Résumé Algebre 1-nombres Complexes

ALGEBRE 1




Nombres complexes

1 Définition du corps des nombres complexes
Soit R le corps des nombres réels. On note R2 l’ensemble des couples de nombres réels :
R2 = {(a, b), a, b ∈ R}.

Définition 1.1 On appelle corps des nombres complexes, que l’on note C, l’ensemble R2 muni
des opérations + et ×, définies de la manière suivante :

∀(a, b), (a0 , b0 ) ∈ R2

– Opération d’addition + : (a, b) + (a0 , b0 ) = (a + a0 , b + b0 ),
– Opération de multiplication × : (a, b) × (a0 , b0 ) = (aa0 − bb0 , ab0 + a0 b).

Notation 1.1 1. On veut que le corps des nombres complexes C contienne le corps des
nombres réels. Pour cela, pour tout réel a ∈ R, on identifie le nombre complexe (a, 0)
avec a. On note alors a le nombre complexe (a, 0).
2. On note i le nombre complexe (0, 1).

Notation 1.2

Avec les notations précédentes, on obtient :

Proposition 1.1 Soit a, b ∈ R. Alors :
1. (0, b) = i × b = b × i.
2. (a, b) = a + i × b.
3. i × i = −1.

Démonstration.

1. On a (0, b) = (b, 0) × (0, 1) = (0, 1) × (0, b). Donc (0, b) = i × b = b × i.
2. On a (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + i × b.
3. On a (0, 1) × (0, 1) = (−1, 0). Donc i × i = −1.

Remarque 1.1 Dans la suite, on convient de noter zz 0 le nombre complexe obtenu par la mul-
tiplication de deux nombres complexes z et z 0 .

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, Notation 1.3 On note a + ib le nombre complexe z = (a, b). Cette écriture s’appelle la forme
algébrique de z. Lorsque a = 0 on dit que z est un imaginaire pur et on écrit z ∈ iR.

Avec les conventions précédentes, l’addition et la multiplication deviennent pour les nombres
complexes :
∀z = a + ib, z 0 = a0 + ib0 ∈ C
– Opération d’addition + : z + z 0 = (a + a0 ) + i(b + b0 ),
– Opération de multiplication × : zz 0 = (aa0 − bb0 ) + i(ab0 + a0 b).

Remarques 1.1 1. Un nombre complexe z = a + ib est nul (z = 0) si, et seulement si
a = b = 0.
2. Pour tout nombre complexe z, on a z + 0 = 0 + z = z et z × 1 = 1 × z = z.
3. Tout nombre complexe z = a + ib admet un opposé noté −z = −a − ib.
1 a b
4. Tout nombre complexe non nul z = a + ib admet un inverse noté z = a2 +b2
− i a2 +b 2.


Proposition 1.2 On a les proporiétés suivantes :
1. Les deux opérations définis sur C sont associatives et commutatives.
2. L’opération × est distributive par rapport à l’opération + :

∀z, z 0 , z” ∈ C z(z 0 + z”) = zz 0 + zz”.

Les formules suivantes sont d’une importance majeure dans la suite. Soit z1 , z2 ∈ C et soit n ∈ N.
1. Formule du binôme :
n
X
(z1 + z2 ) = n
Cnk z1n−k z2k .
k=0

2. Formule de factorisation :
n−1
!
X
z1n − z2n = (z1 − z2 ) z1n−1−k z2k .
k=0

3. Si z1 6= 1 alors
n
X 1 − z1n+1
z1k = .
1 − z1
k=0


2 Partie réelle, partie imaginaire et conjugaison
Définition 2.1 Soit z = a + ib un nombre complexe.
1. On appelle partie réelle de z, que l’on note Re(z), le nombre réel a.
2. On appelle partie imaginaire de z, que l’on note Im(z), le nombre réel b.
3. On appelle conjugué de z, que l’on note z̄, le nombre complexe défini par z̄ = a − ib.

Remarques 2.1 Soit z, z 0 deux nombres complexes. Alors on a :

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