskil van twee derde magte is 1. 4a 2 − 64b 2 Onthou om 1ste te kyk vir GGF 5. Faktoriseer deur te gropeeer
3. Indien dit ‘n drieterm is, skryf eers in a x 2 − b x + c, = 4(a 2 − 16b 2)
vorm en faktoriseer dan VOORBEELDE
4. Indien 4 of meer terme groepeer ons deur na patrone = 4(a − 4b)(a + 4b) Faktoriseer volledig:
a ×c = 3×2 = 6
te soek, bv. Verskil van vierkante/volkome vierkante 1. 3x 2 + 7x + 2
of drieterme 2. x 2 (x
− k) + y 2 (k − x) Verandering van teken c = + 2; + faktore;
= 3x 2 + 6x + 1x + 2
5. Moet nie vergeet om so ver moontlik te faktoriseer nie = x 2 (x − k) − y 2 (x − k) Gebruik (x − k) as ‘ onbekende 2×3 ; 2+ 3= 5
= 3x (x + 2) + (x + 2)
6. Onthou dat terme in hakkies as ‘n onbekend gesien 1×6 ; 1+ 6 = 7
= (x − k)(x 2 − y 2 ) 2de hakkie is verskil van vierkante = (x + 2)(3x + 1)
kan word
= (x − k)(x − y)(x + y) Beide terme + as
middel term is + is
1. Grootste Gemeenskaplike Faktor (GGF): 3. (a − b)2 − (2a + b)2
Die omgekeerde van distrubusie/verspreiding a × c = 6 × 12 = 72
= [(a − b) − (2a + b)][(a − b) + (2a + b)] 2. 6a 2 − 17a b + 12b 2 c = + 12; + faktore;
VOORBEELDE = [a − b − 2a − b][a − b + 2a + b] = 6a 2 − 9a b − 8a b + 12b 2 9 × 8 ; 9 + 8 = 17
Faktoriseer volledig: = (−a − 2b)(3a) = 3a (2a − 3b) − 4b (2a − 3b)
1. 6y 2 + 12y = − 3a (a + 2b) = (2a − 3b)(3a − 4b) Beide terme – as
= 6y (y + 2) 4. Groepering middel term is –
Gebruik by 4 of meer terme. Groepeer en haal GGF uit. Groepe kan gevorm
2. 3a (2a − b) − a 2 (2a − b) Gebruik (2a − b) as ‘n onbekende word deur die GGF, Verskil van vierkante of volkome vierkantenin ag te neem. a × c = 3 × 6 = 18
= a (2a − b)(3 − a) 3. 3p 2+ 7p − 6 c = − 6; – faktore;
VOORBEELDE 9×2 ; 9−2 = 7
Faktoriseer volledig: = 3p 2 + 9p − 2p − 6
3. x (x − y) − 4(x − y)2 Gebruik (x − y) as ‘n onbekende = 3p ( p + 3) − 2( p + 3)
1. 9d + b c − b d − 9c Grootse faktor kry
= (x − y)[x − 4(x − y)] Vereenvoudig 2de hakkie = ( p + 3)(3p + 2)
= (9d − 9c) + (b c − b d ) GGF in elke hakkie die middel teken
= (x − y)[x − 4x + 4y]
= 9(d − c) + b (c − d ) Verandering van teken
= (x − y)(−3x + 4y) a × c = 1 × 18 = 18
= 9(d − c) − b (d − c) Doen nou die GGF
= − (x − y)(3x − 4y) c = − 3; – faktore;
= (d − c)(9 − b)
4. 2x 2 − 6x − 36 6×3 ; 3−6 = −3
2. Verandering van tekens:
2. 2a − 3b + 4a 2 − 9b 2 = 2(x 2 − 3x − 18) (GGF)
Verander die teken in ‘n hakkie om die faktore dieselfde te = 2(x 2 − 6x + 3x − 18)
maak = (2a − 3b) + (4a 2 − 3b 2 ) 2de hakkie is verskil van twee vierkante Grootse faktor kry
= (2a − 3b) + (2a − 3b)(2a + 3b) Doen nou die GGF = 2[x (x − 6) + 3(x − 6)] die middel teken
NOTA: = (2a − 3b)(1 + 2a + 3b) = 2(x + 3)(x + 6)
(b + a) = (a + b) maar (b − a) ≠ (a − b)
3. 25a 2 − p 2 − 12p q − 36q 2 5. Volkome vierkant drieterm
verander die teken soos volg: Groepeer die laaste drie terme omdat
= 25a 2 − ( p 2 + 12p q + 36q 2 ) a) 4m 2 − 12m n + 9n2
(b − a) = − 1(a − b) hulle volkome vierkant drieterm maak 2
= 25a 2 − ( p + 6q)2 VVTV = ( 4m 2 − 9n2 ) (eerste term en laaste term is
VOORBEELD = [5a − ( p + 6q)][5a + ( p + 6q)] volkome vierkante)
= (2m − 3n)2
4a (a − 2b) − 6(2b − a) = (5a − p − 6q)(5a + p + 6q)
= 4a (a − 2b) + 6(a − 2b) b) 49p 4 + 84p 2 + 36
= 2(a − 2b)(2a + 3) = (7p 2 + 6)2
Bl. 3
, Graad 10 Wiskunde Kernkonsepte
Algebraiese Uitdrukkings
FAKTORISERING (opvolg) ALGEBRAISE BREUKE
6. Som of verskil van twee derdemagte: VOORBEELDE: 2. Vereenvoudiging van breuke met optel en aftrek van breuke.
STAPPE: x2 − x − 6 STAPPE:
1.
Voorbeeld: 8a 3 + 27 x2 − 9 1. Faktoriseer die teller(s) (en die noemer(s) as dit nodig is).
(x − 3)(x + 2) 2. Kanselleer gelyksoortige terme in elke term indien daar is
1. Eerste hakkie (tweeterm): = 3. Bepaal die Kleinste Gemene Noemer (kGN)
(x − 3)(x + 3)
a. Derdemagswortel oor twee terme met teken 4. Plaas elke term oor die KGN deur ekwivalente breuke te maak
tussen in (x − 3)(x + 2) 5. Vereenvoudig deur uit te maal in die teller en kry die som van gelyksoortige terme
= 6. Faktoriseer die teller indien moontlik en kanselleer gelyksoortige terme.
( 8a + 27 )
3 3 3 (x − 3)(x + 3)
(x + 2) 3x 2 3 3x 3a − 4 4a
= (2a + 3) = 1. − − 2. −
(x + 3) x2 − x − 6 x − 3 x + 2 3a 2 − a − 4 a 2 − 2a − 3
2. Tweede hakkie (drieterm): 3x 2 3 3x (3a − 4) 4a
a. Kwadreer eerste term = − − = −
(x − 3)(x + 2) (x − 3) (x + 2) (3a − 4)(a + 1) (a − 3)(a + 1)
b. 1ste term x 2de term met die teenoorgestelde 12y − 4x −4x 2 + 14x y − 10y 2
2. × 1(a − 3) 4a
teken as in die eerste term 12x − 30y 8x − 24y 3x 2 − 3x − 6 − 3x 2 + 9x = −
c. plus die 2nd term gekwadreer = (a + 1)(a − 3) (a + 1)(a − 3)
(x − 3)(x + 2)
(2a)2 − (2a × 3) + (3)2 −4(x − 3y) −2(2x 2 − 7x y + 5y 2 )
= × 1(a − 3) − 4a
2.a. 2.b. 2.c. 6(2x − 5y) 8(x − 3y) 6x − 6 =
= (a + 1)(a − 3)
= (4a2 − 6a + 9) (x − 3)(x + 2)
8(2x − 5y)(x − y)
= −3a − 3
8a 3 + 27 = (2a + 3)(4a 2 − 6a + 9) 48(2x − 5y) 6(x − 1) =
= (a + 1)(a − 3)
(x − 3)(x + 2)
(x − y)
= −3(a + 1)
6 =
VOORBEELDE: (a + 1)(a − 3)
1. 8h 3 − 125g 3
= (2h − 5g )(4h 2 + 10g h + 25g 2 ) −3
a 2 − a b − 2b 2 a 2 − 4a b + 4b 2 =
3. ÷ (a − 3)
a 2 + 2a b + b 2 a+ b
2. 24t 3 + 1029 (a − 2b)(a + b) (a − 2b)2 3. Beperkings op Breuke
= 3(8t 3 + 343) = ÷
(a + b)2 (a + b) Alle breuke met onbekendes in hul noemers, sal beperkings hê, omdat die noemer nooit
= 3(2t + 7)(4t 2 − 14t + 49)
gelyk mag wees aan nul nie. As die noemer nul word, maak dit die breuk ongedefineerd
(a − 2b)(a + b) (a + b)
= × VOORBEELD:
(a + b)(a + b) (a − 2b)(a − 2b) VOORBEELD:
216 Bepaal die beperkings op die volgende
3. a 3 − Bepaal die waarde van x waarvoor die
a3 1 breuk ongedefineerd sal wees: breuk:
6 36 =
= (a − )(a 2 + 6 +
a2 )
a − 2b
a 7x 2x − b 4x − 2
1. 3. 1.
x −1 3x − 2b x2 − 1
1. Vereenvoudiging van ‘n breuk met 5b + 5 6 − 4b 2a + 4a b
vermenigvuldiging en deel 4. × ÷ x −1= 0 3x − 2b = 0
2b 2 − b − 3 5b 2 + 10b + 5 2b 2 + 3b + 1 x2 − 1 ≠ 0
x = 1 2b
x =
STAPPE: 5(b + 1) −2(2b − 3) 2a (1 + 2b) 3 x2 ≠ 1
= × ÷
1. Faktoriseer die noemers en tellers. (2b − 3)(b + 1) 5(b + 1)2 (2b + 1)(b + 1) 3x − 1 x ≠± 1
2. Kanselleer gelyksoortige faktore. 2.
5(b + 1) −2(2b − 3) (2b + 1)(b + 1) 2x + 1
= × ×
a b (2b − 3)(b + 1) 5(b + 1)(b + 1) 2a (2b + 1) 2x + 1 = 0 3 4x
ONTHOU: ÷ 2. −
b a 1
−10 x = x − 1 (x + 2)(x − 1)
= 2
a a 10a (b + 1)
= × x −1≠ 0 en x −2≠ 0
b b
−1
= x ≠1 x ≠ −2
a (b + 1)
Bl. 4
